Logaritmo Natural. Z x. 1 t dt = ln(x) = I 1 1. ln(x) < 0 para x 2 (0; 1) y ln(x) > 0 para x 2 (1; 1)

Transcripción

1 Logaritmo Natural Si n 6= ya sabemos que R x t n t = n+ xn+ + C, con C una constante. De nición. La regla e corresponencia ln(x) = Z x t t = Z x I e ne una función con ominio D ln = (0; ): A esta función se le enomina logaritmo natural o simplemente logaritmo. Observación 4. ln() = 0 y como t > 0, para too t 2 (0; ) entonces: ln(x) < 0 para x 2 (0; ) y ln(x) > 0 para x 2 (; ) Observación 5. El primer teorema funamental el Cálculo implica que ln 0 (x) = x ; para too x 2 D ln como ln(x) es erivable, también es continua y como su erivaa es positiva, entonces también será una función creciente. Observación 6. Por el teorema funamental el Cálculo, Como el logaritmo natural es una función continua y las integrales impropias R 0 t t y R t t asumen los valores límite y respectivamente, eucimos (por el teorema el valor intermeio) que la imagen el logaritmo es toa la recta real: Im(ln(x)) = R: Ejercicio. Demuestra que toa función creciente es inyectiva. Consecuentemente ln(x) es inyectiva. De la observación 5 y e la iguala ln() = 0 se sigue también la conclusión e la observación 4. Observación 7. Sea a > 0. Las funciones ln(x) y ln(ax) tienen la misma erivaa, x, para toa x 2 (0; ): En consecuencia ln(ax) = ln(x) + C: Evaluano en x = se tiene que c = ln a: Así resulta una importante propiea e la función logaritmo natural: 8a; b 2 (0; ), ln(ax) = ln(a) + ln(x): "El logaritmo e un proucto es la suma e los logaritmos e los factores" Observación 8. Como r = rxr ; para too y 2 Q, entonces las funciones r ln(x) y ln(x r ) tienen la misma erivaa, r x. Así se obtiene otra propiea básica e la función logaritmo: 8r 2 Q y x > 0, ln(x r ) = r ln(x):

2 Observación 9. P (x) = x ln(x) x es una primitiva el logaritmo. Ejercicio. Demuestra la observación 5. Sugerencia. Si a > entonces lim n! ln(an ) = lim n ln(a) = ya n! que ln(a) > : Por lo tanto, ao cualquier b > 0 existe n tal que ln(a n ) > b. Como ln(x) es continua, por el teorema el valor intermeio ln(x) asume toos los valores entre ln() = 0 y ln(a n ). Entonces se puee argumentar que: ) (0; ) Im(ln(x)) 2) R R b t t = lim b! t t = : Sugerencia 2. Si a > entonces lim n! a = 0: Por otro lao lim n n! ln(a n ) = n ln(a) = : Por lo tanto 8" > 0, 9n tal que ln(a n ) < ". Otra vez usano la continuia e ln(x) y el teorema el valor intermeio se tiene que ln(x) toma toos los valores entre ln() = 0 y ln( a ): n Se puee argumentar entonces que; 3) ( ; 0) Im(ln(x)) t 2 R 4) R 0 t Observación 0. R " t = lim "!0 + t t = La función f(x) = ln jxj está bien e nia para too ln jxj f0g, es erivable y, para too x 6= 0: = x ln jxj = ln x ln jxj = Dem. Si x > 0 entonces = x. ln( x) Si x > 0 entonces = ( ) x = x. Se puee ecir que R x t t = ln jxj? Qué quiere ecir esto? Cómo se aplica? Ejemplo. R t t = ln jxj] = ln() ln() = 0. Es correcto este cálculo? Justi ca los pasos. Ejemplo 2. Gra ca f(x) = ln jxj. Qué quiere ecir gra camente que ln jxj = x? Observación. La función ln jf(x)j está e nia en D ln f = fx 2 D f j f(x) 2 (0; )g: Para too x 2 D ln f se cumple que Como ln jf(x)j = ln jij [ln jij f](x) = [( ( jij = entonces ln jij = I en R ( f(x) ) f](x) : (I) = I en R + I) = ( I) I = I en R f0g: Por lo tanto f(x) ln jf(x)j = f(x) : 2

3 De nición el número e ln : (0; )! R es una función continua y biyectiva. Entonces existe un número, llamao e, que cumple que ln(e) = : Ejercicio. Argumenta la existencia e e: Se puee emostrar (no es fácil) que este número e 2 R no es un racional y que pertenece a una clase e números irracionales más compleja que las raíces ( p 2; p 3; etc.), pues no es solución e ninguna ecuación algebraica. A este tipo e número irracional se le llama número trascenente. Ejercicio. Prueba que R 2 I < = R e I < R 3 I y concluye que 2 < e < 3. Ejercicio. Resuelve la ecuación ln( + x) ln( x) = en términos e e Ejemplo 3. a) R x t t = ln jxj b) R x R x tan(t)t = sent cos t t = R x cos t cos t t = ln j cos xj + c c) R x t 3 +2t 2 + t t = R x (t 2 + 3t x3 t )t = x2 + 3x + 4 ln jx j + c ) R ln = I ln I + c e) R e I = ln jxj] e = ln(e) ln() = f) No se puee calcular R 2 I. Por qué? Ejemplo 4. Encuentra la familia e soluciones e la ecuación iferencial t = t y exhibe una solución particular que cumpla la conición inicial x( e) = 2. Solución general: x(t) = ln jtj + c, c 2 R Solución particular: x p (t) = ln jtj + Cuantas soluciones hay que cumplan la misma conición inicial y estén e nias en R f0g? Funciones Inversas Proposición. Sea f : (a; b)! R: ) Si f es creciente (ecreciente) entonces es inyectiva e invertible (sobre su imagen). Su inversa f es también creciente (ecreciente). Si f es continua entonces f también es continua. 2) Si f es erivable y Df(t) 6= 0 para too t 2 (a; b), entonces f es erivable en f(a; b) y Df (x) = [Df f ] en f(a; b) 3

4 Referencia: Sección 4.2 e Haaser. Ejemplo 5. La función ln : (0; )! ( ; ) es suprayectiva, creciente y continua. Entonces la función ln : ( ; )! (0; ) está bien e nia. Cuál es su regla e corresponencia? La Función Exponencial De nición. La función inversa el logaritmo es llamaa función exponencial, se enota como exp(x) y su imagen es el intervalo (0; ). Observación 2. ) exp(x) > 0 para too x 2 R: 2) como ln(e) =, entonces exp() = e. 3) exp(ln(x)) = x para too x 2 (0; ) y ln(exp(x)) = x para too x 2 R. 4) Por la proposición enunciaa anteriormente, la función exp(x) es continua, erivable y creciente. 5) Como lim x! implica que lim x! ln(x) = entonces lim x! exp(x) = 0. exp(x) = y lim x!0 + ln(x) = Esto se puee ver también como consecuencia e que la exp(x) es creciente y su imagen es (0; ). Observación 3. Como ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x)) + ln(exp(y)) = x + y;entonces exp(x) exp(y) = exp(x + y), para too x; y 2 R: Similarmente, ln([exp(x)] r ) = r(ln(exp(x)) = rx, para too r 2 Q;implica que exp(rx) = [exp(x)] r : Observación 4. Habieno e nio al número e como el número real que cumple que ln(e) =, tenemos que, exp(r) = (exp()) r = e r, para too r 2 Q: Así, hemos eucio para too número racional, x; la regla e corresponencia e la inversa e la función logaritmo: exp(x) = e x :Observese que esta regla está bien e nia para too x 2 Q, pero no tiene sentio cuano x es un número irracional. Como la función exp(x) está e nia para too número real y coincie con la función e x en los números racionales, puee extenerse ahora a la regla e x ; entenieno que e x = exp(x); para too número x irracional. Esta manera e extener la función exponencial e x es natural, pues resulta continua y iferenciable en too R: A partir e este momento nos referiremos a la función inversa e ln(x); inistintamente, como exp(x) o como e x : La función ln(x) cumple las hipótesis e la proposición en (0; ), en consecuencia: D exp(x) = en ln(0; ) = R [D ln exp(x)] De ahí que, 4

5 D exp(x) = [I = exp(x), para too x 2 R: exp(x)] Por esto la función exponencial quea istinguia por la propiea e ser invariante bajo el proceso e erivación. La Función Potencia Hasta este momento una expresión e la forma x r puee aplicarse cuano r es un número racional. Si r = p=q;entonces x r = x p=q = (x =q ) p y esta expresión esta bien e nia para too x 2 R, si q es un numero par; en caso e que q sea un numero impar, la expresión está e ia solamente cuano x es un número no negativo. Sin embargo, habieno e nio la función logaritmo y su inversa tenemos que x r = e ln(xr) = e r ln(x) ; como consecuencia e la observación 3. Dao que esta expresión tiene sentio para too x positivo y cualquier número real r, poemos usarla para extener la e nición e x r a este ominio más amplio. De nición. Para too número real r, la función potencia I r : (0; )! R se e ne como I r (x) = e r ln(x) : Observación 5. Anteriormente habíamos visto que para too r 2 Q; DI r = ri r. Ahora poemos generalizar este hecho e la siguiente manera: DI r = D(e r ln ) = I r D(r ln) = I r ri = ri r y esta formula es vália ahora para too r 2 R: Observación 6. La propiea e logaritmo aa en la observación 8 puee generalizarse ahora e la siguiente manera ln(x r ) = ln(e r ln(x) ) = r ln(x); para r 2 R, x 2 (0; ): Ejemplo. a) p3 quea e nio como e p 3 ln() ; b) DI = I : 5