Lógica de Primer Orden
|
|
- Nicolás Alarcón Morales
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Capítulo 2 Lógica de Primer Orden Resumen En términos generales, la Programación Lógica concierne al uso de la lógica para representar y resolver problemas. Más adelante precisaremos que, en realidad, usaremos una lógica restringida a cláusulas de Horn y la resolución como regla de inferencia (Nenhuys-Chen y de Wolf, 1997). Por ahora, este capítulo introduce los conceptos de la lógica de primer orden necesarios para abordar los aspectos formales de la Programación Lógica. Para ello, se adopta un enfoque basado en sistemas formales, que nos permita describir el lenguaje, la teoría del modelo y la teoría de prueba de la lógica de primer orden. Con este aparato, se introducen los conceptos de unificación y resolución como regla de inferencia Introducción Cuando describimos situaciones de nuestro interés, solemos hacer uso de enunciados declarativos. Decimos que estos enunciados son declarativos en el sentido lingüístico del término, esto es, se trata de expresiones del lenguaje natural que son o bien verdaderas, o bien falsas; en contraposición a los enunciados imperativos e interrogativos. La lógica proposicional es declarativa en este sentido, las proposiciones representan hechos que se dan o no en la realidad. La lógica de primer orden tienen un compromiso ontólogico más fuerte (Russell y Norvig, 2003), donde la realidad implica además, objetos y relaciones entre ellos. Consideren los siguientes ejemplos de enunciado declarativo: 1. Julia es madre y Luis es hijo de Julia. 2. Toda madre ama a sus hijos. donde el enunciado (1) se refiere a los objetos de discurso Julia y Luis, usando propiedades de estos objetos, como ser madre; así como relaciones entre éstos, como hi jo. El enunciado (2) se refiere a relaciones que aplican a todas las madres, en tanto que objetos de discurso. A esto nos referimos cuando hablamos de representación 21
2 22 2 Lógica de Primer Orden de un problema en el contexto de la Programación Lógica, a describir una situación en términos de objetos y relaciones entre ellos. Si se aplican ciertas reglas de razonamiento a tales representaciones, es posible obtener nuevas conclusiones. Esto concierne a la resolución de problemas en Programación Lógica. Por ejemplo, conociendo (1) y (2) es posible inferir (vía Modus Ponens) que: 3. Julia ama a Luis. La idea central de la programación lógica es describir los objetos que conforman un universo de discurso, personas en el ejemplo; así como las relaciones entre ellos, siguiendo con el ejemplo hi jo y madre; y computar tales descripciones para obtener conclusiones como (3). Al describir el problema que queremos resolver, también podemos hacer uso de funciones, relaciones en las cuales sólo hay un valor dada una entrada. Por ejemplo, madre de puede representarse como una función (todo hijo tiene una sola madre), pero hijo de no. Esto se ilustra en la gráfica 2.1. luis pedro madre de madre de maria juana maria juana hijo de hijo de luis pedro Figura 2.1 La relación madre de es una función; mientras que hijo de no lo es. Como en todo sistema formal, es necesario especificar cuidadosamente la sintaxis de tales enunciados declarativos, es decir, que expresiones pertenecen al lenguaje de la lógica de primer orden, y cuales no; la semántica de estas expresiones, es decir qué hace que una expresión sea verdadera o falsa; así como las reglas de razonamiento que permiten concluir (3) a partir de (1) y (2). Tales cuestiones son el tema de estudio de la lógica matemática. Esta sesión del curso introduce los elementos de la lógica de primer orden, necesarios para abordar la resolución como regla de inferencia en lógica de primer orden y su uso en el lenguaje de programación Prolog. El material aquí presentado está basado principalmente en los textos de Genesereth y Nilsson (1987), capítulo 2; y el de Nilsson y Maluszynski (2000), capítulo 1. Una lectura complementaria a estos textos son los capítulos 8 y 9 del texto de Russell y Norvig (2003).
3 2.3 El lenguaje de la lógica de primer orden Sistemas formales La especificación cuidadosa de la sintaxis y semántica de la lógica de primer orden, se consigue definiendo a ésta última como un sistema formal. Para ello, es necesario considerar tres aspectos: Languaje. Este elemento está asociado a la sintaxis de la lógica de primer orden y de los programas lógicos. El lenguaje de un sistema formal está dado por un conjunto de símbolos conocido como alfabeto y una serie de reglas de construcción o sintácticas. Una expresión es cualquier secuencia de símbolos pertenecientes al alfabeto (primarios). Cualquier expresión es, o no es, una fórmula bien formada (fbf). Las fórmulas bien formadas son las expresiones que pueden formarse con los símbolos del alfabeto a partir de las reglas de construcción y por tanto, pertenecen al languaje de la lógica de primer orden. Teoría de modelo. Este elemento está asociado a la semántica de la lógica de primer orden. La teoría del modelo establece la interpretación de las fbfs en un sistema formal. Su función es relacionar las fbfs con alguna representación simplificada de la realidad que nos interesa, para establecer cuando una fbf es falsa y cuando verdadera. Esta versión de realidad corresponde a lo que informalmente llamamos modelo. Sin embargo, en lógica, el significado de modelo está íntimamente relacionado con el lenguaje del sistema formal: si la interpretación M hace que la fbf α 1 sea verdadera, se dice que M es un modelo de α o que M satisface α, y se escribe M = α. Una fbf es válida si toda interpretación es un modelo para ella. Teoría de prueba. Este elemento está asociado con el razonamiento deductivo. La teoría de la prueba tiene como objetivo hacer de cada enunciado matemático una fórmula demostrable y rigurosamente deducible. Para ello, la actividad matemática debería quedar reducida a la manipulación de símbolos y sucesiones de símbolos regulada por un conjunto de instrucciones dadas al respecto. La construcción de tal teoría implica, además del lenguaje del sistema formal, un subconjunto de fbf que tendrán el papel axiomas en el sistema, y un conjunto de reglas de inferencia que regulen diversas operaciones sobre los axiomas. Las fbf obtenidas mediante la aplicación sucesiva de las reglas de inferencia a partir de los axiomas se conocen como teoremas del sistema El lenguaje de la lógica de primer orden Básicamente, la lógica de primer orden, también conocida como cálculo de predicados, introduce un conjunto de símbolos que nos permiten expresarnos acerca de los objetos en un dominio de discurso dado. El conjunto de todos estos objetos 1 El símbolo α se usa aquí como una variable meta-lógica, es decir, una variable que tiene como referente el lenguaje del sistema formal mismo, y por lo tanto, no forma parte del lenguaje del sistema en si. Se usaran letras griegas como variables meta-lógicas.
4 24 2 Lógica de Primer Orden se conoce como universo de discurso (U). Los miembros del universo de discurso pueden ser objetos concretos, ej., un libro, un robot, etc; abstractos, ej., números; e incluso, ficticios, ej., unicornios, etc. Un objeto es algo sobre lo cual queremos expresarnos. Como ejemplo, consideren el multi citado mundo de los bloques Genesereth y Nilsson (1987) que se muestra en la figura 2.2. El universo de discurso para tal escenario es el conjunto que incluye los cinco bloques, la el brazo robótico y la mesa: {a, b, c, d, e, brazo, mesa}. Brazo robótico E A B D C Mesa Figura 2.2 El mundo de los bloques, usado para ejemplificar el cálculo de predicados. Una función es un tipo especial de relación entre los objetos del dominio de discurso. Este tipo de relaciones mapea un conjunto de objetos de entrada a un objeto único de salida. Por ejemplo, es posible definir la función parcial sombrero que mapea un bloque al bloque que se encuentra encima de él, si tal bloque existe. Las parejas correspondientes a esta función parcial, dado el escenario mostrado en la figura 2.2 son: {(b,a),(c,d),(d,e)}. El conjunto de todas las funciones consideradas en la conceptualización del mundo se conoce como base funcional. Un segundo tipo de relación sobre los objetos del dominio de discurso son los predicados. Diferentes predicados pueden definirse en el mundo de los bloques, ej., el predicado sobre que se cumple para dos bloques, si y sólo si el primero está inmediatamente encima del segundo. Para la escena mostrada en la figura 2.2, sobre/2 se define por los pares {(a,b),(d,c),(e,d)}. Otro predicado puede ser libre/1, que se cumple para un bloque si y sólo si éste no tiene ningún bloque encima. Este predicado tiene los siguientes elementos {a, e}. El conjunto de todos los predicados usados en la conceptuación se conoce como base relacional. Para universos de discurso finitos, existe un límite superior en el número posible de predicados n-arios que pueden ser definidos. Para un universo de discurso de cardinalidad b (cardinalidad es el número de elementos de un conjunto), existen b n distintas n-tuplas. Cualquier predicado n-ario es un subconjunto de estas b n tuplas. Por lo tanto, un predicado n-ario debe corresponder a uno de máximo 2 (bn) conjuntos posibles. Además de las funciones y predicados, la flexibilidad de la lógica de primer orden resulta del uso de variables y cuantificadores. Las variables, cuyos valores son objetos del universo de discurso, se suelen representar por cualquier secuencia
5 2.3 El lenguaje de la lógica de primer orden 25 de caracteres que inicie con una mayúscula. El cuantificador para todo ( ) nos permite expresar hechos acerca de todos los objetos en el universo del discurso, sin necesidad de enumerarlos. Por ejemplo, toda madre... El cuantificador existe ( ) nos permite expresar la existencia de un objeto en el universo de discurso con cierta propiedad en partícular, por ejemplo, X libre(x) enlamesa(x) expresa que hay al menos un objeto que no tiene bloques sobre él y aue se encuentra sobre la mesa Sintaxis de la lógica de primer orden Los símbolos primarios de la lógica de primer orden se obtienen al considerar un conjunto numerable de variables, símbolos de predicado y símbolos de funciones. Se asume que los miembros del conjunto Var toman valores en el universo de discurso. Asociado a cada predicado y función, hay un número natural conocido como su aridad, que expresa su número de argumentos. Los predicados de aridad 0 se asumen como variables proposicionales. Las funciones de aridad 0 se asumen como constantes. Considerando los operadores lógicos y los cuantificadores, tenemos que los símbolos primarios o alfabeto del lenguaje de la lógica de primer orden son los que se muestran en la tabla 2.1 Conjunto de constantes: Const Conjunto de variables: Var Conjunto de predicados: Pred Conjunto de funciones: Func Operadores monarios: (negación) Operadores binarios: (disyunción) Cuantificadores: (cuantificador universal) Paréntesis: (, ) Cuadro 2.1 Alfabeto del lenguaje de la lógica de primer orden. El lenguaje del cálculo de predicados L FOL se especifica recursivamente como sigue: Primero definimos un conjunto de términos del lenguaje Term, como la unión de constantes y variables Const Var; así como la aplicación de las funciones en Func a una secuencia de términos, cuyo tamaño queda determinado por la aridad de la función. Recuerden que las funciones de aridad cero representan constantes. Las siguientes reglas sintácticas expresan que los términos son fbf en el lenguaje: Sintaxis 1 Si α Const, entonces α Term Sintaxis 2 Si α Var, entonces α Term Sintaxis 3 Si α/n Func, entonces α(φ 1,...,φ n ) Term ssi φ i=1,...,n Term.
6 26 2 Lógica de Primer Orden Al igual que en el caso de las funciones, la sintaxis de los predicados involucra la aridad del predicado y que sus argumentos sean a su vez términos. Recuerden que los predicados de aridad cero se interpretan como variables proposicionales: Sintaxis 4 Si α/n Pred, entonces α(φ 1,...,φ n ) L FOL ssi φ i=1,...,n Term. La sintaxis de la negación y la disyunción se definen como: Sintaxis 5 Si α L FOL, entonces α L FOL Sintaxis 6 Si α L FOL y β L FOL, entonces (α β) L FOL La sintaxis del cuantificador universal es como sigue: Sintaxis 7 Si α L FOL yx Vars es una variable que ocurre en α, entonces X α L FOL Las definiciones de la conjunción, la implicación, la equivalencia material, verdadero y falso, son como en la lógica proposicional: Definición 1 (conjunción) (α β)= def ( α β); Definición 2 (implicación) (α β)= def ( α β); Definición 3 (equivalencia material) (α β)= def ((α β) (β α)); Definición 4 (falso) f = def α α; Definición 5 (verdadero) t = def f La definición del cuantificador existencial es la siguiente: Definición 6 (cuantificador existencial) X α = def ( X α) Siendo estrictos, el cuantificador propiamente dicho, es el símbolo de cuantificador seguido de una variable, puesto que X y Y tienen significados diferentes. En una fbf de la forma X α, se dice que la fbf α está bajo el alcance del cuantificador X. En tal caso, se dice que la ocurrencia de X en α está acotada, en caso contrario se dice que la ocurrencia de la variable es libre. Por ejemplo, en X sobre(x,y ) la variable X está acotada, mientras que Y está libre. Un término sin variables se conoce como término de base, por ejemplo: sobre(a,b) La semántica de la lógica de primer orden Antes de introducir las definiciones formales de la semántica de la lógica de primer orden, consideremos algunas expresiones posibles en estálógica, usando como ejemplo el mundo de los bloques (Figura 2.2). Si queremos expresar que al menos algún bloque no tiene nada encima, podemos usar los predicados bloque/1 y libre/1 en la siguiente expresión: X bloque(x) libre(x). Esta fbf expresa que existe un
7 2.4 La semántica de la lógica de primer orden 27 X tal que X es un bloque y X está libre (no tiene otro bloque encima). Observen que cuando usamos cuantificadores, siempre tenemos en mente el universo de discurso en cuestión o dominio. El dominio puede especificarse en término de conjuntos. Luego, si el dominio D es el conjunto de constantes {a,b,c,d,e,brazo,mesa}, podemos decir que B D = {a,b,c,d,e} es el conjunto de bloques en D. Entonces, es posible plantear una expresión equivalente a X bloque(x) libre(x), usando la fbf X libre(x), si especificamos que libre/1 tiene como dominio B. Una interpretación del predicado libre/1 es un subconjunto de B tal que si un bloque está libre, pertenece a este subconjunto. Para un predicado de aridad dos, como sobre/2 cuyo dominio son los bloques B B, podemos decir que su interpretación es un subconjunto de B B. En general, para un predicado de aridad n, su interpretación es un subconjunto en D n Teoría de modelo de la lógica de primer orden Para obtener un modelo para el lenguaje L FOL formamos el par M = D,V, donde D es el universo de discurso, ej. cualquier colección de objetos sobre la que queremos expresarnos, y la interpretación V es una función, tal que: Para cualquier predicado α de aridad n, V (α) regresa las n-tuplas que corresponden a la interpretación del predicado. En el ejemplo, siguiendo nuevamente la figura 2.2, consideren el predicado sobre/2. Su interpretación es un subconjunto de D 2 = D D. Para la escena mostrada, V (sobre)={(a,b),(e,d),(d,c)}. Para una constante, la función V regresa la misma constante, ej. V (a)=a. Algunas veces la expresión V (α) se abrevia α V. Una posible interpretación V para la escena del mundo de los bloques mostrada en al figura 2.2, es: a V = a b V = b c V = c d V = d e V = e sobre V = {(a,b),(e,d),(d,c)} enlamesa V = {b,c} libre V = {a,e} porencima V = {(a,b),(e,d),(e,c),(d,c)} Todo esto puede especificarse formalmente con la siguiente definición:
8 28 2 Lógica de Primer Orden Definición 7 (Interpretación) Una interpretación V, con respecto a un dominio de discurso D, es una función que satisface las siguientes propiedades: i) Si α Const, Entonces V (α)=α; ii) Si α/n Pred, Entonces V (α) D n. Observen que las variables no están incluidas en la interpretación. Interpretar las variables de manera independiente a otros símbolos en el lenguaje, es una práctica aceptada. Decimos que U es una asignación de variables basada en el modelo M = D,V si para todo α Var, U(α) Term. Por ejemplo, en el mundo de los bloques X U = a, es una asignación de variables. Esta abreviatura a veces se expande como U = {X\a} y se conoce como substitución. Una interpretación V y una asignación de variables U pueden combinarse en una asignación conjunta T VU que aplica a los términos de primer orden en general. La asignación de términos T dadas la interpretación V y la asignación de variables U, es un mapeo de términos a objetos del universo de discurso que se define como sigue: Semántica 1 Si α Const, entonces T VU (α)=v (α). Semántica 2 Si α Var, entonces T VU (α)=u(α). Semántica 3 Si α Term y es de la forma α(φ 1,...,φ n );yv(α)=g; y T VU (φ i )= x i, entonces T VU (α(φ 1,...,φ n )) = g(x 1,...,x n ). El concepto de satisfacción guarda una relación importante con las interpretaciones y las asignaciones. Por convención, el hecho de que el enunciado α sea satisfecho bajo una interpretación V y una asignación U, se escribe: = V α[u] Entonces podemos escribir M = V U (α) para expresar que α es verdadera en el modelo M = D,V cuando las variables en α toman valores de acuerdo a la asignación U. Por ejemplo, M = V U (sobre(x,b)) si X\a U. En realidad, la noción de satisfacción varía dependiendo de la clase del enunciado α. Así tenemos que una interpretación V y una asignación de variables U satisfacen una ecuación, si y sólo si la correspondiente asignación de términos T VU mapea los términos igualados a un mismo objeto. Cuando este es el caso, los términos se dicen correferenciados: Semántica 4 M = V (α = β)[u] ssi T VU (α)=t VU (β). Para el caso de un enunciado atómico que no sea una ecuación, la satisfacción se cumple si y sólo si la tupla formada por los objetos designados por los términos en el enunciado, es un elemento de la relación designada por la relación constante: Semántica 5 M = V α(τ 1,...,τ n )[U] ssi (T VU (τ 1 ),...,T VU (τ n )) V (α). Consideren como ejemplo la interpretación V definida para el mundo de los boques. Puesto que la constante a designa al bloque a y la constante b al bloque b, y
9 2.5 Inferencia en la lógica de primer orden 29 el par ordenado (a,b) es miembro del conjunto que interpreta la relación sobre, entonces es el caso que = V sobre(a,b)[u], por lo cual podemos decir que sobre(a,b) es verdadera en esa intepretación. Evidentemente: Semántica 6 M = V (α)[u] ssi M = V α[u]. y: Semántica 7 M = V (α β)[u] ssi M = V α[u] óm = β[u]. Un enunciado cuantificado universalmente se satisface, si y sólo si el enunciado bajo el alcance del cuantificador, se satisface para todas las asignaciones posibles de la variable cuantificada. Un enunciado cuantificado existencialmente se satisface, si y sólo si el enunciado bajo el alcance del cuantificador es satisfecho por una asignación de variables. Semántica 8 M = V X α[u], ssi para toda β en el universo de discurso, es el caso que M = V α[u ], donde U (X)=β yu (γ)=u(γ) para toda γ = X. Debido a la última condición en esta regla, se dice que U es una asignación X- alternativa a U. La regla semántica también puede leerse como: M = V X α[u] si para toda asignación de variables X-alternativa U, M = V α[u ]. Si una interpretación V safisface a un enunciado α para toda asignación de variables, se dice que V es un modelo de α. Un enunciado se dice satisfacible si existe alguna interpretación y asignación de variables que lo satisfaga. De otra forma, se dice que el enunciado es insatisfacible. Una fbf α es válida si y sólo si se satisface en toda intepretación y asignación de variables. Las fbf válidas lo son en virtud de su estructura lógica, por lo que no proveen información acerca del dominio descrito. Por ejemplo p(x) p(x) es una fbf válida Inferencia en la lógica de primer orden Volvamos al ejemplo de la introducción: 1. Toda madre ama a sus hijos. 2. Julia es madre y Luis es hijo de Julia. Conociendo (1) y (2) es posible concluir que: 3. Julia ama a Luis. Podemos formalizar este ejemplo en Lógica de Primer Orden como sigue: 1. X Y madre(x) hi jo de(y,x) ama(x,y ) 2. madre( julia) hi jo de(luis, julia)
10 30 2 Lógica de Primer Orden 3. ama( julia, luis) Una vez que hemos formalizado nuestros enunciados, el proceso de inferencia puede verse como un proceso de manipulación de fbf, donde a partir de formulas como (1) y (2), llamadas premisas, se produce la nueva fbf (3) llamada conclusión. Estas manipulaciones se pueden formalizar mediante reglas de inferencia. Entre las reglas de inferencia de la lógica de primer orden encontramos: Modus Ponens. O regla de eliminación de la implicación. Esta regla dice que siempre que las fbfs de la forma α y α β pertenezcan a las premisas o sean concluidas a partir de ellas, podemos inferir β: α α β β ( E) Eliminación de cuantificador universal. Esta regla expresa que siempre que una fbf de la forma Xα pertenezca a las premisas o sea concluida a partir de ellas, una nueva fbf puede ser concluida al remplazar todas las ocurrencias libres de X en α por algún término t que es libre con respecto a X (todas las variables en t quedan libres al substituir X por t. La regla se presenta como sigue: Xα(X) α(t) ( E) Introducción de conjunción. Cuando las fbf α y β pertenezcan a las premisas o sean concluidas a partir de ellas, podemos inferir α β: α β α β ( I) La correctez de estas reglas puede ser demostrada directamente a partir de la definición de la semántica de las fbf en L FOL. El uso de las reglas de inferencia puede ilustrarse con el ejemplo formalizado. Las premisas son: 1. X Y madre(x) hi jo de(y,x) ama(x,y ) 2. madre( julia) hi jo de(luis, julia) Al aplicar la eliminación de cuantificador universal ( E) a (1) obtenemos: 3. Y (madre( julia) hi jo de(y, julia) ama( julia,y ) Al aplicar nuevamente ( E) a (3) obtenemos: 4. madre( julia) hi jo de(luis, julia) ama( julia, luis) Finalmente, al aplicar Modus Ponens a (2) y (4): 5. ama( julia, luis)
11 2.6 Substituciones 31 La conclusión (5) ha sido obtenida rigurosamente, aplicando las reglas de inferencia. Esto ilustra el concepto de derivación. El hecho de que una formula α sea derivable a partir de un conjunto de fórmulas se escribe α. Si las reglas de inferencia son consistentes (sound), siempre que α entonces = α. Esto es, si nuestra lógica es consistente, cualquier fbf que puede ser derivada de otra fbf, es tambien una consecuencia lógica de ésta última. Definición 8 (Consistencia y completitud) Un conjunto de reglas de inferencia se dice consistente si, para todo conjunto de fbf cerradas (sin ocurrencia de variables libres) y cada fbf cerrada α, siempre que α se tiene que = α. Las reglas de inferencia se dicen completas si α siempre que = α Substituciones Formalmente, como ya se mencionó, una substitución es un mapeo de las variables del lenguaje a los términos del mismo: Definición 9 (Substitución) Una substitución es un conjunto finito de pares de la forma {X 1 /t 1,...,X n /t n } donde cada t n es un término y cada X n es una variable, tal que X i = t i yx i = X j si i = j. La substitución vacía se denota por ε. Asumamos que Dom({X 1 /t 1,...,X n /t n }) denota al conjunto {X 1,...,X n }, también conocido como dominio; yrange({x 1 /t 1,...,X n /t n }) denota al conjunto {t 1,...,t n }, también conocido como rango. Entonces la regla anterior expresa que las variables en el dominio de una substitución son únicas y no incluyen la substitución de la variable por si misma. La aplicación Xθ de la substitución θ a la variable X se define como: t Si X/t θ Xθ = X En otro caso observen que para las variables no incluidas en Dom(θ), θ aparece como la función identidad. Es importante extener el concepto de substitución a las fbf: Definición 10 (Aplicación) Sea θ una substitución {X 1 /t 1,...,X n /t n } y α una fbf. La aplicación αθ es la fbf obtenida al remplazar simultáneamente t i por toda ocurrencia de X i en α (1 i n). αθ se conoce como un caso (instance) de α. Ejemplos: ama(x,y ) madre(x){x/ julia,y /luis} = ama( julia, luis) madre( julia) p( f (X,Z), f (Y,a)) {X/a,Y /Z,W/b} = p( f (a,z), f (Z,a)) p(x,y ) {X/ f (Y ),Y /b} = p( f (Y ),b)
12 32 2 Lógica de Primer Orden Definición 11 (Composición) Sean θ y σ dos substituciones de la forma: θ = {X 1 /s 1,...X m /s m }σ = {Y 1 /t 1,...Y n /t n } La composición θσ se obtiene a partir del conjunto: {X 1 /s 1 σ,...x m /s m σ,y 1 /t 1,...Y n /t n } de la manera siguiente: eliminar todas las X i /s i σ para las que X i = s i σ (1 i m) y eliminar también aquellas Y j /t j para las cuales Y j Dom(θ) (1 j n). Por ejemplo: {X/ f (Z),Y /W}{X/a,Z/a,W/Y } = {X/ f (a),z/a,w/y } Definición 12 (Substitución idempotente) Una substitución θ se dice idempotente si θ = θθ. Se puede probar que una substitución θ es idempotente si y sólo si Dom(θ) Range(θ) =/0, es decir si el dominio y el rango de la substitución son disjuntos. Otras propiedades de las substituciones son: Definición 13 (Propiedades de las substituciones) Sean θ,α y β substituciones y sea F una fbf. Entonces: E(θ α)=(eθ)α (θα)β = θ(αβ) εθ = θε = θ Observen que, aunque las substituciones son asociativas, éstas no son conmutativas. Las substituciones son importantes para definir una regla de inferencia de especial relevancia para nosotros, conocida como la regla de resolución. Con las definiciones introducidas en este capítulo podemos abordar el tema de los programas lógicos definitivos.
Lógica de Primer Orden
Capítulo 2 Lógica de Primer Orden Resumen Aunque en términos generales, la Programación Lógica concierne el uso de la lógica para representar y resolver problemas, normalmente este término se refiere al
Más detallesUNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL
UNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL ASIGNATURA: INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN CARRERAS: LICENCIATURA Y PROFESORADO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICA
Más detallesIntroducción. Lógica de proposiciones: introducción. Lógica de proposiciones. P (a) x. Conceptos
Introducción César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 1 La lógica ha sido históricamente uno de los primeros lenguajes utilizados para representar el conocimiento. Además es frecuente
Más detallesSignificado de las f.b.f (fórmulas bien formadas) en términos de objetos, propiedades y relaciones en el mundo
Significado de las f.b.f (fórmulas bien formadas) en términos de objetos, propiedades y relaciones en el mundo Semánticas del cálculo de predicados proporcionan las bases formales para determinar el valor
Más detallesMLM 1000 - Matemática Discreta
MLM 1000 - Matemática Discreta L. Dissett Clase 04 Resolución. Lógica de predicados c Luis Dissett V. P.U.C. Chile, 2003 Aspectos administrativos Sobre el tema vacantes: 26 personas solicitaron ingreso
Más detallesMetodología de Programación I Lógica de Primer Orden
Metodología de Programación I Lógica de Primer Orden Dr. Alejandro Guerra-Hernández Departamento de Inteligencia Artificial Facultad de Física e Inteligencia Artificial aguerra@uv.mx http://www.uv.mx/aguerra
Más detallesIIC 2252 - Matemática Discreta
IIC 2252 - Matemática Discreta L. Dissett Clase 04 Lógica de predicados. Reglas de inferencia en lógica de predicados. Lógica de predicados Definiciones básicas: Un predicado es una afirmación que depende
Más detallespersonal.us.es/elisacamol Elisa Cañete Molero Curso 2011/12
Teoría de conjuntos. Teoría de Conjuntos. personal.us.es/elisacamol Curso 2011/12 Teoría de Conjuntos. Teoría de conjuntos. Noción intuitiva de conjunto. Propiedades. Un conjunto es la reunión en un todo
Más detallesPara representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones:
2. Conjuntos 2.1 Introducción El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal,
Más detallesPROLOG Inteligencia Artificial Universidad de Talca, II Semestre 2005. Jorge Pérez R.
PROLOG Inteligencia Artificial Universidad de Talca, II Semestre 2005 Jorge Pérez R. 1 Introducción a PROLOG PROLOG es un lenguaje interpretado basado en la lógica de predicados de primer orden. Puede
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detallesVII. Estructuras Algebraicas
VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación
Más detallesHistoria y Filosofía de la Lógica
Historia y Filosofía de la Lógica Pablo Cobreros pcobreros@unav.es Tema 1: El objeto de la lógica La lógica proposicional clásica El objeto de la lógica Consecuencia lógica La lógica proposicional El lenguaje
Más detallesRelaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d
Relaciones binarias En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos
Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesObjetivos. Contenidos. Revisar los principales conceptos de la lógica de primer orden
Especificación TEMA 1 formal de problemas Objetivos Revisar los principales conceptos de la lógica de primer orden Entender el concepto de estado de cómputo y cómo se modela con predicados lógicos Familiarizarse
Más detallesINTRODUCCION A LA LÓGICA DE ENUNCIADOS
INTRODUCCION A LA LÓGICA DE ENUNCIADOS Carlos S. Chinea 0. Enunciados: Lo fundamental en el lenguaje ordinario, la herramienta para manifestar las ideas, sentimientos, descripción de situaciones diversas,
Más detallesÁlgebras de Boole. Juan Medina Molina. 25 de noviembre de 2003
Álgebras de Boole Juan Medina Molina 25 de noviembre de 2003 Introducción Abordamos en este tema el estudio de las álgebras de Boole. Este tema tiene una aplicación directa a la electrónica digital ya
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detallesEscenas de episodios anteriores
Clase 16/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje
Más detallesEjemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
Más detallesÍNDICE PRESENTACIÓN... 9. INTRODUCCIÓN... 11 Lógica y Filosofía de la Lógica... 11 Más allá de este libro... 16
ÍNDICE PRESENTACIÓN... 9 INTRODUCCIÓN... 11 Lógica y Filosofía de la Lógica... 11 Más allá de este libro... 16 I. VERDAD Y PORTADORES DE VERDAD... 19 1. De qué tipo de entidades predicamos la verdad?...
Más detallesNúmeros Reales. MathCon c 2007-2009
Números Reales z x y MathCon c 2007-2009 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Propiedades básicas de los números naturales....................... 2 1.2. Propiedades básicas de los números enteros........................
Más detallesRepaso de Lógica de Primer Orden
Repaso de Lógica de Primer Orden IIC3260 IIC3260 Repaso de Lógica de Primer Orden 1 / 29 Lógica de primer orden: Vocabulario Una fórmula en lógica de primer orden está definida sobre algunas constantes
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesEspacios generados, dependencia lineal y bases
Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................
Más detallesSeminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden:
Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden: Eduardo Barrio Javier Castro Albano UBA 1er cuatrimestre de 2008 1.- Definiciones: L: Lenguaje: conjunto de expresiones. LP: Lenguaje de primer
Más detallesTema 6: Programación Lógica: semántica declarativa. Lenguajes y Paradigmas de Programación
Tema 6: Programación Lógica: semántica declarativa Lenguajes y Paradigmas de Programación Teoría de Modelos Se basa en el concepto de INTERPRETACIÓN, que consiste en: elegir un dominio D (en el que tomarán
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detallesEjemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................
Más detallesNota 2. Luis Sierra. Marzo del 2010
Nota 2 Luis Sierra Marzo del 2010 Cada mecanismo de definición de conjuntos que hemos comentado sugiere mecanismos para definir funciones y probar propiedades. Recordemos brevemente qué son las funciones
Más detallesIntroducción a la Teoría de Probabilidad
Capítulo 1 Introducción a la Teoría de Probabilidad Para la mayoría de la gente, probabilidad es un término vago utilizado en el lenguaje cotidiano para indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento
Más detallesRAZONAMIENTOS LÓGICOS EN LOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
RAZONAMIENTOS LÓGICOS EN LOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS AUTORÍA SERGIO BALLESTER SAMPEDRO TEMÁTICA MATEMÁTICAS ETAPA ESO, BACHILLERATO Resumen En este artículo comienzo definiendo proposición y los distintos
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesCómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1
. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio
Más detallesNociones Básicas de Sémantica: Semántica Denotacional
Nociones Básicas de Sémantica: Semántica Denotacional Análisis de Lenguajes de Programación Mauro Jaskelioff 21/08/2015 Acerca de la Semántica Operacional En la semántica operacional el significado de
Más detalles342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO.
342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO. ALGUNAS APLICACIONES A LA TEORIA DE LAS FORMAS BINARIAS. Encontrar una forma cuya duplicación produce una forma dada del género principal. Puesto que los elementos
Más detallesAplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
Más detallesConjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación.
Conjuntos Numéricos Axiomas de los números La matemática se rige por ciertas bases, en la que descansa toda la matemática, estas bases se llaman axiomas. Cuántas operaciones numéricas conocen? La suma
Más detallesTablas. Estas serán las tablas que usaremos en la mayoría de ejemplos. Empleado
Álgebra Relacional Un álgebra es un sistema matemático constituido por Operandos: objetos (valores o variables) desde los cuales nuevos objetos pueden ser construidos. Operadores: símbolos que denotan
Más detallesIntroducción. Metadatos
Introducción La red crece por momentos las necesidades que parecían cubiertas hace relativamente poco tiempo empiezan a quedarse obsoletas. Deben buscarse nuevas soluciones que dinamicen los sistemas de
Más detallesy los conos serán todos los diagramas (acá usamos la palabra en el sentido habitual, no en el que acabamos de definir) de la forma
(Novena clase: Límites y colímites) Las definiciones de obeto terminal, producto binario, ecualizador y pullback, son casos particulares de un concepto general, llamado límite, que presentaremos a continuación.
Más detalles3. Modelo relacional: Estructura e integridad.
Modelo relacional: Estructura e integridad 47 3. Modelo relacional: Estructura e integridad. 3.1. Introducción. El modelo de datos relacional es posterior a los modelos jerárquicos y de red. Nació como
Más detalles{} representa al conjunto vacío, es decir, aquel que no contiene elementos. También se representa por.
2. Nociones sobre Teoría de Conjuntos y Lógica Para llevar a cabo nuestro propósito de especificar formalmente los problemas y demostrar rigurosamente la correctitud de nuestro programas, introduciremos
Más detallesUniversidad Católica del Maule. Fundamentos de Computación Especificación de tipos de datos ESPECIFICACIÓN ALGEBRAICA DE TIPOS DE DATOS
Especificación algebraica ESPECIFICACIÓN ALGEBRAICA DE TIPOS DE DATOS Un tipo abstracto de datos se determina por las operaciones asociadas, incluyendo constantes que se consideran como operaciones sin
Más detallesMódulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias
Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional
Más detalles5 LÓGICA DE PRIMER ORDEN
5 LÓGICA DE PRIMER ORDEN Como mencionamos en el primer capítulo del curso, la lógica proposicional nos permite expresar conocimiento sobre situaciones que son de nuestro interés, mediante enunciados declarativos.
Más detallesEJERCICIOS DEL CAPÍTULO I
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I 1. Un grupo es una tipo particular de Ω estructura cuando Ω es el tipo Ω = { } siendo una operación de aridad dos. Pero un grupo también es una Ω -estructura siendo Ω = {e, i,
Más detallesA estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:
ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detallesCapítulo VI. Diagramas de Entidad Relación
Diagramas de Entidad Relación Diagramas de entidad relación Tabla de contenido 1.- Concepto de entidad... 91 1.1.- Entidad del negocio... 91 1.2.- Atributos y datos... 91 2.- Asociación de entidades...
Más detallesGrupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.
1 Tema 1.-. Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1.1. Primeras definiciones Definición 1.1.1. Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A. En un lenguaje más coloquial
Más detallesOR (+) AND( ). AND AND
Algebra de Boole 2.1.Introducción 2.1. Introducción El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 o 1. Y las operaciones básicas
Más detallesRelaciones entre conjuntos
Relaciones entre conjuntos Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos,
Más detallesEjemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)
Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesINSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER Manual del Alumno ASIGNATURA: Matemática I PROGRAMA: S3C Lima-Perú SESION 1 SISTEMAS DE NUMERACION DEFINICION : Es un conjunto de reglas y principios que nos
Más detallesOperaciones Morfológicas en Imágenes Binarias
Operaciones Morfológicas en Imágenes Binarias Introducción La morfología matemática es una herramienta muy utilizada en el procesamiento de i- mágenes. Las operaciones morfológicas pueden simplificar los
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesCAMINOS EXPLICATIVOS. Humberto Maturana
CAMINOS EXPLICATIVOS Humberto Maturana Existen dos modos o maneras fundamentales que un observador puede adoptar para escuchar explicaciones, según si él o ella se hacen o no la pregunta por una explicación
Más detallesLógica, conjuntos, relaciones y funciones
Lógica, conjuntos, relaciones y funciones Álvaro Pérez Raposo Universidad Autónoma de San Luis Potosí Universidad Politécnica de Madrid Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana A la memoria
Más detallesCapítulo 1 Lenguajes formales 6
Capítulo 1 Lenguajes formales 6 1.8. Operaciones entre lenguajes Puesto que los lenguajes sobre Σ son subconjuntos de Σ, las operaciones usuales entre conjuntos son también operaciones válidas entre lenguajes.
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detalles2.3.- Modelo relacional de datos (aproximación lógica)
2.3.- Modelo relacional de datos (aproximación lógica) Existen dos lenguajes lógicos de manipulación para el modelo relacional: El Cálculo Relacional de Tuplas. El Cálculo Relacional de Dominios. La perspectiva
Más detalles2.3.- Modelo relacional de datos (aproximación lógica) 2.3.1.- La lógica de 1er orden. 2.3.1.- La lógica de 1er orden. 2.3.1.- La lógica de 1er orden
2.3.- Modelo relacional de datos (aproximación lógica). Existen dos lenguajes lógicos de manipulación para el modelo relacional: El Cálculo Relacional de Tuplas. El Cálculo Relacional de Dominios. La perspectiva
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1.1. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Definición 1.1.1. Sea E un conjunto, se llama ley de composición interna en E si y sólo si a b = c E, a, b E. Observación 1.1.1. 1. también se llama
Más detallesSubconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detalles1. Se establecen los conceptos fundamentales (símbolos o términos no definidos).
1. ÁLGEBRA DE BOOLE. El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada también álgebra de la lógica, permite prescindir
Más detallesCapítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 1: Lógica Proposicional
Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 1: Lógica Proposicional Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones
Más detallesCONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS INTRODUCCIÓN Intuitivamente, un conjunto es una
Más detalles4. Modelo Relacional: Manipulación de los datos.
Modelo Relacional: Manipulación de los datos. 54 4. Modelo Relacional: Manipulación de los datos. 4.1. Lenguaje de procedimiento: álgebra relacional Los lenguajes de procedimientos para consultar bases
Más detallesLa ventana de Microsoft Excel
Actividad N 1 Conceptos básicos de Planilla de Cálculo La ventana del Microsoft Excel y sus partes. Movimiento del cursor. Tipos de datos. Metodología de trabajo con planillas. La ventana de Microsoft
Más detallesProblemas indecidibles
Capítulo 7 Problemas indecidibles 71 Codificación de máquinas de Turing Toda MT se puede codificar como una secuencia finita de ceros y unos En esta sección presentaremos una codificación válida para todas
Más detalles2 LÓGICA DE PRIMER ORDEN
2 LÓGICA DE PRIMER ORDEN En términos generales, la Programación Lógica atañe al uso de la lógica para representar y resolver problemas Más adelante precisaremos que, en realidad, usaremos una lógica restringida
Más detallesAproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación
Más detallesOperaciones Booleanas y Compuertas Básicas
Álgebra de Boole El álgebra booleana es la teoría matemática que se aplica en la lógica combinatoria. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar magnitudes lógicas y pueden tener
Más detallesFICHEROS Y BASES DE DATOS (E44) 3º INGENIERÍA EN INFORMÁTICA. Tema 8. Elementos Básicos
FICHEROS Y BASES DE DATOS (E44) 3º INGENIERÍA EN INFORMÁTICA Tema 8. Elementos Básicos 1.- Ejemplo Introductorio. 2.- Dominios. 3.- Relaciones. 4.- Bases de Datos Relacionales. (Capítulo 11 del Date) EJEMPLO
Más detallesReglas de inferencia:
UNEFA Cátedra: Lgica Matematica Tema: Deduccin Natural. Profesora: Ana Rodríguez. Reglas de inferencia: En lgica, especialmente en lgica matemática, una regla de inferencia es un esquema para construir
Más detallesLógica de Predicados de Primer Orden
Lógica de Predicados de Primer Orden La lógica proposicional puede ser no apropiada para expresar ciertos tipos de conocimiento. Por ejemplo: Algunas manzanas son rojas Esta afirmación no se refiere específicamente
Más detallesEstructuras Discretas. César Bautista Ramos Carlos Guillén Galván Daniel Alejandro Valdés Amaro
Estructuras Discretas César Bautista Ramos Carlos Guillén Galván Daniel Alejandro Valdés Amaro Facultad de Ciencias de la Computación Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 1. CONJUNTOS Y CLASES 1
Más detallesEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u
Más detalles9.1 Primeras definiciones
Tema 9- Grupos Subgrupos Teorema de Lagrange Operaciones 91 Primeras definiciones Definición 911 Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A En un lenguaje más coloquial una operación
Más detallesTEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN: Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas ya sean matemáticos, de la vida diaria o de cualquier ámbito- y, en ese caso, se dice que
Más detallesIntroducción. Paradigma de Lógica Gran importancia en la I.A. Origen: prueba de teoremas y razonamiento deductivo. Lógica.
Tema 2: Lógica y Razonamiento Automático tico Introducción Lógica Proposicional Lógica de Predicados Axiomas Unificación Razonamiento automático e Inferencias lógicas Resolución Regla de Inferencia Refutación
Más detallesI. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }
I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas
Más detallesLenguajes y Compiladores
Información: http://www.cs.famaf.unc.edu.ar/wiki/ Profesores: Héctor Gramaglia, Miguel Pagano, Demetrio Vilela Régimen de regularidad y Promoción Se tomarán 2 parciales Promoción: obteniendo al menos 7
Más detallesEjercicios guiados de comentario de texto. Ejercicio 2. Descartes
Ejercicios guiados de comentario de texto Ejercicio 2. Descartes Así, por ejemplo, estimaba correcto que, suponiendo un triángulo, entonces era preciso que sus tres ángulos fuesen iguales a dos rectos;
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se ha trabajado con números complejos, polinomio y matrices y hemos efectuado con ellos ciertas operaciones: sin embargo no todas las operaciones se comportan de la misma manera,
Más detallesANÁLISIS DE DATOS NO NUMERICOS
ANÁLISIS DE DATOS NO NUMERICOS ESCALAS DE MEDIDA CATEGORICAS Jorge Galbiati Riesco Los datos categóricos son datos que provienen de resultados de experimentos en que sus resultados se miden en escalas
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se da la relación entre dos conjuntos mediante el siguiente diagrama: (, ) (2, 3) (, 4) (, 2) (7, 8) (, ) (3, 3) (5, ) (6, ) (, 6)........ 5 6......... 2 5 i) Observa la correspondencia
Más detallesSemana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo
Semana 08 [1/15] April 18, 2007 Acotamiento de conjuntos Semana 08 [2/15] Cota Superior e Inferior Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie
Más detallesTema 12: Teorema de Herbrand
Facultad de Informática Grado en Ingeniería Informática Lógica 1/12 PARTE 3: DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA Tema 12: Teorema de Herbrand Profesor: Javier Bajo jbajo@fi.upm.es Madrid, España 26/11/2012 Introducción.
Más detallesTarea 4 Soluciones. la parte literal es x3 y 4
Tarea 4 Soluciones Extracto del libro Baldor. Definición. Término.-es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Así, a, 3b, 2xy,
Más detallesDefinición 2.1.1. Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral.
Capítulo 2 Probabilidades 2. Definición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida
Más detallesLenguajes y Compiladores
2015 Estructura de la materia a grandes rasgos: Primera Parte: Lenguaje imperativo Segunda Parte: Lenguaje aplicativo puro, y lenguaje aplicativo con referencias y asignación Ejes de contenidos de la primer
Más detalles