PRACTICA 3: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.

Transcripción

1 PRACTCA 3: ESTUDO DEL EQULBRADO ESTÁTCO Y DNÁMCO. ROTACÓN DE UN CUERPO RÍGDO ALREDEDOR DE UN EJE FJO. 1. -NTRODUCCÓN TEÓRCA El objeto de la eperenca será el equlbrar estátca dnámcamente un sstema de masas que gra con velocdad unforme, srvéndonos de una máquna para equlbrados, BALANCNG MACHNE. La fgura representa un cuerpo rígdo cuos puntos A B están fjos en el espaco medante los soportes S S. El movmento del cuerpo rígdo es entonces una rotacón pura alrededor del eje AB fjo en el espaco en el cuerpo msmo. Como cualquer punto O del cuerpo rígdo sobre el eje de rotacón AB esta sempre en reposo tendremos: dl dt M, et ( O eje rotacón) (1) Tenendo en cuenta que la relacón estente entre la dervada temporal de un vector respecto a un sstema de referenca nercal su dervada temporal respecto a un sstema móvl soldaro al sóldo rígdo, se cumple: L ; L L L P P P P P P () Sendo el tensor de nerca del cuerpo rígdo, para el punto O, respecto a un sstema de referenca soldaro al cuerpo rígdo con orgen en el punto O,{o,,,} tene por representacón matrcal P P P P P P Construamos un sstema de referenca soldaro al sóldo de forma que su eje Z concda con el eje de rotacón AB sus ejes, e, sean dos rectas cualesquera perpendculares, contendas en el plano normal por el punto O, al eje de rotacón AB que cortan en O. Como el eje de rotacón está fjo en el espaco, el cuerpo rígdo no tene movmento de precesón alrededor del eje Z del sstema de referenca fjo. 1

2 d (3) dt Por tanto, para el ángulo de Euler se verfca en todo nstante que = cte., lo cual ndca que la línea nodal permanece fja en el espaco, además el ángulo de nutacón θ = cte. Además, sempre podemos tomar como tercer eje del sstema fjo el de la dreccón del eje fjo, como tercer eje del sstema móvl soldaro al sóldo el del eje fjo. Lo que sgnfca un grado de lbertad cuo parámetro es Ψ (ahora no tene sentdo el eje de nodos al ser θ = ). La velocdad angular del cuerpo rígdo es d k k (4) dt Sendo k el vector untaro en la dreccón del eje de rotacón sentdo determnado pero arbtraro. Supongamos que sobre el cuerpo rígdo sólo actúan la fuera de la gravedad mg mgk las reaccones de los soportes S1 S respectvamente. Entonces: R R OA ROB R M, et M (5) donde M es el momento, respecto a O, de la fuera de la gravedad. Consderemos por comoddad que el punto O A concde con el orgen del sstema móvl además con uno de los soportes, as OA R o. Llamemos a la dstanca AB = OB = h Desarrollando por componentes las ecuacones () (4) en el sstema de referenca {O,,,} móvl soldaro al cuerpo rígdo. P P M hr (6.1) o P P M hr (6.) o M o (6.3) La ecuacón (6.3) es la que rge el movmento de rotacón del cuerpo rígdo alrededor del eje fjo AB. Las ecuacones (6.1) (6.) determnan los momentos, respecto al punto O, de las FUERZAS DE LGADURA (reaccones en los soportes) necesaras para mantener el eje fjo. De la ecuacón (6.3) se desprende que debdo al momento de la fuera de gravedad respecto al eje de rotacón, el cuerpo rígdo adquere una aceleracón angular, se pondrá en movmento de rotacón alrededor del eje fjo AB. Se dce, que el CUERPO RGDO ESTA DESEQULBRADO RESPECTO AL EJE DE ROTACON.

3 S consderamos el teorema fundamental de la dnámca: F ac M a dr dm Mg dt (7) (8) Desarrollando por componentes en el sstema de referenca móvl soldaro con el cuerpo rígdo M M Mg R R (9.1) o o M M Mg R R (9.) o o Mg R R (9.3) Sn embargo, s el centro de masas G estuvera sobre el eje de rotacón AB entonces, el momento áco de la fuera de gravedad respecto al eje es nulo, a que en este caso el vector OG sería paralelo al eje Z. Tendríamos: De forma que es constante, ó lo que es lo msmo: cte S en las ecuacones (6) (9) despejamos las reaccones, las ecuacones obtendas ndcarían que las reaccones de los soportes se pueden consderar compuestas de dos componentes: 1) REACCONES ESTATCAS. -No contenen la velocdad angular. ) REACCONES DNAMCAS.-Contenen la velocdad angular. Sus módulos son proporconales al cuadrado de la velocdad angular. Además responden a las fueras que, debdo al movmento de rotacón, el cuerpo rígdo ejerce sobre los soportes al querer escapar de la lgadura mpuesta por los soportes, oblgándole a grar alrededor de un eje fjo. Por tanto, debdo a ellas, se producen vbracones un maor desgaste de los soportes o cojnetes. Caso de pasar el eje por el c.d.m., los momentos estátcos Mo, Mo, Mo son nulos. Consguentemente, cuando el centro de masas del cuerpo rígdo está stuado sobre el eje de rotacón fjo, por tanto el momento áco de la fuera de gravedad respecto al eje de rotacón es nulo, los momentos estátcos son nulos, se dce que el cuerpo está ESTATCAMENTE EQULBRADO. S además el eje de rotacón Z es un eje prncpal de nerca del elpsode de nerca del cuerpo rígdo en un punto, al pasar por C, lo será en todo punto los productos de nerca son nulos. P = P = o (eje prncpal central de nerca) 3

4 Por lo tanto las reaccones dnámcas de los soportes son entonces tambén nulas, lo cual ndca que el cuerpo rígdo al grar no tene entonces, debdo a su rotacón, tendenca alguna a desprenderse de los soportes o cojnetes que mantenen su eje de rotacón fjo. Se dce entonces que el cuerpo rígdo esta ESTATCAMENTE Y DNAMCAMENTE EQULBRADO. En esta stuacón de movmento, en que el sóldo está equlbrado estátca dnámcamente las reaccones en los apoos son las msmas que en stuacón estátca, es decr son ndependentes de su velocdad de gro. Es mu mportante para evtar vbracones el desgaste de los cojnetes que todo cuerpo rígdo que gra alrededor de un eje fjo esté estátcamente dnámcamente equlbrado, es decr, su eje de rotacón fjo sea eje prncpal de nerca el c.d.m. esté stuado sobre el eje de rotacón fjo. El sstema que nosotros dsponemos es el correspondente a la fgura: Tenemos: Velocdad de rotacón es unforme = cte. La masa M será M = Σ m, sendo m las masas que ntervenen. Como los momentos estátcos tenen que ser nulos M n m 1 u r Como los productos de nerca tenen que ser nulos P m u r u r n 1 4

5 . - PROCEDMENTO.1 OBJETOS NECESAROS Balancng machne 4 bloques (masas) Regla, compás transportador de ángulos..- DESCRPCON DEL APARATO La Balancng Machne báscamente consste en un eje perfectamente paralelo, sujeto con rodamentos por los etremos a un armaón rectangular con un motor adosado, que transmte al eje un movmento de rotacón unforme. Un etremo del eje va provsto de una polea sujeta a un dsco provsto de dos escalas, que usaremos como balana como gonómetro. En la parte superor del armaón rectangular ha un nvel (burbuja) para comprobar el paralelsmo del eje el resultado fnal del epermento. Para equlbrar estátca dnámcamente la balancng machne se utlan cuatro bloques de dferentes masas smétrcas que se pueden sujetar sobre el eje..3.- Calculo del tensor de nerca en el punto A para una poscón determnada de las masas. Cálculo del vector momento cnétco. Antes de calcular la poscón de equlbrado estátco dnámco de las masas dentro del eje, se va a proceder a calcular, para una poscón dada, la poscón en e del centro de masas del sstema de sóldos, así como el tensor de nerca en el orgen de coordenadas (Punto A). Para ello se usará la tabla 1. Dentro de la tabla, los valores en negrta van a ser fjos para todo el epermento (valores de los w de las masas, ángulo grado poscón en el eje Z de las masas 1 ). 5

6 Masa 1 Masa Masa 3 Masa 4 Wmasa (W) (gramos) Ángulo grado º 45º 15 3 Dstanca a A (Z) (mm) Dstanca al eje de gro (r )(mm) Tabla 1. Valores ncales de poscón angular en el eje Z de las masas. La poscón del centro de masas en é vendrá dada por la sguente epresón: X Y cm.. cm.. w r cos w w r sn Los momentos de nerca respecto a los ejes, é se calculan de forma drecta: w w r sn w r cos cos sn w r r Y para los productos de nerca respecto a los pares de planos coordenados, usamos las ecuacones de teoría: P P P w r sn cos w Z r cos w Z r sn Fnalmente vamos a consderar que tenemos una velocdad angular w= k. Calculamos el vector momento cnétco en funcón de 6

7 .4 Cálculo de las poscones de equlbro de los bloques Suponemos que ha que encontrar las poscones de los bloques (3) (4) para que el conjunto este equlbrado dnámcamente, habendo fjado las de los bloques (1) (). El procedmento es el sguente: (a) Elegr las poscones angulares longtudnales adecuadas para los bloques (1) (). Elegmos las que tenemos en la tabla 1. (b) Determnar las poscones angulares de los bloques (3) (4), por cálculo gráfco (punto.5). (c) Determnar la poscón longtudnal de los bloques (3) (4), analítcamente. (d) Montar los bloques sobre el eje en las poscones así determnadas (e) Comprobar s el eje se encuentra en equlbro estátco (f) Comprobar s el eje se encuentra en equlbro estátco (g) Colocar la correa en la polea stuar la cuberta transparente; conectar el motor observar s el conjunto se encuentra equlbrado. (h) Cuando se haa logrado el equlbro de forma satsfactora, desplaar levemente uno de los bloques. Observar el desequlbro producdo. () En últmo lugar se pde calcular el nuevo tensor de nerca para la poscón de equlbrado estátco dnámco. Además, volvemos a calcular el vector momento cnétco en funcón de.5 Cálculos Buscamos que las coordenadas é del centro de masas sean cero. Vamos a ver cómo lo podemos hacer gráfcamente. Suponemos el bloque (1) stuado en el punto A con ángulo cero, que el bloque () esta stuado a 165 mm con un ángulo grado de 45. Los momentos de desequlbro que se han meddo son los de la Tabla 1. Fgura. Determnacón de las poscones angulares para un sstema de cuatro masas Se dbuja el polígono de momentos con los valores (Wr), para determnar las poscones angulares de los bloques (3) (4). (Wr)1 (Wr) son conocdos tanto en magntud como en dreccón El vector (Wr)1 se ha dbujado haca abajo por conveno. Las longtudes de (Wr)3 de (Wr)4 son conocdas dbujamos los arcos desde los etremos de (Wr)1 de(wr) 7

8 para encontrar las dreccones de los vectores desconocdos. Una ve obtendo el equlbro estátco, procedemos a equlbrar dnámcamente el dspostvo, para ello vamos a mponer que los productos de nerca P P sean nulos. Como nuestro sstema de referenca a ha sdo defndo en A, esto nos va a dar dos ecuacones analítcas, que quedan, dado que las dstancas r son guales para todas las masas: P P w Z cos w Z sn En este sstema de ecuacones, nuestras dos ncógntas serán Z3 Z4. Una ve resuelto el sstema de ecuacones, tendremos las poscones de las cuatro masas a lo largo del eje Z, procedemos a comprobar epermentalmente los cálculos. RESUMEN DE ACTVDADES: Cálculo, para la poscón ncal (Tabla 1), de la poscón del centro de masas del tensor de nerca en el punto A. Cálculo del vector momento cnétco para un vector velocdad angular w. Cálculo gráfco de la poscón de equlbrado estátco, fjando los ángulos de las masas 1. Cálculo analítco de la poscón de equlbrado dnámco para los ángulos de equlbro estátco anteror, fjando la poscón en Z de las masas 1. Cálculo para esta poscón fnal, de la poscón del centro de masas el nuevo Tensor de nerca. Comprobar las pequeñas desvacones producdas por el uso del cálculo gráfco. Fnalmente calcular de nuevo el vector momento cnétco. 8

9 APÉNDCE A LSTA DE SMBOLOS a r W α θ ω Poscón longtudnal sobre el eje Rado del bloque desequlbrante Poscón longtudnal respecto al cero de la escala Peso del bloque (W = mg) Poscón angular del bloque. Poscón angular del bloque desde el cero de la escala Velocdad angular del eje (rad/s) Los subíndces 1,, 3 4 se referen a los bloques (1), (), (3) (4). 9

10 ANEXO 1. PRÁCTCA 3. EQULBRADO DE MOTORES. HOJA DE ENTREGA DE RESULTADOS Nombre: Nº Matrícula: Poscón del centro de para la poscón ncal de las masas: X c.m. (cm) Y c.m. (cm) - Tensor de nerca para la poscón ncal: Kg m O - Poscón de las masas 3 4 en equlbrado estátco dnámco: 3 (grados) 4(grados) Z3 (cm) Z4 (cm) -Coordenadas del centro de masas en la poscón calculada de equlbro: X c.m. (m) Y c.m. (m) -Tensor de nerca para la poscón fnal: Kg m O -Vector momento cnétco en el punto O ncal en equlbro) L Oncal Kg m s Oequlbro Práctca 1. Mecánca ETS UPM. Curso 18/19 L Kg m s