CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen de 1 de Septiembre de 2003 Primera parte

Transcripción

1 CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen de 1 de Septiembre de 3 Primer prte Ejercicio 1. Un vsij que tiene l form del prboloide de revolución de eje verticl obtenido l girr l curv y = px en torno l eje OY, se encuentr prcilmente llen de gu. Clculr el cociente entre el áre de l superficie mojd de l vsij y el volumen de líquido cundo l superficie superior del gu es un círculo de rdio R. Solución. Usndo el método de los discos, el volumen V del líquido es Z pr V = π Z pr x dy = π = π pr y = π p R 4 p p = πpr4. El áre de l superficie mojd viene dd por Z R q A =π x 1+(y ) dx Z R y p dy =π x p 1+4p x dx 1 =π 1+4p x 3/ 3 8p = π h 1+4p R i 3/ 1. 6p El cociente entre el áre de l superficie y el volumen es i π h(1 + 4p R ) 3/ 1 6p A V = πpr 4 = (1 + 4p R ) 3/ 1 3p 3 R 4. R 1

2 Ejercicio. 1. Dentro de un círculo de rdio R se inscribe un cudrdo y dentro de éste un nuevo círculo. El proceso se repite indefinidmente. Determinr l sum de ls áres de todos los círculos resultntes.. A prtir de l serie geométric, obtener el desrrollo en serie de potencis en el origen de l función f (x) = x. (1+x ) Solución. 1. Si R es el rdio del círculo ddo, tenemos que su áre es A = πr. El rdio y el áre del nuevo círculo inscrito en el cudrdo son R cos π 4 = R y A 1 = πr. Usndo el principio de inducción, obtenemos que el rdio y el áre del n-ésimo círculo son R cos n π 4 = R y A n n = πr. n En consecuenci, l sum de ls áres de todos los círculos resultntes es X X µ S = A n = πr 1 1 = n πr 1 1 =πr. n= n=. Derivndo l serie geométric 1 1+x = X ( 1) n x n, 1 <x<1, n= obtenemos x X (1 + x ) = ( 1) n nx n 1, 1 <x<1. n=1 El desrrollo en serie de potencis en el origen de l función es x X f (x) = (1 + x ) = ( 1) n+1 nx n 1, 1 <x<1. n=1

3 CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen de 1 de Septiembre de 3 Segund prte Ejercicio 3. Se dese construir un brevdero pr gndo con un chp rectngulr muy lrg y con metros de nchur. A ese efecto se pretende doblr hci rrib dos tirs lterles de nchur x conunánguloθ y tpr luego los extremos con dos piezs plns trpezoidles decuds igules. Determinr x y θ de form que el brevdero resultnte teng volumen máximo y obtener el áre de ls piezs plns necesris pr tpr los extremos. Solución. El volumen del brevdero es el producto del áre de l piez pln trpezoidl por l longitud l de l chp, es decir, V = 1 (B + b) hl, donde Entonces b = x, B = x +x cos θ y h = x sen θ. V (x, θ) =( x + x cos θ) x sen θl = l ( x) x sen θ + x sen θ cos θ, donde x / y θ π/. En primer lugr, determinmos los puntos del interior del conjunto que verificn V (x, θ) =(, ), resolviendo el sistem ½ l [ x sen θ +( x)senθ +x sen θ cos θ] =, l [( x) x cos θ + x (cos θ sen θ)] =. L primer ecución implic que sen θ +x (sen θ cos θ senθ) = sen θ [ +x (cos θ )] =. En el interior del conjunto tenemos que <θ<π/, luegosen θ>. Esto implic que +x (cos θ ) = y obtenemos x = ( cos θ). 3

4 Con este vlor, l segund ecución es µ cos θ cos θ ( cos θ) + (cos θ sen θ) 4( cos θ) = µ ( cos θ) cos θ cos θ ( cos θ) + (cos θ sen θ) 4( cos θ) = ( cos θ) cos θ + cos θ sen θ 4( cos θ) = cos θ cos θ sen θ 4( cos θ) = cos θ 4( cos θ) = ( cos θ 1) = cos θ = 1 θ = π 3. En consecuenci, l nchur de cd tir y el ángulo obtenidos son x = = 1 3, θ = π 3. En el punto interior obtenido, el áre de cd piez trpezoidl pln es ³ 3 ³ 3 A =( x) x sen θ+x sen θ cos θ = = = El volumen obtenido en el punto es V 3, π 3 = 3 1 l. A continución, estudimos los puntos críticos en los cutro segmentos que formn l fronter. Si x =entonces V =.Six = / el volumen viene ddo por V (θ) =( /4) sen θ cos θl, donde θ π/. Resolviendo l ecución V (θ) = /4 cos θ sen θ l =, obtenemos cos θ =,donde θ π, luegoθ = π/ y el único punto crítico es θ = π/4. Portnto, V, π = l = 1 8 l. Si θ =entonces V =.Siθ = π/ el volumen es V (x) =( x) xl, donde x /. Lecución V (x) =( x + x) l =( 4x) l =, tiene como únic solución x = /4. El volumen en dicho punto es V 4, π ³ = 4 l = 1 8 l. Ddo que 1 < 3 3 < 3, el volumen máximo se lcnz en (/3,π/3) y 8 1 el áre de cd piez es

5 Ejercicio 4. Se Ω el recinto comprendido entre el exterior de un prboloide y el interior de un elipsoide definido por Ω = (x, y, z) R 3 : z +3 x +4y, x +4y + z 9 ª. RR Se S l superficie que limit Ω y se F (x, y, z) =(xz, sen z,e y ). F nds usndo el teorem de Guss. S Clculr Solución. El teorem de Guss firm que el flujodesliddef trvés de S coincide con l integrl triple de l divergenci de F,esdecir ZZ ZZZ F nds = div (F ) dx dy dz. S Ω L divergenci de F (x, y, z) =(xz, sen z, e y ) es div (F )=z, por lo que debemos clculr RRR zdxdydz. Obtenemos l intersección del prboloide y el Ω elipsoide, resolviendo ¾ z +3=x +4y x +4y + z = z +3+z =9 =9= z + z 6=. Ls soluciones de est ecución son z = 1 ± 1+4 = 1 ± 5 = ½, 3. Entonces, l región Ω se puede describir como l unión de ls secciones A (z) = (x, y) :z +3 x +4y 9 z ª, 3 z. Por ello, l integrl triple verific ZZZ Z ZZ zdxdydz= dx dy zdz= Ω 3 A(z) Z 3 áre (A (z)) zdz. Cd sección A (z) es el recinto comprendido entre ls elipses x +4y =9 z y x +4y = z +3. Ls ecuciones cnónics de ests elipses son x 9 z + y (9 z ) /4 =1 y x z +3 + y (z +3)/4 =1. Ls áres de ls regiones que encierrn ls elipses son, respectivmente, A 1 = π r 9 z 9 z = π 9 z, 4 A = π r z +3 z +3 = π (z +3). 4 5

6 Entonces, el áre (A (z)) = A 1 A = π (6 z z) y l integrl pedid es ZZZ zdxdydz= π Z z 3 z +6z dz = π z4 Ω 3 4 z3 3 +3z 3 = π µ = π µ = π µ = π µ 15 1 = 15π 4. 6