+ 1= 0 té alguna arrel real (x en radians).

Transcripción

1 Generalitat de Cataluna Departament d Educació Institut d Educació Secundària Jaume Balmes Departament de Matemàtiques n BATX MA Eamen r quadrimestre Nom i Cognoms: Grup: Data: ) Calculeu els its següents: a) b) c) 9 6 e d) fi+ 5 + Ł+ 5 ł (4 punts) ) Raona si l'equació sin( ) té alguna arrel real ( en radians). Si la resposta és afirmativa, determina un interval d'amplitud menor que en el que es trobi una arrel. ( punts) + a si 0 f 4 + b 8 si > 0 a) Per a quins valors dels paràmetres a i b la funció és continua i derivable a tot R? b) Per aquests valors trobats epresseu la funció f ' (). (,5+0,5 punts) ) Donada la funció ( ) 4) Trobeu les rectes tangents a la gràfica de la funció paral leles a la recta r: Y+X0 8 que siguin ( punts) 5) Deriveu les funcions següents: cos( ) a) ( ) b) ln(sin( )) c) ( punts) + 6) Donada la funció a) Quin és el seu domini? b) Trobeu les seves asímptotes c) Trobeu els seus etrems relatius i les zones de creiement i decreiement. d) Feu un dibui aproimat de la seva gràfica. (0,5++,5+5 punts) Pàgina de

2 7) Volem construir una caia de 8 dm de capacitat, amb forma de prisma recte de base quadrada i sense tapa superior. Calculeu les dimensions de la caia perquè la superfície eterior sigui mínima. ( punts) 8) Calculeu les integrals següents: 5 e a) d 4 b) d 8 c) + 9 d + 8 d) arctan( d ) (4 punts) Pàgina de

3 Generalitat de Cataluna Departament d Educació Institut d Educació Secundària Jaume Balmes Departament de Matemàtiques n BATX MA Eamen r quadrimestre Nom i Cognoms: Grup: Data: ) Calculeu els its següents: a) b) c) 9 6 e d) fi+ 5 + Ł+ 5 ł (4 punts) a) també es pot fer per l'hôpital. 6( ) ( + ) 0 0 ( ) ( + + ) b) c) + l'hôpital + 0 i aiò és pot solucionar per comparació d'infinits o per e OPCIÓ I: n Com l'ordre de l'infinit e és major que l'ordre de les potències aleshores resulta que l'infinit del denominador es major que el del numerador per tant: e 0 + OPCIÓ II Si es vol solucionar per l'hôpital cal aplicar la regla varies vegades successivament: e e e e + + Solució Pàgina

4 5 + d) fi+ Ł + 5 ł + aií doncs anem a fabricar el it que ens dóna el nombre e lim fi fi+ Ł+ 5 ł fi+ Ł + 5 ł fi+ Ł + 5 ł Ø ø + + Œ + œ fi+ 5 fi+ 5 fi+ Ł + ł Ł + ł Œº Ł + 5 ł œß e e e 5 ) Raona si l'equació sin( ) té alguna arrel real ( en radians). Si la resposta és afirmativa, determina un interval d'amplitud menor que en el que es trobi una arrel. ( punts) Sigui f ( ) sin( ) + + és un funció: π / 0, contínua a l'interval [ ] f(0)>0 f π ( π / ) + π < 0 Aií doncs pel Teorema de Bolzano podem assegurar que eistei un ( π / 0, ) (.57,0) tal que f()0. f ) Donada la funció ( ) + a si b 8 si > 0 a) Per a quins valors dels paràmetres a i b la funció és continua i derivable a tot R? La funció és clarament contínua i derivable a R-{0}. Ara només imposar que també sigui contínua i derivable en 0 Per a que sigui contínua en 0 han de coincidir f(0)a lim f ( ) lim + a a 0 0 lim f( ) lim 4 + b Aií doncs la funció és contínua a tot R a 8 i la b pot agafar qualsevol valor. Però ara hem d'imposar que també sigui derivable en 0. Ja sabem quan val la derivada en tots els altres valors f ' ( ) si < 0 8+ b si > 0 ara hem d'imposar que sigui derivable en 0, per tant a més de ser contínua en 0 (a 8) també han de coincidir les dues derivades laterals: + f '( 0 ) i f'( 0 ) b b Aií doncs tenim que f() és contínua i derivable en tot R a 8 i b Solució Pàgina

5 b) Per aquests valors trobats epresseu la funció f ' (). si 0 f '( ) 8+ si > 0 (,5+0,5 punts) 4) Trobeu les rectes tangents a la gràfica de la funció paral leles a la recta r: Y+X0 8 que siguin Les rectes paral leles a r tenen pendent m i la seva equació és de la forma Y X+k on només cal determinar la constant k Però també sabem que si han de ser tangents a la corba f() aleshores el pendent d'aquesta recta ha de ser igual a el valor de la derivada en la coordenada del punt de tangència. Aií doncs podem trobar els punts de tangència imposant que f ' () 8 ( ) 4 ( ) ± 0 i 4 Aií doncs tenim dos punts de tangència que són: (0,f(0)) (0, 4) i (4,f(4))(4,4) Per tant les dues rectes tangents solucions són: la que passa pel punt (0, 4) i que és Y -+k k 4 la recta és Y 4 la que passa pel punt (4,4) i que és Y -+k k la recta és Y + ( punts) 5) Deriveu les funcions següents: cos( ) a) ( ) S'ha de fer per derivació logarítmica i resulta que a l'aplicar logaritmes als dos membres tenim: ( ) cos( ) ( ) ln( ) ln cos( ) ln ara derivant els dos membres: ' sin( ) ln( ) + cos( ) cos( ) cos( ) ' sin( ) ln( ) sin( ) ln( ) ( ) cos( ) + + b) ln(sin( )) és una aplicació directa de la regla de la cadena: ' cos( ) ln(sin( )) sin( ) / c) ( ) Solució Pàgina

6 i ara derivem el producte 6) Donada la funció a) Quin és el seu domini? Domini R-{0} ' ln( ) + + / / ( punts) b) Trobeu les seves asímptotes Una vertical en 0 ja que f( ) 0 0 i f( ) i a més podem saber que l'aspecte de la gràfica al seu voltant és el d'aquí a la dreta: Una inclinada (obliqua) que val per + i per : Y m +n f( ) + m lim lim lim lim n lim f ( ) m lim lim lim aquest its també valen per Aií doncs tenim que YX és asímptota tant per + com per c) Trobeu els seus etrems relatius i les zones de creiement i decreiement. Estudiem els signes de f'( ) 0 + f ( ) f'( ) Aií podem dir que la funció: Crei (, ) (, + ) Decrei ( 0, ) (,) 0. Recordeu que X0 és una asímptota. Té un màim local en el punt (, ) Té un mínim local en el punt (,) on Solució Pàgina 4

7 d) Feu un dibui aproimat de la seva gràfica. (0,5++,5+5 punts) Solució Pàgina 5

8 7) Volem construir una caia de 8 dm de capacitat, amb forma de prisma recte de base quadrada i sense tapa superior. Calculeu les dimensions de la caia perquè la superfície eterior sigui mínima. costat de la base alçada f (, ) + 4 ( punts) La funció a optimitzar de dues variables és però com tenim un condició que ens diu que el volum ha de ser 8 dm. Aleshores tenim que 8 8 i substituint tenim que la funció que hem de minimitzar d'una variable és: 8 f ( ) Ara calculem les seves derivades: f'( ) i f''( ) Aií doncs buscant els candidats a mínims imposem que 0 6 dm + 64 f'( ) 0 0 Ara per assegurar-nos que aquest candidat és un mínim substituïm a la a derivada: ( ) ( ) + 64 f ''( ) > per tant per aquest valor de tenim un mínim que és el 0 que buscàvem. Solució: El prisma de base quadrada buscat té dimensions: - Costat de la base - Alçada ( ) 6 dm dm Solució Pàgina 6

9 8) Calculeu les integrals següents: 5 e 5 5 a) d 5 e d e + k k R d d d 8 6 ( ) 8 + k 8 + k k R d + d b) ( 8 ) 6 ( 8 ) c) Aquesta és la integral d'un funció racional on el denominador té totes les arrels reals i simples: + 6 ( + )( ) per tant la funció racional es por descompondre en suma d'aquestes altres funcions racionals: + 9 A B + ( + )( ) + Sumant i igualant numeradors tenim: + 9 A ( ) + B ( + ) Substituint per certs valors tenim que: Si 55B B5 Si 0 5A A Aií doncs: d d d + d ( ) ( + ) 5 [ ln( + ) + 5ln( ) ] + k ln + k k R d) arctan( d ) Aquesta s'ha de solucionar per part du + 9 uarctan () dv d v d Aií doncs: arctan( d ) arctan( ) d arctan( ) d arctan( ) ln k k R ( ) (4 punts) Solució Pàgina 7