Cálculo Diferencial e Integral

Transcripción

1 Cálculo Diferencial e Integral (Junio-96 Un comerciante vende un determinado producto Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5 pesetas No obstante, se le encargan más de unidades, decide disminuir el precio por unidad y por cada unidades cobra la guiente cantidad: C Se pide: 5 a ( 5 a Hallar a para que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran b A cuánto tiende el precio de una cantidad cuando se compran "muchímas" unidades? (Sol: a a = ; b (Junio-96 Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse en partes iguales La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y y la recta y Deciden dividir la parcela mediante la recta (Sol: y a paralela a y Hallar el valor de a a / (Sept-96 Se condera una ventana como la que se indica en la figura (la parte inferior es rectangular; la superior una semicircunferencia El perímetro de la ventana mide 6 m Hallar las dimenones "" e "y" del rectángulo para que la superficie de la ventana sea máima (Epresar los resultados en función de (Sol: 6( ; y (Sept-96 La gráfica de la figura corresponde a la primera derivada de una función f ( Qué puede decirse sobre los pobles máimos y mínimos relativos de la función f (? Razonar la respuesta y (Sol: máimo José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

2 a 5 (Sept96 Si f ( d, se verifica entonces que f ( d? Si fuese empre cierto, a pruébese, pudiera ser falso, póngase un ejemplo que lo confirme (Sol: No es cierto a a 6 (Junio-97 Sea f : una función derivable en ; sean a y b dos raíces de la derivada f '( tales que entre ellas no hay ninguna otra raíz de f '( Razonar debidamente puede ocurrir una de las guiente pobilidades: º Entre a y b no eiste ninguna raíz de f ( º Entre a y b eiste una sola raíz de f ( º Entre a y b eiste dos o más raíces de f ( (Sol: a y b cierto, c falso 7 (Junio-97 En la perforación de un cierto pozo, se sabe que el coste de la etracción del metro cuadrado de tierra a una profundidad de metros es proporcional a a, para un cierto a > Llamaremos C( al coste de etracción de tierra del pozo, desde la superficie hasta la profundidad de metros Sabiendo que C( 8 C(, se pide: º Hallar a º Hallar la profundidad h para la que C( h 8C( (Sol: a a = 5/ ; b h = 8 (Sept-97 Sea la función f ( Se pide: a Hacer un dibujo aproimado de la gráfica de la función b Estudiar la derivabilidad de la función en c Calcular el área itada por la gráfica de la función f (, el eje de abcisas y las rectas y (Sol: b No derivable en = ; c S = /6 9 (Sept-97 Hay alguna función f ( que no tenga límite cuando f (, y que n embargo, tenga límite cuando? Si la respuesta es afirmativa, póngase un ejemplo; es negativa, fustifíquese (Sol: Falso, ejemplo f ( (Sept-97 Sea f ( una función tal que, para cualquiera que sea se cumple que f Pruébese que, entonces, se verifica que f ( f ( para todo f José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

3 (Junio-98 Calcular el valor de la integral sen d (Sol: (Junio-98 Se condera la ecuación Utilizando el Teorema de Bolzano de los valores intermedios, a Probar que, la ecuación admite alguna solución menor que b Probar que, la ecuación admite alguna solución mayor que (Junio-98 a Determinar las funciones (definidas sobre toda la recta real y que toman valores reales que satisfacen la condición de que la pendiente de la recta tangente en un punto genérico (, y de su gráfica viene dada por la epreón e b Hallar los máimos y los mínimos locales y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de aquella de las funciones del apartado anterior que pasa por el punto (, (Sol: a f ( e ( C b f ( e ( (, mín ; (, ; (, (Sept-98 En cada uno de los guientes apartados indicar un ejemplo que muestre que el enunciado es falso Justificar la respuesta a La suma de dos funciones discontinuas es una función discontinua b Toda función continua es derivable (Sol: Falsas las dos 5 (Sept-98 Calcular: a (Sol: a / ; b ln sen ( sen cos b Ln d 6 (Sept-98 Se condera un círculo de radio r a Probar que el rectángulo de área máima inscrito en el círculo dado es un cuadrado b Conderando el círculo inscrito en dicho cuadrado, calcular el cociente entre las áreas de los dos círculos (Sol: a Cuadrado de lado l r ; b / 7 (Junio-99 Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máima cuyo perímetro sea 6 m (Sol: Equilátero de lado José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

4 8 (Junio-99 Se condera la función f ( n m a Determinar m y n para que se cumplan las hipótes del teorema del valor medio en el intervalo [-,] b Hallar los puntos del intervalo cuya eistencia garantiza dicho teorema (Sol: a m = -; n = 6 ; b 5 ; e 9 (Junio-99 Se condera la función f ( Contestar razonadamente a las guientes preguntas: a Es continua en el punto? b Es derivable en el punto? c Alcanza algún etremo? (Sol: a Si ; b No; c = mínimo (Sept-99 Se condera un triángulo isósceles cuya base (el lado degual mide cm y cuya altura mide 6 cm En él se inscribe un rectángulo, cuya base está tuada sobre la base del triángulo a Epresar el área A de dicho rectángulo en función de la longitud de su base b Escribir el dominio de la función A( y dibujar su gráfica c Hallar el valor máimo de dicha función (Sol: a A( 6 ; b D = R; c = 5 5 (Sept-99 Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea de 8 las dimenones de la caja para que la superficie eterior sea mínima (Sol: Cubo de lado dm dm Averiguar (Sept-99 a Comprobar que ln( ln( b Calcular ln( ln( (Sol: b (Junio- Sea f ( a b c d un polinomio que cumple f (, f '(, y tiene dos etremos relativos en y a Determinar a, b, c y d b Son máimos o mínimos los etremos relativos? (Sol: a a = /, b = -/, c =, d = -5/6 ; b ma ; min José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

5 (Junio- Sean las funciones f ( y g( Determinar el área encerrada por las gráficas de ambas funciones y la recta (Sol: / 5 (Junio- a Si es poble, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [,] que tenga al menos un máimo relativo en el punto (, y un mínimo relativo en el punto (, b Si la función fuera polinómica, cuál ha de ser como mínimo su grado? 6 (Sept- Sea la función f ( sen a Determinar tiene asíntotas de algún tipo b Estudiar su monotonía y la eistencia de etremos relativos (Sol: a No tiene ; b Creciente salvo en k 7 (Sept- Dados tres números reales cualesquiera r, r, r, hallar el número real que minimiza la función ( r ( r D( ( r (Sol: r r r 8 (Sept- Sea la función f ( 6 a Determinar los puntos de corte de su gráfica con los ejes y los intervalos de crecimiento y decrecimiento b Esbozar la gráfica de la función c Calcular el área determinada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas, (Sol: a (,, (-,, (,, (, ; b,,,,,,, ; c 98/5 9 (Junio- Sea la función f ( sen a Calcular a tal que el área encerrada por la gráfica de f, el eje y, y la recta a, sea b Calcular la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa c Calcular el área de la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de la función f y la rectas y (Sol: a a ; b y ; c 57 José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 5

6 (Junio- Sea la función real de variable real definida por a Razonar la función es continua en toda la recta real b Razonar f es derivable en toda la recta real ( f ( c Determinar el área encerrada por la gráfica de f y por las rectas y 8,, (Sol: a Si es continua; b Es derivable en ; c 9 (Junio- a Determinar los etremos relativos de la función f ( Dibujar su gráfica b Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P (, 5 (Sol: a (,- min ; b y ( ; y 7 6( 5 (Sept- Se conderan las funciones f ( y g( a b a Calcular a y b para que las gráficas de f y g sean tangentes en el punto de abcisa b Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibujar las gráficas de ambas funciones y hallar la ecuación de la recta tangente común c Para los mismos valores de a y b, hallar el área itada por las gráficas de las funciones y el eje vertical (Sol: a a ; b y ; c (Sept- Sea la función f ( t e a Calcular f ( t dt b Se define g( f ( t dt Calcular g( (Sol: a t e C t ln ; b (Sept- Sea P( un polinomio de grado tal que: i P( es una función par ii Dos de sus raíces son, 5 iii P ( 5 Se pide: a Hallar sus puntos de infleión b Dibujar su gráfica José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 6

7 (Sol: a P ( 6 5 ; (,, (-, PI 5 (Junio- Se condera la función real de variable real definida por f ( a Hallar la ecuación carteana de la recta tangente en el punto de infleión de abscisa potiva de la gráfica de f b Calcular el área del recinto plano acotado itado por la gráfica de f, la recta anterior y el eje (Sol: a 8y ; b (Junio- Se condera la función: f ( a Estudiar el dominio y la continuidad de f b Hallar las asíntotas de la gráfica de f c Calcular el área del recinto plano acotado itado por la gráfica de f y las rectas y,, (Sol: a D = ; Continua en ; b ; y ; c 9 ln 7 (Sept- Se condera la función real de variable real definida por a Determinar sus máimos y mínimos relativos f ( b Calcular el valor de a para el cual se verifica la igualdad f ( d (Sol: a, min,, ma ; b a e a 8 (Sept- Se condera la función real de variable real definida por f ( ( a Estudiar su continuidad y derivabilidad b Hallar la ecuación carteana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (, Sol: a Cont en, Deriv en ; b y José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 7

8 9 (Sept- Sea f ( una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que f ( ; f ( ; f '( ; f '( Se pide: a Calcular '( b Calcular (Sol: a ; b 8 g, endo g( f f ( f ( e f ( (Junio- Calcular los guientes límites a ln (cos( ln (cos( b (Sol: a 9 ; b 8 (Junio- Dada la función f ( a Encontrar los puntos de discontinuidad de f Determinar razonadamente alguna de las discontinuidades es evitable b Estudiar f tiene alguna asíntota vertical (Sol: a no evitable, evitable ; b (Junio- a Dibujar la gráfica de g( e b Calcular el dominio de definición de f ( y su comportamiento para y e c Determinar ( eisten los máimos y mínimos absolutos de f ( en su dominio de definición (Sol: b D = ; Ambos límites cero; c maabs (Sept- Sea la función f ( sen cos definida en el intervalo cerrado y acotado, Se pide: a Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máimo y mínimo absolutos b Calcular / f ( d (Sol: a /, 5 / min; / ma ; b ln (/ (Sept- Sea la función f ( a Estudiar su continuidad y derivabilidad José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 8

9 b Dibujar su gráfica c Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y f (, las rectas, 5, y el eje OX (Sol: a Continua en, Deriv en ; c 6 5 (Junio- Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima (Sol: Base 8 ; Altura 6 (Junio- Se condera la función f ( ( a Calcular las asíntotas, el máimo y el mínimo absolutos de la función f ( b Calcular f ( d (Sol: a (-/, Ma, (/, Min, y Asíntota ; b ln5 7 (Junio- Dada la función f (, se pide: a Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P ( a, f ( a, donde a b Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a corta a los ejes vertical y horizontalmente respectivamente c Determinar el valor a(, para el cual la distancia entre el punto A y el punto P ( a, f ( a es el (Sol: a doble de la distancia entre el punto B y el punto P ( a, f ( a y a a ; b, a A ; a B, ; c a a 8 (Sept- Sabiendo que una función f ( tiene como derivada f '( ( ( 8 7 a Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f b Hallar los máimos y los mínimos relativos de f c Es el punto un punto de infleión de f? Justificar razonadamente la respuesta, b Ma, 7 Min ; c P Inf (Sol: a (7,,,7 9 (Sept- Sea la función f ( ( a Hallar sus máimos y mínimos relativos y sus asíntotas José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 9

10 b Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f tiene eactamente tres puntos de infleión cuyas abcisas son,,, respectivamente c Calcular el área del recinto itado por la gráfica de la función f, el eje OX, la recta, y la recta (Sol: a (, Ma, (-,- Min, y Asíntota ; c S 6 / 7 5 (Junio-5 Sea f ( una función derivable en (, y continua en [,], tal que f ( y f ' ( d Utilizar la fórmula de integración por partes para hallar f ( d (Sol: -/ 5 (Junio-5 Calcular un polinomio de tercer grado p( a b c d sabiendo que verifica: a Tiene un máimo relativo en b Tiene un punto de infleión en el punto de coordenadas (, c Se verifica: p ( d 5 / (Sol: (Junio-5 Calcular los guientes límites: a (Sol: a ; b b arctge 5 (Sept-5 Dada la función f ( se pide: a Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto ( a, f ( a para a b Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a con los dos ejes coordenados c Hallar el valor de a que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b sea mínima (Sol: a y a ; b (a,, (,/a; c a= a José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

11 5 (Sept-5 Dada la función f ( ln donde ln gnifica logaritmo neperiano, definida para, hallar un punto ( a, f ( a tal que la recta tangente a la gráfica de f ( en ese punto sea paralela al eje OX (Sol: (,ln e 55 (Sept-5 Se condera la función: f ( ( e a Calcular los etremos locales y/o globales de la función f ( b Determinar el valor del parámetro a tal que: f ( d / (Sol: a (,/ ma Absoluto, no tiene mínimos ; b a ln a 56 (Junio-6 a Dibujar la gráfica de la función f ( indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas n b Demostrar que la suceón a n es monótona creciente n c Calcular n ( an an (Sol: c n 57 (Junio-6 a Estudiar y representar gráficamente la función: f ( ( b Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas y, 5/ (Sol: b / 58 (Sept-6 Calcular d (Sol: (/ ln (/ 59 (Sept-6 Dada la función f ( e, se pide: a Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos relativos, intervalos de conveidad y puntos de infleión b Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f ( entre, ;(, ; (Sol: e, ; / infle ; S e min ; / ;( /, José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

12 6 (Junio-7 Se condera la función f ( m, donde m es una constante a Para cada valor de m hallar el valor de a tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( a, f ( a pase por el origen de coordenadas b Hallar el valor de m para que la recta y sea tangente a la gráfica de f ( (Sol: a a m ; b m / 6 (Junio-7 Dada la función gráfica y el eje OX 6 (Sol: f ( Calcular el área de la región acotada encerrada por su 6 (Junio-7 Dibujar la gráfica de la función crecimiento y decrecimiento y asíntotas (Sol: D R ;, (,,, f ( indicando su dominio, intervalos de 6 (Sept-7 a Hallar los máimos y mínimos relativos y los puntos de infleión de la función: f ( b Determinar una función F ( tal que su derivada sea f ( y además F ( (Sol: a min; ma ;, PI ; b F ( ln( 6 (Sept-7 Sea g ( una función continua y derivable para todo valor real de, de la que se conoce la guiente información: i g '( para todo (, (,, mientras que g '( para todo (, ii g ''( para todo (, y g ''( para todo (, (, iii g (, g (, g ( iv g( y g( Teniendo en cuenta los apartados anteriores, se pide: a Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g ( b Si G( g( t dt encontrar un valor tal que su derivada G '( (Sol: José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

13 65 (Junio-8 Estudiar los guiente límites: a ( e (Sol: a ; b b (Junio-8 Obtener los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función: (Sol: ( e,e ma, (, min; ( e, e PI ln( f ( 67 (Junio-8 a Para cada c, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función f ( c, el eje OX y las rectas, c b Hallar el valor de c para el que el área obtenida en el apartado a es mínima (Sol: a c 5c 5 A( c ; b 5c 5 c 68 (Sept-8 Dada la función f ( e (, se pide: a Dibujar la gráfica de f, estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas b Calcular f ( d (Sol: 6 e 69 (Sept-8 a Calcular ln( d, donde ln( es el logaritmo neperiano de b Utilizar el cambio de variable t t e e para calcular d Indicación: Para deshacer el cambio de variable utilizar: t ln (Sol: a ln C ; b ln C 6 7 (Junio-9 Calcular el guiente límite: 8 ( según los valores del parámetro José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

14 (Sol:, ; / 7 (Junio-9 Calcular la integral: t e (Sol: F( e ( t dt 7 (Junio-9 Si la derivada de la función f ( es: f '( ( ( 5, obtener: a Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b Los valores de en los cuales f tiene máimos y mínimos relativos, o puntos de infleión c La función f sabiendo que f ( 5, ; b ma, 5 min, PI ; c f ( (Sol: a (5,,,5 7 (Sept-9 Dada la función: ln( a b a, f ( Se pide: a Hallar los valores de los parámetros a y b para los cuales la función f es continua en b Para a b, estudiar la función f es derivable en aplicando las definición de derivada (Sol: a a b ó a b ; b f '( 7 (Sept-9 a Dada la función: pendiente de la recta tangente sea f (, hallar el punto o los puntos de la gráfica de f en los que la b Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( en el punto c Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g (, g( Demostrar que eiste al menos un punto c en el intervalo (, tal que g '( c (Sol: a, ; b y 75 (Junio- Fase General Dada la función: f (, se pide: a Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f ( b Hallar los puntos de infleión de la gráfica de f ( c Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f ( José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

15 d Hallar el área del recinto acotado que itan la gráfica de Hallar los puntos de infleión de la gráfica de f (, el eje de abcisas y las rectas y,, ; b 7, (Sol: a,, 7, c y ; d 76 (Junio- Fase General Dada la función: f ( ln k a Determinar el valor de k para que la función sea continua en R b Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas, se pide: c Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abcisa (Sol: a k ; b (,, (, ; c y 77 (Junio- Fase Específica Hallar: a b / (Sol: a - ; b 8 e 78 (Junio- Fase Específica Dada la función f ( ln( 5, se pide: a Determinar el dominio de definición de f ( y las asíntotas verticales de su gráfica b Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( D ;, 5 ; b Siempre decrece (Sol: a, 5 (, 79 (Junio- Fase Específica Dadas las funciones y 9, y se pide: a Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas b Calcular el área de dicho recinto acotado c Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto acotado por la gráfica de y 9 y el eje OX (Sol: b 6 ; c (Septiembre- Fase General Calcular los límites: a arctan a / b e 5 5e José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 5

16 (Sol: a a e ; b /5 8 (Septiembre- Fase General Calcular: a d (Sol: a ; b - b cos d 8 (Septiembre- Fase General Los puntos P (,,, Q(,, y A (a,, con a, determinan un plano que corta a los semiejes potivos OY y OZ en los puntos B y C respectivamente Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo (Sol: a 9 / 8 (Septiembre- Fase Específica Obtener el valor de a para que a (Sol: ln a 8 (Septiembre- Fase Específica Hallar: a 6 8 ( 5 d b 9 ( ( 9 d (Sol: a /9 ; b / 85 (Septiembre- Fase Específica Dada la función: a Estudiar y obtener las asíntotas b Estudiar los intervalos de concavidad y conveidad c Representar gráficamente la función (Sol: a Asíntotas 5, y ; b 5, ; ( 5, f ( (Junio- a Calcular la integral 5 d b Hallar los valores mínimo y máimo absolutos de la función f ( (Sol: a 6/5 ; b Ma Abs (,, Min Abs (,, (, José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 6

17 87 (Junio- a Calcular el guiente límite: b Demostrar que la ecuación 5 m solo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m Justificar la respuesta indicando que teoremas se usan (Sol: a 88 (Junio- Dada la función: a f ( a Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un etremos relativo b Obtener las asíntotas de la gráfica de y f ( para a c Esbozar la gráfica de la función para a (Sol: a a ; b, y 89 (Sept- a Calcular los límites: b Calcular la integral d e ( y e ( c Hallar el dominio de definición de la función f ( 9 Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene derivada (Sol: a /, ; b ln 9 (Sept- Dada la función: en Justificar la respuesta (Sol: k = ; c, 7,, Derivable en 7, / e k f ( cos sen,, hallar el valor de k para que f sea continua 9 (Sept- a Hallar el área del recinto itado por la gráfica de f ( sen y el eje OX entre las abcisas y b Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f ( sen alrededor del eje OX entre las abcisas y (Sol: a ; b José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 7

18 9 (Junio- Hallar a, b y c de modo que la función: f ( a b c alcance en un máimo relativo de valor, y tenga en un punto de infleión (Sol: a = -9, b = 5, c = -5 9 (Junio- Calcular razonadamente las guientes integrales definidas: a e cos d / sen b d cos (Sol: a ( e 5 ; b 9 (Junio- Dadas las funciones: ln( f (, a Hallar el dominio de f ( y el f ( b Calcular g '( e g ( (ln, h( sen(, se pide: c Calcular, en el intervalo,, las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abcisas y las coordenadas de los etremos relativos de h ( (Sol: a D (,, Lim = ; b ; c Cortes: (,, (, ; ma, min 95 (Sept- Dada la función f A ( a Hallar el valor de A para que f ( sea continua Es derivable para ese valor de A? b Hallar los puntos en los que f '( c Hallar el máimo y el mínimo absoluto de ( f en el intervalo,8 (Sol: a A 8, no derivable ; b ( 5, ; c ( 5, ma abs; ( 8, min abs 96 (Sept- Dada la función f ( sen, se pide: a Determinar, justificando la respuesta, la ecuación f ( tiene alguna solución en el intervalo abierto ( /, b Calcular la integral de f en el intervalo, c Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de y f ( en el punto (, f ( Recuérdese que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto (Sol: a No tiene solución ; b ; c y ( José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 8

19 97 (Junio- Dada la función f ( ( a Hallar las asíntotas de su gráfica, se pide: b Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( en el punto de abcisa (Sol: a = AV; y=+6 AO ; b y 8 8( 98 (Junio- Calcular las guientes integrales: a d 9 b d (Sol: a ln( 9 arctg C ; b ln 8 99 (Junio- Dada la función f ( cos, se pide: a Determinar los etremos absolutos de f ( en, b Determinar los puntos de infleión de f ( en, c Calcular d / f ( (Sol: a ma abs; (Sept- Dada la función min abs ; b a Hallar las asíntotas de su gráfica PI ; c 7 f (, se pide: b Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de infleión c Esbozar la gráfica de la función 5 (Sol: a,, y ; b Decrece en su dominio; PI, (Sept- Dada la función f (, se pide: a Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en b Calcular f ( d (Sol: a y ; b José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális - 9

20 (Sept- Dada la función / f ( e, se pide: a Calcular f (, f ( y estudiar la eistencia de f ( b Esbozar la gráfica de y f ( determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( y sus asíntotas (Sol: a, No eiste; b Decrece empre, Asíntotas:, y (Junio- a Sea f : R R una función dos veces derivable Sabiendo que el punto de abcisa es un punto de infleión de la gráfica f ( y que la recta de ecuación y 6 6 es tangente a la gráfica de f ( en dicho punto Determinar: f (, f '( y f ''( b Determinar el área de la región acotada itada por la gráfica de la función g( y el eje OX (Sol: a -6, 6, ; b 56/5 (Junio- Calcular justificadamente: e sen ( a (Sol: a -/ ; b 5/ b (5 ( 6 ( ( 5 (Junio- Dada la función a ln( e f ( a Calcular f ( y f ( b Calcular el valor de a, para que f ( sea continua en todo R c Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ' donde sea poble (Sol: a ; ; b a= ; c No derivable en 6 (Sept- Dada la función f (, se pide: a Determinar el dominio de f y sus asíntotas b Calcular f '( y determinar los etremos relativos de f ( c Calcular f ( d (Sol: a R, D, =-, =-, y=; b f '( ( ( ; c (-,- maimo, (,/ minimo ; c 9nl-ln5+ José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

21 7 (Sept- Dada la función: 5sen f ( a e a Hallar, eiste, el valor de a para que f ( sea continua b Decir la función es derivable en para algún valor de a ln5 c Calcular la integral f ( d (Sol: a a= ; b No eiste ; c 8ln5-8 8 (Junio-5 Dada la función f ln( (, se pide: a Determinar el dominio de f y sus asíntotas b Calcular la recta tangente a la curva y f ( en c Calcular f ( d (Sol: a D (, (,, =-, =, y= ; b y ; c ln ln C sen 9 (Junio-5 Dada la función: f ( e a Estudiar la continuidad de f b Estudiar la derivabilidad de f y calcular f' donde sea poble c Calcular f ( d (Sol: a Continua en R ; b Derivable en R, co sen f ( ( e ; c e (Sept-5 a Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función: f ( b Demostrar que la ecuación tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud que la contenga (Sol: a Creciente en R ; b [-,] José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -

22 (Sept-5 a Calcular la integral definida ( e d b Calcular ( e y ( e (Sol: a e ; b, e (Sept-5 Dada la función a ln( f (, se pide: e a Calcular el valor de a para que f ( sea continua en todo R b Calcular f '( cuando sea poble c Calcular f ( d (Sol: a a ; b ln( f '( ; c e ( 5 e José Manuel del Toro wwwmatdeltorocom Anális -