Def: Un polinomio es la suma o diferencia de varios monomios no semejantes, a cada uno de ellos se les denomina términos del polinomio.

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2 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí.- POLINOMIOS: OPERACIONES CON POLINOMIOS Def: Un polinomio es l sum o diferenci de vrios monomios no semejntes, cd uno de ellos se les denomin términos del polinomio. El grdo del polinomio es el grdo del término de mor grdo, que se denomin término generl el término de grdo cero se denomin término independiente. Así, un polinomio de grdo n será de l form P) n n n- n-.. 0, siendo n su coeficiente principl 0 el término independiente. Vlor numérico de un polinomio P) Se un número rel, se llm vlor numérico de P) en, se denot P), l número que result de sustituir por en P) efectur ls operciones correspondientes. Ejemplo: P) 60 P ) P ) ) ) ) Ceros o ríces de un polinomio Diremos que es un cero o rí del polinomio P) si el vlor numérico de P) en es 0 es rí de P) P) 0 Operciones con polinomios: Sum diferenci: L sum o diferenci de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene sumndo o restndo los monomios que sen semejntes dejndo indicd l operción de los términos no semejntes. Ejemplo: P) Q ) 5) 6 8 5) P) Q ) 5) 6 8 5) Producto: El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicndo cd término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio, simplificndo los términos semejntes. Usremos l propiedd distributiv) Ejemplo: Págin de 5

3 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí División de polinomios: Pr dividir dos polinomios usremos un método nálogo l que usmos pr dividir números enteros. Vése el ejemplo: Nots: Es importnte dejr huecos en el dividendo si éste no es completo. En el divisor no es necesrio). No olvides cmbir de signo el resultdo del producto de cd término del cociente por el divisor, l colocrlo debjo del monomio semejnte del dividendo. L división se cb cundo el grdo del dividendo es menor que el grdo del divisor. Aplicndo el Algoritmo de Euclides D ) d ) C ) R ), se D ) R ) deduce que C ) d ) d ) Regl de Ruffini: Podemos plicr est regl cundo el divisor es de l form, siendo Q Recuerd: -Colocmos en l prte superior los coeficientes con sus signos correspondientes) de cd término del polinomio dividendo, en orden, colocndo un cero en el lugr correspondiente l término que fltse, en el cso de que el polinomio fuese incompleto. - En l prte de l iquierd colocmos el vlor de. - Los números que se obtienen en l prte inferior son los coeficientes, en orden, del polinomio cociente, cuo grdo será uno menos que el del dividendo. Ejemplo: 65) : ) Luego C) 0) R Págin de 5

4 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí.- RAÍCES Y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. TEOREMA DEL RESTO Y TEOREMA DEL FACTOR Fctorir un polinomio es epresr el polinomio como producto de otros polinomios fctores) del menor grdo posible. Teorem del Resto: El resto de dividir el polinomio P) entre ), coincide con el vlor numérico de P) en. Es decir, R P) Demostrción: Dividimos P) entre, se R es el resto de est división, C) el cociente. Se cumple que P) C) ) R; Sustituimos en l epresión nterior por obteniendo P) C) ) R; Luego P) C) 0 R ; P) R cqd Teorem del fctor: Si es un rí de P), entonces es un fctor de P) Demostrción: Si es un rí de P), por definición, P) 0 Dividimos P) entre, si R es el resto de est división, por el teorem del resto, R P), Luego, R 0 Como P) ) C) R P) ) C) Luego ) es un fctor de P) cqd Ejercicio propuesto: Págin de 5

5 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí PROCEDIMIENTO DE FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO:. Etrer fctor común cundo se posible.. Si el polinomio fctorir es de grdo mor que dos: Loclimos ls ríces enters del polinomio Buscmos entre los divisores del término independiente tles que P) 0) Aplicmos Ruffini sucesivmente con ls ríces encontrds pr fctorir el polinomio.. Si el polinomio fctorir es de grdo : Identificmos productos notbles Hllmos ls ríces del polinomio de º grdo, resolviendo l ecución que result de igulr cero dicho polinomio. Si l ecución resultnte no tiene solución rel, diremos que dicho polinomio es irreducible en Not: Considerremos polinomios irreducibles en R todos los de grdo los de grdo que no tengn en. Si P) es un polinomio de grdo n, P) n n n- n-.. 0, sus ríces son 0,,,,. n -, entonces l fctorición de P) será de l form P) n 0 ) ) ) ).. n- ) Si en l fctorición un fctor se repite dos veces, tres veces, diremos que l rí correspondiente es doble, triple.. Ejemplo: Fctorir decir cuáles son ls ríces de P ) 60. Etremos fctor común P) 60). Buscmos ríces enters de P) entre los divisores del término independiente. Not: Es importnte que te des cuent de que iremos sustituendo los vlores de ls posibles ríces en 60), que si nul este polinomio, obvimente tmbién lo hrá P), como es de menor grdo que P), los cálculos serán más sencillos. En este ejemplo, hemos hlldo los vlores numéricos del polinomio en cd uno de los posibles vlores, pero recuerd que solo necesitmos encontrr uno cuo vlor numérico se cero, veces simple vist, se observ que el resultdo será distinto de cero, sin necesidd de clculr su vlor ecto, en esos csos, bstrá con que escribs P)... 0 sigs buscndo. Págin 5 de 5

6 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí P ) P ) 60 6 P) P ) P) P ) > es un rí de P). Con encontrr un rí será suficiente pr emper plicr Ruffini. Recuerd que lo plicremos l polinomio que queremos fctorir, es decir, 60. Método de Ruffini: - Colocmos en l prte superior los coeficientes con sus signos correspondientes) de cd término del polinomio, en orden, colocndo un cero en el lugr correspondiente l término que fltse, en el cso de que el polinomio fuese incompleto. - En l prte de l iquierd colocmos l rí que hemos encontrdo Luego P) ) 0) Pr fctorir 0), l ser un polinomio de grdo, resultrá más rápido resolver l ecución de segundo grdo 0 0 que buscr nuevs ríces. Tmbién debes tener en cuent que el polinomio puede tener ríces no enters, encontrrls con Ruffini puede ser "interminble". 5 Al resolver es ecución encontrmos que ls ríces son: Luego P ) ) 5) ) ls ríces serán : 0 5 Ejercicio propuesto Págin 6 de 5

7 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí.- FRACCIONES ALGEBRAICAS. Definición: Un frcción lgebric es un frcción del tipo dos polinomios. P ), siendo P) Q) Q ) Ejemplo: 5..- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Un de ls plicciones de l fctorición de polinomios es l simplificción de frcciones lgebrics. Simplificr un frcción lgebric es obtener un equivlente ell que se más sencill. Si un frcción no puede simplificrse, se dice que es irreducible. Procedimiento pr simplificr un frcción lgebric: Seguiremos los siguientes psos: º) Descomponemos en fctores los polinomios que están en el numerdor en el denomindor. º) Dividimos numerdor denomindor entre los fctores que tengn en común. El mismo procedimiento que usmos pr simplificr un frcción numéric) Ejemplo: Págin 7 de 5

8 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Págin 8 de 5..- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS SUMA Y RESTA Se procede de l mism form que con ls frcciones numérics: - Se reduce común denomindor hllndo el m.c.m. de los denomindores - Se hlln ls frcciones equivlentes ls nteriores se opern los numerdores - Se simplific l frcción resultnte si se puede. Ejemplos resueltos: ) Efectú: Primero tenemos que encontrr el denomindor común. Pr ello tommos el m.c.m. de los denomindores: ) )... ) ) ) ) ) m c m ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Ejercicio : ) b) c) 6 d) e) f) g) 8 h)

9 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Págin 9 de 5 PRODUCTO Y DIVISIÓN Se procede de l mism form que con ls frcciones numérics ) ) ) ) ) ) ) ) S Q R P S R Q P Es importnte intentr fctorir cd uno de los polinomios simplificr los fctores cundo se posible, ntes de operr, de lo contrrio el proceso puede complicrse. Un ve relid l multiplicción o división de ls frcciones se reduce un simple ejercicio de simplificción. Ejemplos: ) ) ) ) b) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6) : 6 Ejercicio : ) 6 b) c) 6 : d) : e) f) ) ) OPERACIONES COMBINADAS Se plic l mism jerrquí de operciones que pr números reles. Ejemplo: ) ) : ) ) ) ) : ) ) : Ejercicio : ) b) : c) : d) : : e) f) b b b b b b

10 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS: ) b) g) h) ) c) 7 6 d) e) f).- ) b) c) d) ) e) ) ) f).- ) b) ) c) d) 0 e) ) f) b b.- ECUACIONES...- ECUACIONES POLINÓMICAS Repsemos los principles tipos de ecuciones polinómics, que son quells en ls que únicmente intervienen polinomios. Su grdo será el máimo grdo de los polinomios que ls determinn : Ecución de primer grdo: Puede tener un, ningun o infinits soluciones: Ecución de segundo grdo: L form generl es b c 0, siendo 0 Pueden ser: Complets: cundo 0; b 0, c 0 Se resuelven plicndo l fórmul b ± b c Págin 0 de 5

11 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Incomplets: Cundo b 0 o c 0 Cso : Si b 0 Cso : c 0 Fórmuls de Crdno-Viet Si son ls soluciones de l ecución b c 0, se verific: b c Ecución bicudrd Es de l form b c 0 Resolución: Aplicmos el cmbio de vrible t Se trnsform l ecución en un de º grdo en l incógnit t; t bt c 0 Resolvemos l ecución deshcemos el cmbio de vrible. Págin de 5

12 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí t t Ejemplo: t 8t 8 ± 9 0 t ± 0 t t 8 9 ± No tiene solución rel Ecución polinómic de grdo superior dos Es de l form P) 0, luego resolverl equivle hllr ls ríces del polinomio P). Es decir, fctoriremos el polinomio con el procedimiento visto en el punto de este tem hllremos sus ríces. Ejemplo: Págin de 5

13 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí..- ECUACIONES RACIONALES Son quells en ls que precen frcciones lgebrics. Pr resolverls: -se oper con ls frcciones lgebrics hst obtener un ecución polinómic se resuelve. - Se comprueb siempre que ls soluciones son cierts, que no nuln los denomindores, que en el proceso de eliminr denomindores pueden precer soluciones flss. Ejemplos: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0 0 ) 0 doble) L únic solución obtenid es fls, porque l sustituir en l ecución se nul lgún denomindor Págin de 5

14 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí..- ECUACIONES IRRACIONALES Son ecuciones con rdicles, en ls que l incógnit prece en el rdicndo de lguno de ellos. Resolución: distinguiremos los csos: -) Ecución con un único rdicl cudrático: islremos el rdicl en un miembro elevremos l cudrdo mbos miembros. - b) Ecución con más de un rdicl cudrático: Se ísl uno de los rdicles en un miembro, se elev l cudrdo mbos miembros, se simplific se repite el procedimiento si fuese necesrio. Not: Al elevr l cudrdo pueden precer soluciones flss, por eso siempre h que comprobr si son válids tods ls soluciones. Ejemplos: ) Se ísl el rdicl en el primer miembro Elevmos l cudrdo los dos miembros de l ecución opermos hst obtener un ecución polinómic, l resolvemos: ) ) ± 0 Se compruebn ls soluciones sustituendo los vlores de obtenidos en l ecución inicil. Si Si L únic solución es - b) es solución fls es solución verdder Ejercicio propuesto: Págin de 5

15 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí..- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Son ecuciones en ls que l incógnit prece en l bse o en el rgumento de un logritmo. Resolución: - Aplicmos propieddes de los logritmos vists en el tem ), hst trnsformr los miembros de l ecución en un iguldd de logritmos de l mism bse. - Teniendo en cuent que log M log N M N, trnsformmos l ecución inicil en otr ecución fácil de resolver. Not: Siempre h que comprobr en l ecución inicil que ls soluciones obtenids son válids, que los logritmos no están definidos cundo el rgumento es cero ni pr vlores negtivos. Ejemplos: ) 5log log log 6 log 5 log log triple) log ± 6 5 log ) 0 Comprobción: Pr los vlores de 0-6, el rgumento del logritmo es menor o igul que cero, luego no eiste el logritmo, por lo tnto ess soluciones son flss. Al sustituir 6 en l ecución obtenemos: 5log 6 log 6 log 6, que es cierto. Luego l únic solución correct es 6. ) Págin 5 de 5

16 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí.5.- ECUACIONES EXPONENCIALES Son ls ecuciones en ls que l incógnit se encuentr en el eponente de un potenci Resolución: Distinguimos los siguientes csos: Cso : Los dos miembros de l ecución se reducen potencis de l mism bse, plicndo propieddes de ls potencis. Considerndo que n m n m siempre que ±; 0, igulndo los eponentes obtendremos un ecución fácil de resolver. Ejemplo: ) ) Cso : Aprecen o trnsformmos l ecución inicil en sums o rests de potencis de l mism bse. Efecturemos el cmbio de vrible. Resolvemos l ecución obtenid en l nuev vrible deshcemos posteriormente el cmbio de vrible. Ejemplo: Cso : Si no estmos en ninguno de los csos nteriores, tendremos que tomr logritmos en los dos miembros de l ecución resolver l ecución logrítmic resultnte. Ejemplo: log log log ) log ) log log log log log log ± log log log log log log log ± log log Págin 6 de 5

17 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Not: En ocsiones l resolver un ecución eponencil tenemos que plicr vris de ls estrtegis vists en los prtdos nteriores. Vése el siguiente ejemplo. Ejemplo: Se plic el cmbio de vrible Deshcemos el cmbio de vrible ) ) Resolvemos l ecución de º grdo 9 log Tomndo logritmos 9 log 9 log log log 9 cmbio de bse.6.- ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Son de l form : siendo k > 0 siempre Págin 7 de 5

18 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí 5. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS Son sistems formdos por tres ecuciones de primer grdo, en el que precen tres incógnits, generlmente,. Serán de l form: b c d ' b' c' d' '' b'' c'' d'', siendo, ' '' los coeficientes de ; b, b', b'' los coeficientes de ; c, c', c'' los coeficientes de. Pr resolverlo, usremos el método de Guss, que consiste en plicr el método de reducción de form estructurd con el objetivo de obtener un sistem tringulr equivlente, esto es, obtener un sistem de l form: Pr obtener un sistem equivlente, recordemos que puede conseguirse si: El procedimiento seguir en el método de Guss será el siguiente: Not importnte: Págin 8 de 5

19 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Págin 9 de 5 Al resolver los sistems, los clsificremos de l siguiente form: Sistems de ecuciones lineles Ejemplo: Vmos eliminr l de l ª ª ecución usndo l ª, pr ello les restremos el doble el triple de lª respectivmente: E E E E E E Ahor intentremos eliminr l incógnit de l ª ecución plicndo el método de reducción entre l ª ª ecución E E E Resolvemos ls ecuciones empendo por l tercer, que tiene solo un incógnit, vmos sustituendo los vlores obtenidos resolviendo l segund l primer ) 5 7 ) Sol:

20 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí 6. INECUACIONES Un inecución es un desiguldd entre dos epresiones lgebrics en ls que precen un o más incógnits. L solución de un inecución es el conjunto de todos los vlores de ls incógnits que hcen que l desiguldd se ciert. Ejemplo: 6 > 0 L solución son todos los vlores de mores que ; > ;, ) Considerremos los siguientes tipos de inecuciones: Inecuciones de primer grdo Se resuelven ls misms técnics que pr resolver ls ecuciones lineles, teniendo en cuent que si se multiplicn o dividen los miembros de un inecución por un número negtivo, cmbi el sentido de l desiguldd. Ejemplo: ) < < 6 6 < 6 6 < 7 < 5 > 5 5, ) Inecuciones polinómics. Ls ecuciones polinómics de grdo mor que, procederemos siguiendo los siguientes psos: º.- Operremos en l inecución hst conseguir que uno de los miembros de l mism se 0, es decir, de l form P) <0 ; P) >0 ; P) 0; P) 0. º.- Hllmos ls ríces de P) lo fctorimos. º.- Dividimos l rect rel en los intervlos que determinn sobre ell ls ríces de P). º.- Se verigu el signo de P) en cd uno de los intervlos nteriores, trvés del estudio del signo de cd uno de los fctores de P). 5º.- Comprobmos si los etremos de los intervlos tmbién pertenecen l solución. Págin 0 de 5

21 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Ejemplo: < < 0 AplicmosRuffini pr < 0 ) ) < 0 ) ) ) < 0 ) ) 0 0 ) ) ) ) Por lo tnto l solución serán los vlores de pr los que obtenemos el signo negtivo. Not: No podemos incluir en l solución el vlor, que ) ) 0,, Solución: ) ) 0 < 0 Inecuciones rcionles P ) L form generl es 0 Q ) desiguldd. o con lgún otro de los operdores de El procedimiento será precido l que utilimos pr ls inecuciones polinómics: º.- Opermos en l inecución hst tenerl en l form generl, es decir, en un miembro tendremos un frcción lgebric en el otro 0. º.- Fctorimos hllmos ls ríces de los polinomios del numerdor el denomindor de l frcción. º.- Situmos sobre l rect rel ls ríces obtenids nteriormente considermos los intervlos que se formn. º.- Averigumos el signo de l frcción lgebric en cd uno de los intervlos, trvés del estudio del signo de cd uno de los fctores del denomindor denomindor. 5º.- Es importnte comprobr si los etremos de los intervlos pertenecen o no l solución. Asimismo, h que tener en cuent, que ls ríces del denomindor siempre h que ecluirls de l ecución, que hcen cero el denomindor. 8 5 Ejemplos: ) b) 0 Págin de 5

22 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Inecuciones con vlor bsoluto H dos csos posibles: siendo k > 0 Inecuciones con dos incógnits Págin de 5

23 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí 7. SISTEMAS DE INECUACIONES Un sistem de inecuciones está formdo por vris inecuciones con un o vris incógnits. 7. SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Pueden ser sistems lineles si tods ls inecuciones que lo integrn lo son, o no lineles, si lgun de ls inecuciones del sistem no es linel: Sistem linel Sistem de inecuciones no linel En mbos csos el procedimiento pr resolverls será : Resolver cd un de ls inecuciones por seprdo epresr su Solución en form de intervlos/ semirrects o unión de éstos L solución del sistem será l intersección de ls soluciones de cd un de ls inecuciones Págin de 5

24 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí 7. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Cundo considermos encontrr ls soluciones comunes de vris inecuciones lineles, estmos resolviendo un sistem de inecuciones. Recordemos que el conjunto de soluciones de un inecución linel con dos incógnits es un semiplno. Luego el conjunto de ls soluciones de un sistem de inecuciones lineles de este tipo será l intersección de vrios semiplnos, es decir, un recinto poligonl o bien un recinto bierto. Recinto poligonl Recinto bierto Ahor bien, tmbién es posible que los semiplnos no tengn ningún punto en común, en ese cso el sistem no tendrá solución diremos que es un sistem incomptible. Págin de 5

25 º Bchillerto Mtemátics I Tem : Álgebr An Pscu Grcí Vemos lgunos ejemplos resueltos:.-resuelve el sistem: 0 > 8 > 0 6 > > [, ) > ) ) > 0 ) ) > 0 ) ) Obtenemos ls soluciones de cd un de ls inecuciones: ª [, ) ª, ) ª, ), ) L solución del sistem será l intersección de ls soluciones, es decir: [, ), ) {, ), ) } [, ) {, ), ) }, ) > 0. Represent l solución del sistem de inecuciones: Representmos en el plno cd un de ls rects: Pr ello en los dos primeros csos obtenemos puntos por los que ps cd un hciendo tbl de vlores), en el tercer cso, l rect es prlel l eje de bsciss. Mrcmos l prte del semiplno que determin cd inecución. L solución del sistem será l on formd por el triángulo ABC Págin 5 de 5

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