CÁLCULO DE PRIMITIVAS

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1 2 CÁLCULO DE PRIMITIVAS REFLEXIONA Y RESUELVE Concepto de primitiva NÚMEROS Y POTENCIAS SENCILLAS a) b) 2 c) 2 a) 2x b) x c) 3x 3 a) 7x b) c) x 4 a) 3x2 b) x2 c) 2x2 5 a) 6x 5 b) x5 c) 3x5 x POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO 6 a) ( )x 2 b) x 2 5 c) x 2 7 a) = x 3 2 b) x 3

2 8 a) (x 3) 3 5 b) (x 3) 3 LAS RAÍCES TAMBIÉN SON POTENCIAS 9 a) 3 x/2 2 3 b) x 2 0 a) x b) 7 x a) 3x 2x b) 5 2 a) x /2 2 b) 2 x 3 3 a) 2 x b) 5 x a) = 5x b) 7x 3 RECUERDAS QUE D(ln x) = /x? 5 a) x b) 5x 2

3 UNIDAD 2 6 a) x b) 2x + 6 ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 7 a) cos x b) 2 cos x 8 a) cos ( π x + ) 2 b) cos 2x 9 a) ( sen x) b) sen x 20 a) sen (x π) b) sen 2x 2 a) ( + tg2 2x) b) tg2 2x ALGUNAS EXPONENCIALES 22 a) e x b) e x + 23 a) e 2x b) e 2x + 3

4 . Calcula las siguientes integrales: a) 7x4 b) x 4 5x 2 + 3x 4 x c) d) x 4 5x 2 + 3x 4 x + e) f) g) h) 3 7x 4 5x 2 + 3x 4 x + 5x 3 5x 3 i) j) 3x x 2 x 3 5x 2 3 x 2 x 3 x 2 3x 4

5 UNIDAD 2 2. a) (3x 5 tg x) b) (5 cos x + 3 x ) c) (3 tg x 5 cos x) d) (0x 5 x ) 3 3. a) x 2 + 2x b) x 2 + x c) 2 x 2 + (x +) d) 2 x 2 + 5

6 . Calcula: a) cos 4 x sen x b) 2sen x cos x 2. Calcula: 5x x 4 + a) cotg x b). Calcula: x sen x 2. Calcula: x arc tg x 6

7 UNIDAD 2 3. Calcula: x 4 e x 4. Calcula: sen 2 x 3x. Calcula: 2 5x + x 4 7

8 2. Calcula: 3x 2 5x + 2x + 3. Calcula: 5x 3 x 3 x x 2 2x + 6 (x ) 3 a) b) 8

9 UNIDAD 2 4. Calcula: x a) x 2 2x + 8 x 4 4x 2 x b) 3 4x 2 + 4x x 4 2x 3 4x 2 + 8x 9

10 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Integrales casi inmediatas Calcula las siguientes integrales inmediatas: a) (4x2 5x + 7) b) c) d) 2x x (x sen x) 2 Resuelve estas integrales: a) (x2 + 4x) (x 2 ) b) (x )3 c) 3x d) (sen x + e x ) 0

11 UNIDAD 2 s3 Calcula las integrales siguientes: 3 x 2 a) b) 7 cos 2 x sen (x 4) c) d) (e x + 3e x ) s4 Halla estas integrales: 2 x x x + x 3 + x 2 a) b) c) d) x 2 5 Resuelve las siguientes integrales: a) b) c) (x 4)2 d) x 4 (x 4) 2 (x 4) 3

12 6 Halla las siguientes integrales del tipo exponencial: a) e x 4 b) e 2x + 9 c) e 5x d) (3x x 3 ) 7 Resuelve las siguientes integrales del tipo arco tangente: a) b) c) d) + 9x 4x 3 + 3x x 2 8 Expresa el integrando de las siguientes integrales de la forma: y resuélvelas: x 2 5x + 4 x + dividendo divisor = cociente + 2x 2 + 2x + 4 x + resto divisor x 3 3x 2 + x x 2 a) b) c) 2

13 UNIDAD 2 9 Halla estas integrales sabiendo que son del tipo arco seno: a) b) c) d) (*) 4x 2 4 x 2 e x e 2x (ln x) 2 Integrales de la forma f(x)n f'(x) 0 Resuelve las integrales siguientes: a) cos x sen3 x b) x (x 2 + 3) 5 3 (x +) 2 c) d) ln 3 x x 3

14 Resuelve las siguientes integrales: a) sen x cos x b) sen x cos 5 x 2x c) d) 9 x 2 x x Resuelve las siguientes integrales: x 2 2x a) (x ) b) ( + ln x) 2 ( + cos x) 3 c) d) sen x x arc sen x x 2 4

15 UNIDAD 2 Integración por partes s3 Aplica la integración por partes para resolver las siguientes integrales: a) x ln x b) xe2x c) 3x cos x d) x e) f) e x ln (2x ) arc tg x g) arc cos x h) x 2 ln x 5

16 6

17 UNIDAD 2 4 Resuelve las siguientes integrales aplicando dos veces la integración por partes: a) x2 sen x b) x2 e 2x c) e x sen x d) (x + )2 e x 7

18 8

19 UNIDAD 2 Integrales racionales 5 Aplica la descomposición en fracciones simples para resolver las siguientes integrales: 3x a) b) 3 x 2 + x 6 x 2 4 x 3 4x 2 25x + 00 c) d) 4 x 2 + x 2 e) f) x 3 2x 2 + x x 2 3x +2 x 2 + x 2 + x 6 x 2 2x 5 g) h) x 2 x 2 + 4x + 3 9

20 20

21 UNIDAD 2 6 Resuelve las siguientes integrales: 2x 4 (x ) 2 (x + 3) a) b) (x )(x + 3) 2 2x +3 (x 2)(x + 5) 3x 2 x 2 4 c) d) 2

22 22

23 UNIDAD 2 PARA RESOLVER 7 Resuelve las siguientes integrales: (x + 3) 5 3x 2 6x 2 a) x4 e x5 b) x sen x2 c) d) 8 Resuelve estas integrales: a) x 2 x b) x 3 sen x c) e x cos x d) x5 e x3 23

24 9 Calcula las integrales racionales siguientes: x + 2 x 2 + a) b) 2x 2 + 7x x 3 + x 2 x (x 2 ) 2 2x 2 + 5x x 3 + x 2 2x c) d) 24

25 UNIDAD 2 25

26 20 Para resolver la integral cos 3 x, hacemos: cos 3 x = cos x cos 2 x = cos x( sen 2 x) = = cos x cos x sen 2 x Así, la descomponemos en dos integrales inmediatas. Calcúlala. Resuelve, después, sen 3 x. 26

27 UNIDAD 2 s2 Calcula: x 2 x 2 x 4 + 2x 6 x 3 + x 2 2x a) b) 5x 2 x 3 3x 2 + 3x 2x 3 x 3 2x 2 9x + 8 c) d) 27

28 28

29 UNIDAD 2 22 Resuelve las integrales siguientes: ln x x a) b) x ln x c) d) sen (/x) e) f) x 2 arc tg x + x 2 sen x x + cos x + e x e x + x 2x 3 x + 2 sen x cos 4 x g) h) 29

30 23 Calcula las integrales indefinidas: sen x a) b) x ln x ln (x 3) c) d) ln (x2 + ) x e) (ln x)2 f) e x cos e x x 2 ( x) 2 + x g) h) 30

31 UNIDAD 2 3

32 s24 Resuelve: a) + e x En el numerador, suma y resta e x. x + 3 b) 9 x 2 Descomponla en suma de otras dos. 25 Resuelve por sustitución: x + a) x b) c) d) e) f) x x + a), c), d) Haz x + = t 2. b) Haz x = t 4. e), f) Haz x = t 2. x 4 x x + x x x + x + x 32

33 UNIDAD 2 33

34 26 Resuelve, utilizando un cambio de variable, estas integrales: a) x b) 2 e 3x e x e 2x + c) d) a) Haz x = sen t. e 2x 3e x + x 34

35 UNIDAD 2 35

36 s27 Encuentra la primitiva de f (x) = que se anula para x = x 28 Halla la función F para la que F'(x) = y F() = 2. x 2 29 De todas las primitivas de la función y = 4x 6, cuál de ellas toma el valor 4 para x =? 30 Halla f (x) sabiendo que f''(x) = 6x, f'(0) = y f (2) = 5. 3 Resuelve las siguientes integrales por sustitución: e x a) b) e x a) Haz e x = t. b) Haz e x = t. e x 36

37 UNIDAD 2 sen 32 Calcula. 2 x + cos x Multiplica el numerador y el denominador por cos x. 33 En el ejercicio resuelto de la página 344, se ha calculado la integral cos 2 x de dos formas: Aplicando fórmulas trigonométricas. Integrando por partes. Utiliza estos dos métodos para resolver: sen 2 x 37

38 s34 Encuentra una primitiva de la función f (x) = x 2 sen x cuyo valor para x = π sea 4. s35 Determina la función f (x) sabiendo que: f''(x) = x ln x, f'() = 0 y f (e) = e 4 f' f' 38

39 UNIDAD 2 s36 Calcula la expresión de una función f (x) tal que f'(x) = x e x2 y que f(0) =. 2 a s37 De una función y = f(x), x > sabemos que tiene por derivada y' = + x donde a es una constante. Determina la función si, además, sabemos que f(0) = y f() =. 39

40 s38 Dada la función f: Á 8 Á definida por f (x) = ln ( + x 2 ), halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas. ln ( + x 2 ) s39 Calcula a para que una primitiva de la función (ax 2 + x cos x + ) pase por (π, ). 40

41 UNIDAD 2 s40 Halla e ax (x 2 + bx + c) en función de los parámetros a, b y c. s4 Encuentra la función derivable f : [, ] 8 Á que cumple f () = y x 2 2x si Ì x < 0 f'(x) = e x si 0 Ì x Ì 4

42 s42 De una función derivable se sabe que pasa por el punto A(, 4) y que su 2 x si x Ì derivada es: f'(x) = /x si x > a) Halla la expresión de f (x). b) Obtén la ecuación de la recta tangente a f (x) en x = 2. 42

43 UNIDAD 2 s43 Calcula: a) x b) (3 + x ) c) x 2x d)

44 44

45 UNIDAD 2 44 Calcula. sen 2 x cos 2 x Utiliza la igualdad sen 2 x + cos 2 x =. 45 Calcula cos4 x utilizando la expresión: cos 2 cos 2x x = Resuelve: a) 4 x 2 b) 9 4x 2 a) Haz x = 2 sen t. b) Haz x = 3/2 sen t. 45

46 47 Halla una primitiva F(x) de la función f (x) = 2x tal que F(x) Ì 0 en el intervalo [ 2, 2]. 46

47 UNIDAD 2 48 Busca una primitva F(x) de la función f (x) = 2x 4 que verifique F(x) Ó 0 en el intervalo [0, 4]. 49 Halla f(x) sabiendo que: x f''(x) = cos, f'(2π) = 0 y f(0) = 2 50 a) Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquiera de sus puntos viene dada por la función: x 2 f(x) = 2x b) Determina, de esa familia, la curva que pasa por el punto A,. 2 4 ( ) 47

48 5 Calcula la función f(x) sabiendo que f''(x) = x, que la gráfica de f pasa por el punto P(, ) y que la tangente en P es paralela a la recta de ecuación 3x + 3y = 0. CUESTIONES TEÓRICAS s52 Prueba que si F (x) es una primitiva de f (x) y C un número real cualquiera, la función F(x) + C es también una primitiva de f (x). 53 a) Representa tres primitivas de la función f cuya gráfica es la siguiente: 2 f b) Representa tres primitivas de la siguiente función: 2 f 48

49 UNIDAD 2 54 Sabes que una primitiva de la función f (x) = es F (x) = ln x. Por qué x se toma el valor absoluto de x? 55 En una integral hacemos el cambio de variable e x = t. Cuál es la expresión de en función de t? 56 Comprueba que = ln sec x + tg x + k cos x 49

50 57 Comprueba que = ln tg x + k sen x cos x 58 Sin utilizar cálculo de derivadas, prueba que: x 4 F (x) = y G(x) = + x 4 + x 4 son dos primitivas de una misma función. 59 Sean f y g dos funciones continuas y derivables que se diferencian en una constante. Podemos asegurar que f y g tienen una misma primitiva? 50

51 UNIDAD 2 60 Calcula f (x) sabiendo que: f (x) = ln + x 3 (x +2) 2 c 6 Las integrales: (arc tg x) 2 y (tg3 x + tg 5 x) + x 2 son del tipo f (x)n f'(x)? En caso afirmativo, identifica, en cada una de ellas, f (x), n y f'(x). PARA PROFUNDIZAR 62 Para integrar una función cuyo denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales, distinguiremos dos casos: a) Si el numerador es constante, transformamos el denominador para obtener un binomio al cuadrado. La solución será un arco tangente: x 2 + 4x + 5 = (x + 2) 2 + (Completa la resolución). 5

52 b) Si el numerador es de primer grado, se descompone en un logaritmo neperiano y un arco tangente: (x + 5) = = x 2 + 2x x 2 + 2x +3 2x + 2 (Completa su resolución). 2x + 0 = + 2 x x +3 8 x 2 + 2x Observa cómo se resuelve esta integral: x + I = x 3 + 2x 2 + 3x x 3 + 2x 2 + 3x = x (x 2 + 2x + 3) x + A Bx + C La fracción se descompone así: = + x 3 + 2x 2 + 3x x x 2 + 2x + 3 Obtenemos: A =, B =, C = x Sustituimos: I = 3 x 3 x 2 + 2x + 3 (Completa su resolución). 52

53 UNIDAD 2 64 Resuelve las siguientes integrales: 2x x 3 + x a) b) x 2 + 3x + 8 x c) d) 2 e) f) x 2 + 3x + 4 x 3 + 2x + 0 x 2 + x + e) Multiplica el numerador y el denominador por 4. (x + ) 2 (x 2 + ) 53

54 54

55 UNIDAD 2 55

56 65 Se llama ecuación diferencial de primer orden a una ecuación en la que, además de x e y, figura también y'. Resolverla es buscar una función y = f (x) que verifique la ecuación. Por ejemplo, resolvamos x y 2 + y' = 0: y' = x y 2 dy 8 = x y 2 8 dy = x y 2 Separamos las variables: dy dy ( x) y 2 y 2 = x 8 = x 2 = + k 8 y = y 2 2 x 2 2k Hay infinitas soluciones. Busca la que pasa por el punto (0, 2) y comprueba que la curva que obtienes verifica la ecuación propuesta. 66 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden: a) yy' x = 0 b) y 2 y' x 2 = c) y' x y = 0 d) y' x y = 0 e) y' e y + = e x f) x 2 y' + y 2 + = 0 En todas ellas, al despejar y' se obtiene en el segundo miembro el producto o el cociente de dos funciones, cada una de ellas con una sola variable. 56

57 UNIDAD 2 57

58 AUTOEVALUACIÓN Resuelve las integrales siguientes:. (cos x + tg x) ( 2 x 2. + x x ) 3 3. x 2x 2 + tg 4. 2 x cos 2 x 5. x arc tg x 58

59 UNIDAD 2 6. sen (ln x) x x 7. x 2 + 4x x x 9. Resuelve, por el método de sustitución, la integral: + x 59

60 0. Aplica la integración por partes para calcular cos (ln x).. De la función f(x), se sabe que: 3 f'(x) = ; f (2) = 0 (x + ) 2 a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, ). 60

61 UNIDAD 2 2. De una función f derivable en Á, sabemos que: 2x si x < 0 f'(x) = si x Ó 0 Halla f sabiendo que f() = Cuáles de los siguientes apartados representan la gráfica de una función f(x) y la de una de sus primitivas F(x)? Justifica tu respuesta. a) Y b) Y X X c) Y d) Y X X 6