4.4 Sistemas mal condicionados

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Lorena Morales Miguélez
hace 5 años
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1 7 4.4 Sistemas mal codicioados l resolver u sistema de ecuacioes lieales usado u método directo, es ecesario aalizar si el resultado calculado es cofiable. E esta secció se estudia el caso especial de sistemas que so muy sesibles a los errores e los datos o e los cálculos y que al resolverlos produce resultados co mucha variabilidad. Para describir estos sistemas se cosidera el siguiete ejemplo: Ejemplo Ua empresa compra tres materiales, B, C e catidades e kg. como se idica e el cuadro. Se dispoe de tres facturas e las que costa el total pagado e dólares. Factura B C Total Co esta iformació debe determiarse el precio por kg. de cada material. Sea, 2, 3 los precios por kg. que debe determiarse. Etoces se puede platear las ecuacioes: E otació matricial Si se resuelve este sistema co u método directo se obtiee: X Supodremos ahora que el digitador se equivocó al igresar los datos e la matriz y registró 4. e lugar del valor correcto Si se resuelve este sistema uevamete co u método directo se obtiee: X U cambio meor e u coeficiete produjo u cambio muy sigificativo e la solució. El resultado fue afectado fuertemete por este error. Esto es u idicio de que el sistema es de u tipo especial deomiado mal codicioado. Los resultados obteidos co estos sistemas o so cofiables para tomar decisioes.

2 72 Esta situació se origia e el hecho de que la tercera ecuació es casi liealmete depediete de las otras dos ecuacioes, por lo tato, la solució puede variar mucho al cambiar alguos coeficietes. Es coveiete detectar si u sistema es mal codicioado. Se debe cambiar ligeramete el valor de algú coeficiete y observar el cambio e el vector solució. Si la solució cambia sigificativamete, etoces es u sistema mal codicioado y debe revisarse la elaboració del modelo matemático. E esta secció se establece ua medida para cuatificar el ivel de mal codicioamieto de u sistema de ecuacioes lieales Defiicioes La orma de u vector o de ua matriz es ua maera de epresar la magitud de sus compoetes Sea X: vector de compoetes : matriz de compoetes lguas defiicioes comues para la orma: X i i X ma i,i,2,..., X ( ) i 2 / 2 ma a, j,2,..., i ma a,i,2,..., i,j i,j j 2 / 2 i,j i j ( a ) Las dos primeras se deomia orma y orma ifiito, tato para vectores como para matrices. La tercera es la orma euclideaa. Ejemplo. Dada la siguiete matriz Calcule la orma ifiito (orma por fila). Esta orma es el mayor valor de la suma de las magitudes de los compoetes de cada fila Fila : Fila 2: Fila 3: Por lo tato, la orma por fila de la matriz es 6

3 lguas propiedades de ormas Sea : matriz de compoetes. (Tambié se aplica a vectores) a) 0 b) k k, k R c) + B + B d) B B e) (k) - /k Número de codició El úmero de codició de ua matriz se usa para cuatificar su ivel de mal codicioamieto. Defiició: Número de codició Sea X B u sistema de ecuacioes lieales, etoces cod() - es el úmero de codició de la matriz. Cota para el úmero de codició: cod() - - I cod() El úmero de codició o cambia si la matriz es multiplicada por algua costate: cod(k) k (k) - k /k - k /k - - Ejemplo ; 0 5 B B Determiate Norma de la matriz Norma de la iversa Número de codició Si la matriz tiee filas casi liealmete depedietes, su determiate tomará u valor muy pequeño y su iversa tedrá valores muy grades, siedo esto u idicio de que la matriz es mal codicioada o es casi sigular. Este valor iterviee e el úmero de codició de la matriz. Por otra parte, si la matriz tiee valores muy pequeños, su determiate será muy pequeño, su iversa cotedrá valores grades y la orma de la matriz iversa tambié tedrá u valor grade auque la matriz o sea mal codicioada. Si el úmero de codició solo depediera de la orma de la matriz iversa, tedría u valor grade e ambos casos. Por esto, y usado la propiedad aotada ateriormete, es ecesario multiplicar la orma de la matriz iversa por la orma de la matriz origial para que el úmero de codició sea grade úicamete si la matriz es mal codicioada.

4 74 Ejemplo. Calcule el úmero de codició de la matriz del ejemplo iicial cod() Es u valor alto, respecto al valor míimo que es Ua matriz puede cosiderarse mal codicioada si ua ligera perturbació, error o cambio, e la matriz de coeficietes produce u cambio muy sigificativo e el vector solució El úmero de codició y el error de redodeo Dado u sistema de ecuacioes lieales X B cuya solució eiste y es X Supoer que debido a errores de medició, la matriz de los coeficietes tiee u error E. Sea + E, la matriz co los errores de medició. Supoer que el vector B es eacto Etoces, al resolver el sistema se tedrá ua solució X diferete a la solució X del sistema iicial. Esta solució X satisface al sistema: X B Es importate determiar la magitud de la diferecia etre ambas solucioes: X X Sustituyedo X B e la solució del sistema origial X B: X B ( X ) ( + E)X X + EX I X + EX X + EX X X EX X X E X X X X E De dode se puede escribir, sustituyedo E y el úmero de codició de : Defiició: Cota para el error relativo de la solució X X cod() X e X cod() (e ) Cota para el error relativo de la solució

5 75 X es el vector solució calculado co la matriz iicial X es el vector solució calculado co la matriz modificada E es la matriz co la variació de los datos de la matriz. e X es el error relativo de la solució e es el error relativo de la matriz La epresió establece que la magitud del error relativo de la solució está relacioada co el error relativo de la matriz del sistema, poderada por el úmero de codició. El úmero de codició es u factor que amplifica el error e la matriz aumetado la dispersió y la icertidumbre de la solució calculada X Ejemplo. Ecuetre ua cota para el error e la solució del ejemplo iicial Matriz origial Matriz modificada Error e la matriz: E Norma del error relativo de la matriz: E e Número de codició: cod() % Cota para el error relativo de la solució: e cod() (e ) (0.0043) % X Idica que la magitud del error relativo de la solució puede variar hasta e 329%, por lo tato o se puede cofiar e iguo de los dígitos de la respuesta calculada.

6 76 Ejemplo. Ecuetre el error relativo de la solució e el ejemplo iicial y compare co el error relativo de la matriz de los coeficietes. Sistema origial: Solució: X Sistema modificado: Solució: X Error e la solució: E X X - X Norma del error relativo de la solució: E X e X X % Norma del error relativo de la matriz: E e % La variació e el vector solució es muy superior a la variació de la matriz de coeficietes. Se cocluye que es u sistema mal codicioado.

7 Fucioes de MTLB para ormas y úmero de codició Cálculo de ormas de vectores y matrices e MTLB Sea a u vector o ua matriz orm(a, ) para obteer la orma (orma de columa) orm(a, if) para obteer la orma ifiito (orma de fila) cod(a, ) úmero de codició co la orma cod(a, if) úmero de codició co la orma ifiito Ejemplo. Calcule el úmero de codició de la matriz Escribimos e la patalla de comados de MTLB: >> a[4, 5; 4., 5]; (Matriz) >> orm(a,if) (Norma de fila as 9.5 >> iv(a) (Matriz iversa) as >> cod(a,if) (Número de codició) as (Matriz mal codicioada)

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