UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Ingeniería Informática Examen de Investigación Operativa 21 de enero de 2009

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Francisco Javier Venegas Pinto
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1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Ingenería Informátca Examen de Investgacón Operatva 2 de enero de 2009 PROBLEMA. (3 puntos) En Murca, junto al río Segura, exsten tres plantas ndustrales: P, P2 y P3. Todas producen dos tpos de resduos contamnantes: C y C2. S se procesan los resduos, se puede dsmnur la contamnacón. Semanalmente, los vertdos (en toneladas) aparecen reflejados en la sguente tabla: C C2 P P P Por delto ecológco, cada tonelada no procesada de C tene una multa de 30 euros y cada tonelada de C2 sn procesar se penalza con 40 euros. Cada planta dspone de sus propos equpos de procesamento de resduos, ya que cada planta sólo puede procesar resduos generados por ella msma. Dependendo de las característcas de dchos equpos, procesar una tonelada de resduos tene un coste dferente, y tambén necesta un tempo dferente para el procesado. Los costes y tempos de procesado aparecen reflejados en las sguentes tablas: Costes (en euros) de procesar una tonelada de resduos C C2 equpo P 7 equpo P2 4 6 equpo P3 Tempos (en horas) de procesar una tonelada de resduos C C2 equpo P 6 0 equpo P2 4 equpo P3 8 7 Los equpos de cada planta pueden procesar resduos durante las ventcuatro horas del día, todos los días de la semana. Las plantas dsponen de, 2 y 3 equpos de procesamento de resduos, respectvamente. a) ( punto) Escrbe un modelo de programacón lneal que permta establecer cuál es la polítca de procesamento que mnmza el coste total. b) ( punto) Escrbe el modelo anteror en forma estándar y encuentra una polítca de procesamento ncal (solucón básca factble). c) ( punto) A partr de la solucón anteror, realza una teracón del método Smplex para encontrar una polítca de procesamento mejor. Solucón. a) Las varables de decsón (contnuas) son: =, 2, 3, j =, 2. x j = toneladas de resduo contamnante j que se procesan semanalmente en la planta, Para defnr la funcón objetvo hay que evaluar el coste (en euros por semana) total dervado de la polítca de procesamento determnada por las varables de decsón anterores: Coste de procesamento: x + 7x 2 + 4x 2 + 6x 22 + x 3 + x 32, 3 Multas por vertdo de contamnantes al río: 30(60 x ) + 40(0 Las restrccones son: = 3 x 2 ) Límtes de procesamento de contamnante en cada planta, dados por la cantdad de cada contamnante que se produce semanalmente: x 80, x 2 60, x 2 30, x 22 0, x 3 0, x Límtes de procesamento de contamnante en cada planta, dados por la capacdad semanal de procesamento de cada contamnante en cada planta. Prevamente, debemos de calcular dchas capacdades, que dependen del número de horas semanales que trabajan los equpos (7 24) y de cuántos equpos se dsponga: = 6x + 0x () 4x 2 + x (2) 8x 3 + 7x (3)

Semanalmente, los vertdos (en toneladas) aparecen reflejados en la sguente tabla: C C2 P 80 60 P2 30 0 P3 0 40 Por delto ecológco, cada tonelada no procesada de C tene una multa de 30 euros y cada

2 Condcones de no negatvdad: x j 0, para todo =, 2, 3, j =, 2. b) Añadendo 9 varables de holgura, el modelo anteror en forma estándar es: mnmzar x 33x 2 26x 2 34x 22 2x 3 3x 32 sujeto a x + s = 80 x 2 + s 2 = 60 x 2 + s 3 = 30 x 22 + s 4 = 0 x 3 + s = 0 x 32 + s 6 = 40 6x + 0x 2 + s 7 = 840 4x 2 + x 22 + s 8 = 336 8x 3 + 7x 32 + s 9 = 04 x, s 0. Un vértce ncal para este modelo será (tomando como varables báscas las de holgura): (x, s) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 80, 60, 30, 0, 0, 40, 840, 336, 04), es decr, no procesar vertdo alguno, lo que conlleva una multa de 0800 euros. c) El vértce ncal no es óptmo ya que σ N = ( 2, 33, 26, 34, 2, 3). Iterando el Smplex una vez se obtene el punto (x, s) = (0, 0, 0, 0, 0, 40, 80, 60, 30, 0, 0, 0, 840, 336, 224), que se obtene al entrar x 32 en la base con valor x 32 = 40 = mín{40, 04 7 }, y salr s 6. El coste dervado de esta nueva solucón es de = 9400, menor que el anteror aunque no es la polítca óptma de procesamento. 2

32 + s 6 = 40 6x + 0x 2 + s 7 = 840 4x 2 + x 22 + s 8 = 336 8x 3 + 7x 32 + s 9 = 04 x, s 0.

3 PROBLEMA 2. (2. puntos) Una cadena de hpermercados se plantea abrr hasta 4 nuevos centros en 4 cudades: C, C2, C3, y C4. Cada posble centro puede ser construdo con 3 dstntos tamaños: pequeño (A), medano (B), y grande (C). A contnuacón se muestra una tabla que contene los costes de construccón de cada centro en funcón de su tamaño y el benefco medo esperado de cada centro (tras 3 años de funconamento). Tanto los costes como los benefcos están en mllones de euros. Coste Benefco C C2 C3 C4 C C2 C3 C4 A A B B C C La compañía tene un presupuesto total de 00 mllones de euros para construr un máxmo de 4 centros. a) ( punto) Formula un problema de programacón entera que ayude a la compañía a decdr qué centros construye y de qué tamaño. b) (0. puntos) Qué restrccón hay que añadr al problema anteror s necesaramente tene que haber un hpermercado en la cudad C2? c) (0. puntos) Cómo modelarías la sguente restrccón? Solamente s se construye un hpermercado de tamaño pequeño en la cudad C4 se puede construr un hpermercado de tamaño pequeño en las cudades C, C2 y C3. d) (0. puntos) Y esta restrccón? En total, no puede haber más de dos tpos de tamaño construdos. Solucón. a) Denotanto el conjunto de tamaños por {A, B, C}, y el conjunto de cudades por j {C, C2, C3, C4}, el problema es: maxmzar b j x j sujeto a j c j x j 00 j x j j x {0, }, donde x j es la varable de decsón bnara que vale s el tamaño es usado en la cudad j, b denota los benefcos y c denota los costes. b) x 2 =. c) Posble restrccón: x + x 2 + x 3 3x 4. Otra posble restrccón: x x 4, x 2 x 4, x 3 x 4. d) Hay que ntroducr las varables bnaras y = s se usa el tamaño. Entonces, y 2 junto con j x j 4y para todo. 3

A contnuacón se muestra una tabla que contene los costes de construccón de cada centro en funcón de su tamaño y el benefco medo esperado de cada centro (tras 3 años de funconamento).

4 PROBLEMA 3. (2 puntos) En su últmo día de estanca en la cudad, un tursta sale de su hotel (nodo ) rumbo a la estacón de tren (nodo 0). Su dea es llegar a la estacón cuanto antes. Sn embargo, quere todavía vstar una estatua que se encuentra en la plaza dada por el nodo 2 y hacer unas últmas compras en la calle dada por el arco (,8). Escrbe un modelo de programacón matemátca que le permta determnar qué ruta segur para llegar a la estacón lo más pronto posble y cumplr con el tempo en mnutos necesaro para recorrer la calle que representa. Aparte de sus objetvos. En el grafo, aparece sobre cada arco el tempo en mnutos necesaro para recorrer la calle que representa. hallar la ruta óptma, debe formularse explíctamente el modelo resuelto Observa que hay algunos arcos de doble sentdo. Observa que hay algunos arcos de doble sentdo. No hace falta encontrar la solucón del problema Solucón. Sobre la base de la formulacón del problema del camno mínmo como un problema de programacón lneal, hay que añadr las sguentes restrccones: Quere vstar una estatua que se encuentra en la plaza dada por el nodo 2: x 2 + x 32 + x 42 (entra en la plaza al menos vez). Tambén pueden forzar a que, al menos, salga una vez (la restrccón de conservacón de flujo en el nodo 2 oblga a que entre y salga el msmo número de veces). Quere hacer unas últmas compras en la calle dada por el arco (,8): x 8 = Para defnr el problema del camno mínmo: mín s.a (,j) E c jx j Ax = b x j {0, }, (, j) E donde G = (N, E) es el grafo del problema, sendo E el conjunto de arcos del msmo y c j el tempo en mnutos necesaro para recorrer la calle que representa el arco (, j). Cuando el arco es de doble sentdo c j = c j. Y sendo A la matrz de ncdenca del grafo, y b el vector b t = (, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ). 4

Escrbe un modelo de programacón matemátca que le permta determnar qué ruta segur para llegar a la estacón lo más pronto posble y cumplr con el tempo en mnutos necesaro para recorrer la calle que

5 PROBLEMA 4. (2. puntos) Eres el encarado de admnstrar un gran complejo de cnes llamados Cnema I, II, III y IV. Cada uno de los cuatro cnes proyecta una película dferente. Además, para evtar aglomeracones, el programa de proyeccón evta que las cuatro películas comencen a la msma hora. El complejo tene una sola taqulla y un solo cajero que atende a razón de 280 clentes cada hora. Se supone que los tempos de servco sguen una dstrbucón exponencal. Los clentes llegan al complejo según una dstrbucón de Posson a razón de 20 clentes cada hora. a) (0. puntos) Calcula el numero medo de clentes esperando en la cola de la taqulla para adqurr una entrada. b) (0. puntos) Qué porcentaje del tempo está ocupado el cajero? c) (0. puntos) Cuál es el tempo medo que dedca un clente para consegur una entrada? d) (0. puntos) Cuál es el tempo medo que dedca un clente esperando en la cola de la taqulla? e) (0. puntos) Cuál es la probabldad de que haya más de dos personas en la cola? Puedes ayudarte de alguna de las fórmulas sguentes: p 0 p n L M/M/ ρ ρ n ρ p 0 ρ M/M/s M/M//K (ρ ) s n=0 n! + (λ/µ)s s! ρ M/M//K (ρ = ) K+ n! p 0 ; n s (λ/µ) s p 0ρ s!( ρ) 2 + λ µ s!s p n s 0 ; n > s ρ ρ n ρ( (K+)ρ p K +Kρ K+ ) ρ K+ 0 ( ρ)( ρ K+ ) K+ K 2 Solucón. El sstema es un M/M/ con parámetros λ = 20 y µ = 280. Esto mplca ρ = 0.7. a) El promedo de clentes en la cola es L q = ρ2 ρ = 2.2. b) El porcentaje de tempo que el cajero está ocupado es ρ = 7 %. c) El tempo medo que un clente dedca a consegur una entrada es W = µ( ρ) = =.43sec d) El tempo medo que un clente pasa en la cola es W q = ρw = = 38.7sec. e) La probabldad de que haya más de 2 personas en la cola es gual a la probabldad de que haya más de 3 personas en el sstema (cola+taqulla). Es decr P {N > 3} = (p 0 + p + p 2 + p 3 ) = ( ρ)( + ρ + ρ 2 + ρ 3 ) = ( ρ 4 ) = ρ 4 = 3.64 %.

El complejo tene una sola taqulla y un solo cajero que atende a razón de 280 clentes cada hora. Se supone que los tempos de servco sguen una dstrbucón exponencal.

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