MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II

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1 INTEGRLES MTEMÁTIS PLIDS LS. SS. II lfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

2 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS I) ONEPTO DE INTEGRL INDEFINID (pág. 0 del liro de texto) Dd f(x)=x nos preguntmos qué función F(x) es tl que l derivrl nos d f(x)? lrmente es F(x)=x, pero no sólo es sino tmién F(x)=x, F(x)=x 5,... y en generl F(x)=x (siendo cte.). L notción que se sigue es: símolo integrl f(x) F(x) F'(x) = f(x) integrndo primitiv de f(x) diferencil de x cte. de integrción Ejemplos: ) x x d) ) x e) c) x f) Oservciones:. L cte. de integrción veces se omite pues se soreentiende. En cmio, dx no puede omitirse! Veremos más delnte que jueg un ppel fundmentl.. Evidentemente, en l práctic ls integrles no se resuelven por tnteo, como hemos hecho en el ejemplo nterior, sino plicndo técnics de integrción, cuyo prendizje dedicremos el resto del tem.. Más delnte veremos que est nuev operción sí definid, l integrción, tiene un grn utilidd (preferentemente el cálculo del áre jo un curv). Pero de momento nos centrremos en prender ls técnics ásics de integrción, ls cules se sn en l oservción siguiente: 4. Ddo que l integrción es l operción contrri de l derivción, l tl de integrles es prácticmente idéntic l de derivds, pero l revés: TBL DE INTEGRLES INMEDITS x k k x n x x (n -) n n 4 f(x) g(x) = f(x) ± ± g(x) 5 k f(x) = k f(x) En est tl, k y n son números reles, y f(x) y g(x) funciones. Vmos justificr, por ejemplo, el cso de l integrl de un potenci (cso º; el resto se prorí igul): I n x n (n ) x = n n = x n

3 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS 5. Los dos últimos csos son consecuenci de ls propieddes de l derivd: f(x) ± g(x) = f(x) ± g(x) es decir, l integrl de l sum (diferenci) es l sum (diferenci) de ls integrles. k f(x) = k f(x) es decir, ls constntes multiplictivs pueden entrr o slir de l integrl. L utilizción conjunt de ms propieddes, junto con el resto de l tl, nos permitirá resolver culquier integrl polinómic (que son ls que precen en l PU). Pr ello, tendremos que extrer ls constntes multiplictivs del integrndo cundo conveng, como veremos en el siguiente ejercicio. Ejercicio : Utilizndo l tl, hllr ls siguientes integrles inmedits, y efectur l comproción:. x x4 ). x 4 x5 5 ). x x ) 4. 5t 4 dt = t 5 ) 5. 4x 4x ) 6. x x4 ) 7. 4t dt = t ) 8. - x - x ) 9. -5x 4 - x 5 )

4 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS x 0. x4 8 ). - x x ) t. dt = t 6 ) x ) 4. - x 6 x7 ) x 5. x 9 ) 5x 6. 4 x5 ) x 4 7. x5 0 ) 8. x x ) 9. (x x) x x ) 0. (x ) x x ). - x x ). (x ) x x )

5 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS. (t ) dt = t t ) 4. (x ) x x ) 5. (x x ) x x x ) 6. (x 4) x 4x ) 7. (-x ) x x ) 8. (x x 5) x x 5x ) 9. (x 4) x 4x 6x ) 0. (-x x) x x ). x(x -) x x ). (x ) 4x 6x 9x ). (x ) 5 x 4x 4x ) 5 4. (-x x ) x x x ) 5. x(x ) x 4 x ) 4

6 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS 6. t(t ) dt = 4 t t ) 4 7. (x x ) x x x ) 8. x (x ) 6 x x ) (x ) x x 4x ) 40. (x x) x x ) 4. (t ) dt = t t t ) 4. (x 4x ) x x x ) 4. (x ) x 4 x ) (x ) x x ) 45. (-x ) x x ) x 46. x ) (-x 6x 5) x x 5x ) Ejercicios liro: pág. 7:,, c, d; 9 e 5

7 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS II) ONEPTO DE INTEGRL DEFINID (pág. 4 del liro de texto) DEF: f(x) áre del recinto limitdo por l curv f(x), el eje x, y ls rects verticles x= y x= Gráficmente, coincide con el áre del diujo : f(x) Signo de l integrl definid: Hy posiiliddes: f(x) undo l curv está por encim del eje x, el áre es positiv (lógico pues f(x)>0 en ese cso) Si l función está por dejo, entonces l integrl definid es negtiv (y que entonces f(x)<0) En este cso f(x) 0 0 ómo se clcul?: Medinte l REGL DE BRROW : se trt de hllr un primitiv F(x) medinte los procedimientos del prtdo nterior, y continución vlorrl entre los extremos y : = = f(x) dx F(x) f(x) dx F()-F() Ejemplos justifictivos: ) f(x)= = dx = (ompruéese el resultdo gráficmente) L definición nterior puede entenderse intuitivmente si pensmos que f(x) dx representrí el áre de un rectángulo infinitesiml de ltur f(x) y nchur tn pequeñ como quermos dx, por lo que l integrl definid vendrí ser l sum de esos infinitos pequeños rectángulos. Pr un comprensión más riguros de este hecho, vése el liro de texto. Isc Brrow (60-677), eminente mtemático inglés y profesor de Isc Newton en mridge. Ver l justificción de est regl, que se conoce como º Teorem fundmentl del cálculo integrl, en pág. 6 del liro de texto. 6

8 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS ) y=x- = (x - ) dx = (ompruéese que el áre del triángulo es efectivmente l clculd) c) y = x 5 = ( x 5 ) dx = (ompruéese que coincide con el áre del trpecio, l cul B vení dd por = h ) d) y = x - = 4 ( x ) dx = (ompruéese que l sum de ls dos áres somreds, cd un con su signo, coincide con el resultdo) Nótese, por consiguiente, que l integrl definid tiene un utilísim plicción l cálculo de áres. Propieddes de l integrl definid: c ) Si cœ[,]: Est propiedd nos será muy útil l hor de hllr el áre f = f f de un recinto compuesto como sum de dos o más c suáres. Su justificción es trivil, tnto gráficmente como plicndo l regl de Brrow. ) Ovio y fácil de pror. f = 0 ) Puede demostrrse fácilmente plicndo l regl de Brrow. f = f 4) Es un consecuenci inmedit de un propiedd nálog f ± g ± de l integrl indefinid. = f g 7

9 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS 5) función impr = 0 L interpretción gráfic es ovi: y=x Ls dos áres somreds son igules pero de signo opuesto, por lo que su sum es cero. Por ejemplo, podemos concluir, sin necesidd de hcer l integrl, que: x 0 - omproémoslo, de tods forms, nlíticmente: Ejercicio : plicndo l regl de Brrow, clculr ls siguientes integrles definids:. x 7/) 0. x ) 4. ( x ) -5/) 4. ( x x ) 4) 5 5. (Sin plicr Brrow) x 0) 5 6. ( x x ) 7/6) 0 7. ( x x 5) 8/) 8

10 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS 8. (Sin plicr Brrow) x 0) 9. x 4) Ejercicios liro: pág. 8: 0,, c;, c III) ÁRE BJO f (pág. 4 del liro de texto) En cd uno de los tres csos vistos en l págin 6 hrá que proceder de form distint: ) f es positiv: f(x) = f(x) dx (por l propi definición de l integrl definid) ) f es negtiv: Tenemos dos forms lterntivs de proceder: = f(x) dx o ien: = - f(x) dx f(x) ) f es positiv y negtiv (se ltern): por l propiedd (pág. 7) x x T = = x f x f x f x NOT: En generl hrá que hllr los puntos en que f(x) cort l eje x (x y x en el ejemplo nterior) pues no semos de ntemno si f(x) cmi de signo. Tmién, veces conviene representr f(x), pues puede formr con respecto l eje x dos o más suáres (como ocurre en los ejercicios 4, 5 y 6). Recordr que pr otener los puntos en que un función cort l eje x hy que resolver l ecución f(x)=0 9

11 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS Ejercicio : Hllr, previ representción gráfic de l situción, el áre limitd por l práol y=x -4x y el eje x Nótese que en este ejemplo l integrl en sí result negtiv, pues l práol está por dejo del eje x, pero el vlor soluto l convierte en positiv, como dee ser por trtrse de un áre. Podrímos her otenido dich áre sin her hecho previmente l representción gráfic? L respuest es firmtiv. Piénsese cómo. Ejercicio 4: Hllr el áre del recinto limitdo por l gráfic de f(x)=x -4x, el eje x, y ls rects verticles x=- y x=. Explicr gráficmente l situción. 0

12 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS Ejercicio 5: Diujr l rect y=-x4, y hllr: ) El áre del recinto limitdo por dich rect y los ejes de coordends. ) El áre del recinto limitdo por dich rect, el eje x y ls rects x= y x=4 Ejercicio 6: Hllr, sin previ representción gráfic, el áre limitd por l función y=x -x -x y el eje x. Diújese, continución, l gráfic, pr explicr l situción. Ejercicios liro: págs. 8 y 9:, y (ejercicios resueltos) pág. 9: y pág. 8:,, c, d, f; 4, ; pág. 9: 5, 6 y 7 (función definid por rms) Ejercicios PU: culquier del prtdo ) del loque ejercicio

13 IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS TBL DE INTEGRLES INMEDITS x k k x n x x (n -) n n 4 f(x) g(x) = f(x) ± ± g(x) 5 k f(x) = k f(x) En est tl, k y n son números reles, y f(x) y g(x) funciones.

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