TRIGONOMETRÍA ETIMOLÓGICAMENTE: Lado Final o Terminal Vértice. Lado Inicial

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍ ETIMOLÓGICMENTE: Trigonometrí, es l prte de l mtemáti que estudi ls reliones que eisten entre los ángulos internos y los ldos de un triángulo, y pli dihs reliones l álulo del vlor o medid de lguno de ellos EN L CTULIDD: Trigonometrí: es l rm de l mtemáti que estudi ls propieddes y ls pliiones de ls funiones trigonométris CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es l irunfereni uyo entro es el origen del sistem de ejes rtesinos o de oordends retngulres y su rdio mide l unidd ÁNGULOS: Es l región del plno omprendid entre dos semirets que tienen el origen omún llmdo vértie Ls semirets son ldos del ángulo, siendo uno el ldo iniil y el otro el ldo finl o terminl EL ÁNGULO GEOMÉTRICO es siempre positivo, mientrs que el ángulo trigonométrio puede ser positivo o negtivo Si se onsider l ángulo omo un rotión de un semiret; ien en sentido ontrrio l giro de ls gujs del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negtivo) Vértie o + Ldo Finl o Terminl Ldo Iniil Vértie o o o Ldo Iniil Ldo Finl o Terminl MEDICIÓN DE ÁNGULOS Los ángulos se miden medinte vrios sistems, siendo los más usules: el sistem Cirulr o Rdin, el sistem Segesiml y el sistem Centesiml EL SISTEM CIRCULR O RDIN: Es l medid del ángulo entrl orrespondiente un ro de longitud igul l rdio de l irunfereni L unidd es el rdin El ángulo llno mide Rdines, o se: 80º El ángulo reto mide Rdines, es deir: 90º Por ser l longitud de l irunfereni r, que ontiene 0, entones r = 0, por lo tnto: rdin = 80º = 7,9 = 7º 7 =,9 SISTEM SEXGESIML: Es el sistem uys uniddes de medids vn de 0 en 0 L unidd del sistem segesiml en l medid de ángulos, es el grdo ( segesiml), el ul se define omo l medid entrl del ángulo sutendido por un ro de írulo igul /00 v prte de l irunfereni de un írulo

2 Un minuto ( ) es l 0 v prte de un grdo; un segundo ( ) es l 0 v prte de un minuto, o se 00 v prte de un grdo Sistem Centesiml: L irunfereni tmién puede ser dividid en 00 prtes igules llmds grdos entesimles, d grdo entesiml posee 00 minutos entesimles y d minuto entesiml tiene 00 segundos entesimles EJEMPLOS: OPERCIONES EN EL SISTEM SEXGESIML DICIÓN DE MEDIDS NGULRES: Efetur: Resultdo: 9 9 Efetur: Resultdo: SUSTRCCIÓN DE MEDIDS NGULRES EJEMPLOS: Restr: 78 8 de Efetur:

3 Efetur: MULTIPLICCIÓN DE UN MEDID NGULR POR UN ESCLR: EJEMPLOS: Efetur: ( 7 9 ) Efetur: ( 8 )

4 DIVISIÓN DE UN MEDID NGULR ENTRE UN ESCLR: EJEMPLOS: Efetur: ( ) : º Dividir: (9 8 ) : = CONVERSIÓN DEL SISTEM CENTESIML L SISTEM SEXGESIML: Pr onvertir l medid de un ángulo del sistem deiml l segesiml, se multiplin ls ifrs deimles por sesent (0 ) pr onvertirlos en minutos y si ún eisten ifrs deimles, se multiplin nuevmente por sesent (0 ) pr onvertirlos en segundos, siendo l prte enter del número ddo, los grdos y de ls prtes enters de ms multipliiones los minutos y segundos de l medid ngulr EJEMPLOS: ) 9, B ), 9, 9 0, 0, 0 0,80,0 0,8 0 8,0 8 9, = 9 8

5 CONVERSIÓN DEL SISTEM SEXGESIML L CENTESIML: Pr onvertir l medid de un ángulo ddo en el sistem segesiml, se plnte un sum de friones en donde los grdos son l prte enter, los minutos se dividen entre 0 y los segundos entre 00; y luego se efetú l división pr llevrlo entesiml EJEMPLOS: Trnsformr l Sistem Centesiml: º 0 8º 0º 880º 0º 90º = 8,º º 0º º 0º 0 98º ,º CONVERSIÓN DE GRDOS RDINES O VICEVERS: Pr onvertir rdines grdos, se multipli l epresión dd por trnsformr grdos rdines, se multipli por 80º EJEMPLOS: Convertir rd grdos segesim les Rd 80º y pr rd 80º 80º 0º 0º 7 Reduir rd grdos segesim les 7 rd 7 80º 7 80º 0º 0º

6 Trnsformr 0 rdines,9 rd 7, = 0 rd 0º rd 0, 87 0, 87 rd 80º 80º 80º Epresr en rdines l epresión: ) En primer lugr trnsformmos l epresión dd l sistem entesiml: º º 00º 0º º 7º º, 09º , º ) Por ultimo se trnsform del sistem deiml l sistem rdil:, º,9, 89, rd rd 0, 709 0, 70 80º 80º 80º rd 0,70 rd Convertir grdos segesimles l epresión rd 80º 80º,9 0º,7079, 98º, 9º 0,9º 0,0 0 0 rd,0,00 =

7 7 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO El írulo trigonométrio, es l irunfereni uyo rdio es l unidd y (0,) (,0) 0 r = α P (,y) y (,0) (0, ) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICS o: es l funión trigonométri que pli l ángulo α l ordend y del punto P, es deir: o (α) = y α = y eno: es l funión trigonométri que pli l ángulo α l sis del punto P, o se: eno (α) = α = Tngente: es l funión trigonométri que pli l ángulo α l rzón entre l ordend y y l sis del punto P Tngente (α) = y Tg α = y L Cotngente: es l funión invers de l tngente, es deir: Cotngente (α) = y ó tg Ctg α = y ó Ctg α = tg L Sente: es l funión invers del oseno, por tnto:

8 8 Sente (α) = Se α = ó Se α = L ente: es l invers de l funión seno, o se: ente (α) = y Cs y El produto de tod funión trigonométri por su invers, es igul l unidd VLORES DE LS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICS PR LOS ÁNGULOS: y 0 Ángulos Funiones o eno 0 0 Tngente 0 No 0 No 0 Cotngente No 0 No 0 No Sente No No ente No No 0 Los vlores máimos y mínimos de ls funiones: o y eno es y, por lo tnto el Rngo de mos es el intervlo errdo Rgo f seno = [, ] Rgo f oseno = [, ] L representión gráfi del seno es un urv llmd Sinousoide y l del oseno: inousoide SIGNOS DE LS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICS:

9 9 II + y I 0 + III IV y Cudrntes I II III IV Funiones o + + eno + + Tngente + + Cotngente + + Sente + + ente + + RELCIONES ENTRE LS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICS y R = 0 α y 0 Por definiión: α = y Ctg α = α = Se α = Tg α = y = Cs α = y y IDENTIDDES PITGÓRICS:

10 0 El triángulo de l figur es retángulo, y l irunfereni es el írulo trigonométrio (r = ) y según el Teorem De Pitágors tenemos: y + = r De uerdo on ls igulddes nteriores: α + α = α + α = (identidd pitogóri fundmentl) Si l identidd fundmentl se divide miemro miemro entre el α, tenemos: α + α = Según ls identiddes iniiles: Tg α = Se α Dividiendo l identidd fundmentl entre α, nos qued: α + α = + Ctg α = Cs α DDO EL VLOR DE UN FUNCIÓN TRIGONOMÉTRIC, CLCULR EL VLOR DE LS DEMÁS: Pr determinr los demás vlores de ls funiones trigonométris onoid un de ells, es neesrio indir el udrnte donde se enuentr el ángulo ddo y en so de no drse, es de suponer que el ángulo se enuentr en el primer udrnte, donde todos los vlores de ls funiones trigonométris son positivs Cundo uses lgun de ls reliones pitgóris, dees reordr que l ríz udrd de un número rel es dole y opuest Por ejemplo X = ± = ± R

11 Clul ls demás funiones trigonométris de α, siendo que α = III y que Tg Ctg 9 9 Cs = ± 9 pero : III Si Tg y II, lulr ls demás funiones trigonométris de 7 Se Tg

12 Se 7 + Se Se Se Se 7 7 Se XII Ctg Se 7 7 Siendo que Cs y IV Clul los demás vlores de ls funiones trigonométris de (rionlizndo) Cs

13 Tg Ctg Se EJERCICIOS Clul los vlores de ls demás funiones trigonométris siendo que: ) 7 e) Cs on III ) y II f) Se y IV = ) Tg on IV g) on II d) Ctg on III h) 7 RZONES TRIGONOMÉTRICS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se el triángulo retángulo B C, en donde y B son ángulos gudos y el ángulo C es reto, y demás los ldos y Se llmn tetos y el ldo se llm hipotenus

14 En funión del ángulo, el ldo se llm teto opuesto y el ldo teto dyente B C El o del ángulo (sen ) en un triángulo retángulo, es l rzón que eiste entre el teto opuesto () y l hipotenus () Ct opuesto hipotyenus El eno del ángulo (os ) en un triángulo retángulo, es l rzón entre el teto dyente l ángulo () y l hipotenus () de diho triángulo Ct dyente hipotenus L Tngente del ángulo en un triángulo retángulo, es l rzón eistente entre el teto dyente () y el opuesto () l ángulo Tg Ct opuesto Ct dyente L Cotngente del ángulo en un triángulo retángulo es l rzón eistente entre el teto yente () y el puesto () l ángulo Ctg Ct dyente Ct opuesto L Sente del ángulo (Se ) es l rzón que eiste entre l hipotenus dyente () en un triángulo retángulo ( ) y el teto Se hipotenus Ct dyente

15 L ente del ángulo (Cs ) en un triángulo retángulo es l rzón entre l hipotenus () y el teto opuesto Cs hipotenus Ct opuesto VLORES DE LS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICS PR LOS ÁNGULOS: 0º º 0º Pr lulr los vlores de ls funiones trigonométris de los ángulos de 0º y 0º, usremos un triángulo equilátero, uyo ldo miden uniddes longitud y l ul le trzremos l ltur que lulremos trvés del TEOREM DE PITÁGORS = 0º B h = + h = h = h h 0º C Pr el ángulo de 0º, el teto puesto () mide un () unidd de longitud, el teto dyente (h) mide uniddes de longitud y l hipotenus () mide uniddes de longitud Los vlores de ls funiones trigonométris de 0º se otendrán l plir ls definiiones de ls rzones trigonométris en el triángulo retángulo Ct opuesto 0º 0º hipotenus Ct dyente 0º 0º hipotenus Ct opuesto 0º Tg 0º Ct dyente 0º (Rionlizndo) Ct dyente 0º Ctg 0º Ct opuesto 0º hipotenus Se 0º Ct dyente (rionlizndo)

16 hipotenus Cs 0º Ctopuesto El triángulo nterior será usdo pr lulr los vlores pr 0º, sólo que los tetos min, es deir, opuesto será el dyente y vievers Ct opuesto 0º 0º hipotenus Ct dyente 0º 0º hipotenus Tg Ct opuesto 0º 0º Ct dyente 0º = Ctg Ct dyente 0º 0º Ct opuesto 0º = (rionlizndo) hipotenus Se 0º Ct dyente 0º Cs hipotenus 0º Ct opuesto 0º (rionlizndo) Dees oservr que los vlores de ls rzones trigonométris pr los ángulos de 0º y 0º se intermin por ser omplementrios, es deir l sum de sus medids es igul 90º Los vlores de ls rzones trigonométris se otendrán usndo un udrdo uyos ldos miden uns uniddes de longitud y l ul se le Trzrá un digonl uy longitud será luld medinte el TEOREM DE PITÁGORS

17 7 B D = = º = C Ct opuesto º º hipotenus (rionlizndo) Ct dyente º º (rionlizndo) hipotenus Ct opuesto º Tg º Ct dyente º Ct dyente º Ctg º Ct opuesto º hipotenus Se º Ct dyente º hipotenus Cs º Ct opuesto º El ángulo de º es omplementrio on él mismo, y que: º + º es igul 90º

18 8 EN RESUMEN Ángulos Rzones o eno 0º º 0º Tngente Cotngente Sente ente RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Un triángulo es retángulo, si uno de sus ángulos internos mide 90, es deir, posee un ángulo reto Los ldos que formn l ángulo reto, se llmn tetos y el ldo que los une (el de myor longitud) es l hipotenus L sum de ls medids de los ángulos gudos en un triángulo retángulo es igul 90, por tnto, son omplementrios y l sum de ls medids de los ángulos interiores del triángulo es 80 LÍNES NOTBLES DE UN TRIÁNGULO LTUR: l ltur de un triángulo, es el segmento perpendiulr trzdo desde un vértie l ret que ontiene el ldo opuesto diho vértie L ltur de un triángulo se denot on l letr h Todo triángulo posee tres vérties, por tnto, se pueden trzr tres lturs que se ortn en un ángulo llmdo ORTOCENTRO

19 9 Medin: es el segmento trzdo desde un vértie l punto medio del ldo opuesto tres medins del triángulo se ruzn en un punto llmdo Brientro Meditriz: es l ret perpendiulr en el punto medio del ldo opuesto Ls tres medins de un triángulo se ortn en un punto llmdo Cirunentro Bisetriz: l isetriz de un ángulo interno de un triángulo es l semirret que divide l diho ángulo en dos ángulos ongruentes (de igul medid) Ls tres isetries de un triángulo se ortn en el punto llmdo Inentro IMPORTNTE Pr l orret notión de un triángulo, se deen oinidir que ) Si el vértie de un triángulo es, el ldo opuesto es de longitud o vievers ) El ldo opuesto l vértie B, es de longitud ) El ldo opuesto l vértie C es de longitud B C En todo triángulo se umple que: l ángulo de myor medid se opone el ldo de myor longitud y el ángulo de menor medid es opuesto l ldo de menor longitud Todo triángulo onst de seis elementos: ángulos internos y tres ldos En el so de los triángulos retángulos, por tener un ángulo interno reto (90º), se pueden resolver undo se onoen dos de sus elementos, siempre y undo no de ellos se un ldo Según lo nteriormente epuesto, eisten utro sos según los dtos onoidos; los ules son: Ddos l longitudes de los tetos Pr resolver este so: se pli el teorem de Pitágors pr onoer el otro ldo, y l tngente de uno de los ángulos gudos, pr determinr su medid y luego pr lulr el otro ángulo gudo l relión: 90º y se despejo de ell el ángulo gudo que flt por lulr

20 0 EJEMPLO: Resolver el triángulo retángulo de figur djunt B PITGORS = m = = 0m C 9 8,70 ~ 8,m Tg Ct opuesto Ct dyente 0, 8 m X º 0'," º 0' " + B = 90º B = 90º B = 90º 0 = 7º 9 Ddos ls longitudes de un teto y l hipotenus En este so, tmién se pli el teorem de Pitágors pr lulr l longitud del ldo desonoido, pr otener l medid de los ángulos gudos se plin ls funiones trigonométris seno y oseno según se el teto ddo el puesto o el dyente l ángulo que se dese lulr EJEMPLO: Resolver el siguiente triángulo B =? = 0m ,099 C = 8 m =, 099 ~,07m Ct dy B hip 8 0 0, B º 0',7" º 0' " Ct op B hip 8 0 0, B 7º 9'," 7º 9' " Comprue que: + = 90º

21 Ddos l longitud de un teto y l medid de un ángulo gudo Pr resolver este so, se plin sólo ls funiones trigonométris priniples (o, eno, o Tngente) EJEMPLO: Resolver el triángulo de l siguiente figur = 7º =,m B Ct op 7º 7º hip B 7º, 0,080,998, m C Tg Ct op Ct dy Tg Tg, Tg 7º, 0,70,8787, 8 m + β = 90 β = 90 = 90 7 = Ddos l longitud de l hipotenus y l medid de un ángulo gudo l igul que en el so nterior, solo se pueden plir ls funiones seno y oseno = 0,m = 8º B B Ct op hip 0, 8º ' 0 0,9, 8799, 8799, m C = 0 m Ct dy hip 0, 8º ' 0, 0,788,78989,78989, 78 m Los ejeriios que se proponen ontinuión, son ominiones de estos sos y ls medids de los ángulos gudos serán de 0º, º y/o 0º deir pr resolverlos sólo plirán ls

22 rzones trigonométris (o, eno y/o Tngente) y no neesitrá l luldor pr otener los vlores de dihs rzones trigonométris EJEMPLO: Clul el vlor de, según el triángulo de l figur djunt B D 0 00m C El ldo BD (ltur del triángulo BC) es omún pr los triángulos retángulos BD y BCD, por lo tnto se dee lulr en primer lugr Por ser el teto opuesto l ángulo de 0º se pli el seno; y que se onoe longitud de l hipotenus Ct op 0º BD 0º BD BC 0º BD 00 hip BC 0 m Ct op º BD BD º º BD hip B BD º m EJERCICIOS: Resuelve d uno de los siguientes triángulos, plindo ls rzones trigonométris y sus vlores (Sólo dees lulr el vlor de ) B 0 m C 0 0 D X

23 B 00 m C D X B X 0 0 C D 00m B h = X C 0 D 00 m 0 B

24 B F C 0 0 D = BE BC = m DE = D X E FORMULS DEL SENO, COSENO Y TNGENTE PR L SUM Y DIFERENCI DE DOS ÁNGULOS () = + () = () = os () = sen Tg ( ) Tg Tg Tg Tg ( ) ( ) Tg ( ) Tg Tg Tg Tg ( ( ) ) EJEMPLOS

25 Clul el vlor de ls funiones trigonométris priniples pr 7 : 7 = ( + 0 ) = () ) () = + ( + 0 ) = º ) () = ( + 0 ) = 0 0 7º ) ) ( ) ( 0º ) (º 0º ) (º 0º ) (º Tg (se dee rionlizr) 8 = 8 Tg 7 = +

26 Clul el vlor de ls funiones trigonométris priniples pr = (0 ) = () ) () = (0 ) = 0 0 º ) () = + (0 ) = º ) ) ( ) ( º º º Tg (Rionlizndo) ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 8 EJERCICIOS Clulr el vlor de ls funiones trigonométris priniples pr los ángulos: ) 0 = (80 0 ) d) 0 g) 880 ) / e) / ) f) 0 i) = (0 )

27 7 Siendo que: on III y que : on IV Determin: ( ); (), () y () y el udrnte l ul pertenee tnto () omo () Clul los vlores de (), () y tg () y el udrnte l ul pertenee l soluión, 8 siendo que: y Tg 7 7 Si on II y, lul los vlores de ls funiones trigonométris priniples pr () y () y determin el udrnte l ul perteneen dihs soluiones FORMULS DEL SENO, COSENO Y TNGENTE PR EL NGULO DOBLE = sen os = os sen Tg Tg Tg EJEMPLOS Utilizndo ls fórmuls del ángulo dole, lul los vlores de ls funiones trigonométris pr 0 0 = (0 ) = ) = 0 = sen (0 ) = sen 0 os 0 0º 0º ) = 0º ( 0º ) 0º 0º 0º

28 8 ) Tg Tg Tg Tg 0º Tg 0º Tg (0º ) Tg 0º EJERCICIOS Usndo ls fórmuls del ángulo dole, lul los vlores de ls funiones trigonométris priniples de los ángulos ) 0 d) 0 g) 070º ) 80 e) 70 h) 79º ) 0 f) 90 i) º FORMULS DEL SENO, COSENO Y TNGENTE PR EL NGULO MEDIO (MITD) Tg

29 9 Medinte l pliión del ángulo mitd, lul el vlor de ls funiones trigonométris pr ) C I 0º º º 0º 0º º º I º Pero 0º 0º º ) ( 0º 0º Tg Rionlizndo: ) 80º EJEMPLOS

30 0 º º, º, º, 8 80º 8 º º º º, I º, : Pero º º º,,º I,º : Pero º º º Tg Tg ) (, Tg,º Tg

31 ) Clul los vlores de ls funiones trigonométris priniples trvés del ángulo mitd, siendo que = on II Pero : II Como II Tg EJERCICIOS: prtir del semiángulo (ángulo mitd), lul los vlores de ls funiones trigonométris priniples de los siguientes ángulos (Reuerd los udrntes en donde se enuentrn uidos los ángulos ddos) ) 8 ) 0 ) 7 d) 7 8 e) 0 f), siendo que on IV

32 FCTORIZCION DE SUMS Y DIFERENCIS DE ÁNGULOS Tg Tg Tg Tg EJEMPLOS: Trnsformr en produtos (Ftorizr) d un de ls siguientes epresiones: 0º 0º 0º 0º 90º 0º ) 0º 0º º º 0º 0º º º ) 70º 0º 70º 0º 70º 0º 90º 0º 70º 0º º º º º 90º 0º 90º 0º 0º 0º ) 90º 0º 0º 0º 90º 0º

33 d) º 7º º 7 º 7º 0º 0º º 0º º 0º º 7º e) f) g) h) 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 90º 0º 0º 0º º º º º EJERCICIOS Ftorizr d un de ls siguientes epresiones ) + h) + ) i) 0 ) j) 0 0 d) 80 0 k) 0 0 e) Tg 0 + Tg 0 l) Tg Tg f) Tg 0 + Tg 0 m) Tg 0 + Ctg 0 g) Tg 0 Tg

34 Demostrr trnsformndo en produto (ftorizndo) d un de ls siguientes epresiones: ) = 0 ) 0 + = ) 7º 7º º º 0º 0º d) º º e) º 0º º 0º TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo si no posee entre sus ángulos internos un ángulo reto, es deir, los ángulos internos o son gudos dos gudos y uno otuso Reuerd que: Se h onvenido que l notión de sus ángulos gudos sen Â, B, Ĉ y ls longitudes de sus orrespondientes ldos opuestos se identifirán omo:, y L sum de ls medids de sus ángulos internos es 80, es deir; Â + B + Ĉ = 80 Pr resolver un triángulo oliuángulo, sólo se usn ls leyes del seno y/o del oseno B C

35 LEY DE LOS SENOS En ulquier triángulo BC, l relión entre un ldo y el seno del ángulo opuesto es onstnte; esto es: En l resoluión de los triángulos oliuángulos se pli dos dos según los dtos onoidos y el desonoido (inógnit) LEY DE LOS COSENOS En todo triángulo oliuángulo BC, el udrdo de uno de sus ldos es igul l sum de los udrdos de los otros dos, menos el dole produto de ellos por el oseno del ángulo omprendido entre dihos ldos En ests reliones, sólo se puede despejr el oseno del ángulo y nun ninguno de los ldos SOLUCIÓN DE TRINGULOS OBLICUÁNGULOS Cundo se onoen tres elementos de un triángulo oliuángulo, (no todos los ángulos) se die que el triángulo está ien determindo o en form úni En l resoluión de los triángulos oliuángulos se pueden presentr los siguientes sos:

36 Conoidos dos ángulos y el ldo opuesto uno de ellos Se reomiend plir l ley de los senos pr lulr en primer lugr el ldo opuesto del segundo ángulo ddo Conoidos dos ángulos y el ldo omprendido entre ellos se dee lulr en primer lugr l medid del terer ángulo y después medinte l pliión de l ley de los senos ulquier de los ldos restntes (desonoidos) Ddos los dos ldos y el ángulo omprendido entre dihos ldos Pr resolver los triángulos retángulos, según este so se pli l ley de los senos y se lul en primer lugr l medid del ángulo opuesto l segundo de los ldos onoidos, undo el Ddos un ángulo y los ldos que lo formn En primer lugr se lul el terer ldo medinte l pliión de l ley de los osenos Ddos los tres ldos En este so, se pli l ley de los osenos y se despejn los osenos pr lulr ls medids de los ángulos RE DE LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS El áre de los triángulos (T) es igul l semiproduto de su se por l ltur T h Pr lulr el áre de un triángulo oliuángulo, según el so se pueden usr ls siguientes fórmuls: Pr los tres primeros sos T T T

37 7 Pr el urto so T T T Pr el quinto so T p p p p En donde: p, es el semiperíodo EJEMPLOS: Resuelve el triángulo oliuángulo siendo que = m, y los ángulos y miden respetivmente 0 y : 0º º 0, 00 0, 889, 8 0, 889 0, 9 m 80º 0º º 80º º º 80º 80º 80º º 0º 0, 77 0, 00,98 0, 00 8, 7 m T 0º º º 90, 000, 77 0, 78 0, 889 0, 78 T 00, 9 m 00, m

38 8 Resuelve el triángulo oliuángulo, siendo que el ldo mide de m y los ángulos y miden 0 y 0 respetivmente 80º º 0' º 0' 80º 80º 80º 80º 9º 0' 0º 0' º 0' º 0' 0, 907 0, 880, 0, 880 9, 0 m 9, m 0º 0' º 0' 0, 877 0, , 0,880 m T º 0' 0º º 0' 0' 0, 907 0, 877 0, 880 T 00, 99, 0 79, 79, m Resuelve el triángulo oliuángulo en donde: = m, = m y = 97 0 = + = = + ( 0,9) = +,990 =,990, 990, 999 m

39 9 = + + = + = , 9 º 0' " = , º 9' " T 97º 0' 0, , 8, m Resuelve el triángulo oliuángulo, siendo que: = m, = m y = m = + = , º 7' 8" , 99 º ' , 8 º 7' "

40 0 p T p p p p 9 9,80 m Resuelve el triángulo BC según l siguiente figur 0 0 C B =,, º º 0' 0', 0, 789 0, 9989, 9 0,9989, 790, m 80º º 0' º 0' 80º 80º 80º 80º º 0' º 0', º 0' º 0', 0, 0 0,9989, 909 0,9989 9, , 0 m T (, ) º 0' º º 0' 0' 90, 0, 0 0, 789 0, 9989 T 8, 8978, , m

41 Resuelve el triángulo oliuángulo en donde = 8 m = 80 m = 0 sen 80 º 8 0' 80 0, , , 77 8º ' " 80º 80º 80º 8º ' " º 0' 80º 9º ' " 8º 8' " 80º 8 8º º 8' 0' " 8 0, 997 0, 8087, 0, , 08 7, m T º 8' " 0087, 08, m 7 Resuelve triángulo oliuángulo en donde = m, = m y el ángulo = 0 0 0º 0º 0, 7 8, 8 0, 07 7º ' " 80º 0º 0' 7º ' " 80º 80º 80º 80º 8º ' " º 8' 9"

42 º 8' 0º 0' 9" 0, 079 0, , 7, 0 m T º 8' 9" 0, 079 0, 7 T, m EJERCICIOS Resuelve d uno de los siguientes triángulos oliuángulos, siendo que = m = m = 0 = = 0 = 8 = 7 m = m = 0 = 0 m = 8 0 = 0 = m = 0, m = m =, m = 8 0 = = 0, m 8 =, m =, m =, m = 0 = = 0 m 0 = 0 m = 7 m = 70 m = 0 = 8 0 =, m =, m = 8, m = 7,0 m = m = 9,98 m

43 IDENTIDDES TRIGONOMETRICS Ls identiddes trigonométris son igulddes que se umplen pr ulquier vlor del ángulo que prez en l iguldd Eisten vrios métodos pr demostrr ls identiddes trigonométris; pero pliremos el más senillo, demás tmién lguns sugerenis muy importntes y que se pueden seguir Es reomendle, epresr todos los términos de l iguldd en funión del seno y del oseno y efetur ls operiones indids, en uno sólo de los dos miemros de l iguldd hst llegr l otro Si no se onsigue este propósito entones se dee plir los mismos rtifiios en el otro miemro PSOS GENERLES PR DEMOSTRR IDENTIDDES Conoer ls oho (8) reliones ásis y sus forms lterntivs, es deir, on sus respetivos despejes si los tuvier Conoer los proedimientos de diión y sustrión, álulo del mm pr reduir, trnsformr ls friones otenids en otrs equivlentes Conoer ls ténis de l ftorizión y de los produtos notles Usr sólo proedimientos de sustituión y de simplifiión que permitn trjr solmente en uno de los dos miemros l identidd Seleionr el ldo de l iguldd que prez ser el más omplido, e intentr trnsformrlo en el otro Si deides trjr en mos ldos de l iguldd, dees herlo en form independiente, es deir, sin trnsposiiones de términos 7 Evitr sustituiones que introduzn ríes 8 Usr sustituiones pr mir tods ls funiones trigonométris en epresiones que ontengn únimente senos y osenos y luego simplifir (siempre en un solo ldo) 9 Multiplir el numerdor y el denomindor de un frión por el onjugdo de ulquier de ellos 0 Simplifir l ríz udrd de un frión usndo onjugdos pr trnsformrl en el oiente on udrdos perfetos

44 EJEMPLOS Demostrr d un de ls siguientes identiddes trigonométris: Tg Ctg mm = lqqd Tg Ctg Cs Cs mm = Cs Cs Cs Cs Cs Cs Cs

45 Se Ctg Tg Se multipli y se divide el primer miemro por l epresión onjugd del denomindor

46 Se Se Tg Tg Se Tg Como el ldo izquierdo tiene ríz, se multipli y se divide l frión de l ntidd surdil por l onjugd de ulquier de los elementos de l frión rdil En este ejeriio se usrá l epresión onjugd del numerdor Se Se Tg Tg Se Se Tg Tg Se Tg Se Tg Se Tg Se Tg Se Tg Se Tg Se Tg Se Tg Tg sen sen 7 = = ( + ) ( ) = ( ) =

47 7 = os 8 Ctg = 9 Tg Tg

48 8 0 Se Cs Se Cs Tg Tg Tg Tg Tg Tg

49 9 EJERCICIOS Demostrr d un de ls siguientes identiddes trigonométris Cs Se Se Tg Ctg Se Tg Se Se Cs Se Tg Tg

50 0 7 Tg 8 Ctg Tg Cs Sem Tg 9 Tg Tg 0 Cs Tg Se ECUCIONES TRIGONOMETRICS Ls euiones trigonométris, es deir, s euiones que involurn funiones trigonométris de ángulos desonoidos, se llmn: ) Euiones idéntis o identiddes Si se stisfen pr todos los vlores de los ángulos desonoidos, uys funiones están definidos ) Euiones ondiionles, o simplemente, euiones Si solo se stisfen en iertos vlores de los ángulos desonoidos Ls euiones trigonométris son quells en ls ules l inógnit pree omo un ángulo de funiones trigonométris uys soluiones perteneen l intervlo 0 0º No eiste un método generl pr resolver un euión trigonométri Generlmente se reomiend, trnsformr tod l euión de mner que quede epresd en términos de un sol funión trigonométri y luego resolverl omo un euión lgeri ulquier Muhs vees, se otienen soluiones etrñs, por lo tnto se deen ompror ls otenids en l euión dd demás hy que reordr que ls funiones trigonométris repiten sus vlores en los utro udrntes del plno de oordinds retngulres, siendo positivs en dos de ellos y

51 negtiv en los otros dos, es deir, hy dos udrntes en ls que el vlor de un ángulo de funión trigonométris tiene el mismo vlor y signo EJEMPLOS: Resuelve d un de ls siguientes euiones trigonométris ) = 80º Pr que se umpl l iguldd, l medid del ángulo dee ser igul 80º = 80º ) = (0º ) pr que l epresión se umpl, es neesrio que: = 0º + = 0º = 0º = 0º = 0º ) Tg Tg Tg 80º Tg Tg Tg 90º 90º 90º = 90º 90º

52 ) = 0º = El seno de un ángulo es, undo diho ángulo es 0º, demás el seno es positivo tmién en el segundo udrnte, por lo tnto, pr enontrr el otro ángulo, se tom: = 80º = 80º = 80º 0º = 0º = 0º, 0º e) = Ctg = = = = = Ls soluiones son ls del ejeriio d) = 0º, 0º f) Cs Se Ctg =

53 Por ser positivo el resultdo, ls soluiones se enuentrn en el primer y terer udrnte, en donde l Ctg es positiv En el primer udrnte = º Pr el terer udrnte: = 80º = 80º + º = º Soluiones: IC III C º 80º º º g) Tg 0 0 = 0 = = Ls Soluiones se enuentrn en el primer y terer udrntes, por ser el resultdo positivo I C 0º Soluiones: II 80º 0º 0º h) = + = 0 Est euión se resuelve plindo l resolvente por ser un un euión de º grdo:

54 =, = y = (est soluión es etrñ pregúntle l profesor) L soluión es Soluiones: I C IV 0º 0º 0º 00º g) + os = sen + = por ser un euión udráti, se dee igulr ero y demás el polinomio de l euión se orden en form dereiente + + = = 0 = ; = y = 9 8 (Soluión etrñ) Por qué?

55 h) + = + ( ) = + = + + = = 0 = ; = y = 8 9 (soluión negtiv, los ángulos que dn soluión l euión perteneen los udrntes: II y III ) C C (Soluión positiv, los ángulos que soluionn l euión se uin en los udrntes: I y IV ) C I 0º II 80º soluiones : III 90º IV 0º 0º 0º 0º 0º

56 EJERCICIOS: Resuelv d un de ls siguientes euiones trigonométris: = 0 = Se = Tg + Ctg = + Cs = + = 0 7 = =