Preliminares. 1. Notación simbólica. Conjuntos. También se da en el curso de Conjuntos y Numeros.

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1 CAPíTULO 1 Preliminares 1. Notación simbólica. Conjuntos. También se da en el curso de Conjuntos y Numeros. El método matemático es axiomático y deductivo: a partir de unos principios aceptados inicialmente (axiomas) se deducen consecuencias no siempre evidentes. Cuando el cumplimiento de una propiedad p implique, necesariamente, el cumplimiento de una propiedad q escribiremos p q (p implica q). Esto quiere decir que siempre que p sea cierto, también lo es q, por tanto una condición suficiente para que q sea cierto es que p sea cierto (ahora bien, q puede ser cierto sin que p los sea). Observemos que si p q, para que p sea valido, tiene que serlo q, es decir, q es una condición necesaria para que se dé p. Ejemplo 1.1. Sean p la propiedades x es un múltiplo de 6 y q la propiedad x es un número par. Evidentemente, todo múltiplo de 6 es par, por tanto p q. Una condición necesaria para ser múltiplo de 6 es par; una condición suficiente para ser par es ser múltiplo de 6. Sin embargo q p ya que, aunque hay casos en que p y q son simultáneamente ciertas o falsos, hay casos en que q es cierto y p falso (por ejemplo, si x = 2, q es cierto pero p es falso). Si p q y q p, escribiremos p q. Diremos que p es cierto si y sólo si q es cierto o también que p y q son afirmaciones equivalentes (o que una condición necesaria y suficiente para que se cumple q es que se cumple p). Ejemplo 1.2. p: x es un número par ; q: x + 1 es un número impar. Evidentemente p q y q p y por lo tanto p q. Como norma general, a la hora de demostrar que p q, lo vamos a ver no como una proposición sino como una combinación de dos proposiciones p q y q p. Por lo tanto, la demostración de que p q va estar normalmente consistir de dos demostraciones separadas: primero vamos a demostrar que p implica a q y después que q implica a p. Solamente en casos triviales se demuestra directamente que p equivale a q. Con objeto de simplificar la escritura utilizaremos los símbolos ( para todo ) y ( existe ). Definición 1.1. Un conjunto es una colección de objetos definida de forma precisa de modo que, dado cualquier objeto siempre es posible determinar si dicho objeto está o no en el conjunto. Los objetos que están en un conjunto se llaman 1

2 2 1. PRELIMINARES elementos del conjunto. A los conjuntos los vamos a denotar por letras mayúsculas y a los elementos por letras minúsculas. Si A es un conjunto y a es un elemento de A escribiremos a A (a pertenece a A). En caso contrario, escribiremos a A. Un conjunto A puede definirse enumerando sus elementos o a través de alguna propiedad que caracterice, exactamente, sus elementos. Ejemplo 1.3. Ejemplos de conjuntos: 1. A = {1,2,3,4} 2. A = {x x es un numero natural, x 2}. 3. conjunto vacío 4. N = {1,2,3,4,...}-números naturales,q-números racionales, R-números reales. Definición 1.2. Diremos que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si A y B son dos conjuntos y todo elemento de A pertenece a B diremos que A es un subconjunto de B y lo escribimos A B. Ejemplo 1.4. N Z Q R. Definición 1.3. Sean A y B dos conjuntos. 1. Se llama unión de A y B al conjunto formado por los elementos de A ó B. Se denota A B. Es decir, A B = {x x A ó x B}. 2. Se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que están en A y B. Se denota A B. Es decir, A B = {x x A y x B}. Ejercicio 1.1. Sean A, B y C conjuntos. Demostrar que 1. A (B C) = (A B) (A C). 2. A (B C) = (A B) (A C). Definición 1.4. Sean A y B dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de A y B al conjunto de pares: A B = {(a,b) a A,b B}. En general, si A 1,...,A n son n conjuntos se llama producto cartesiano de A 1,...,A n al conjunto A 1 A n = {(a 1,...,a n ) a 1 A 1,...,a n A n }. 2. Aplicaciones También se da en el curso de Conjuntos y Numeros. Definición 1.5. Sean A y B dos subconjuntos. Una aplicación de A en B es una regla o criterio preciso que permite asignar a cada elemento de A un elemento de B. Si f es una función de A en B escribiremos f : A B.

3 2. APLICACIONES 3 Ejemplo Sean A = {1,2,3} y B = {0,1}. Asignamos a 1 y 3 el elemento 1 B y a 2 el elemento 0 B. 2. A = B = Q. La regla que asigna a cada elemento de Q su cuadrado es una función de Q a Q. 3. A = B = N. La regla que asigna a cada elemento de N su raíz cuadrada no es una función de N en N. Sea f : A B una función y a A. f asigna al elemento a un elemento en B bien definido. Denotaremos este elemento mediante f(a) (imagen de a por f). El dominio de f es el conjunto A y codominio el conjunto B. Se considera que dos funciones f y g son iguales cuando tienen igual dominio y codominio y f(x) = g(x) para todo x elemento del dominio. Ejemplo 1.6. Estas dos funciones son distintas f : N N g : R R x x 2 x x 2. Definición 1.6. Sea f : A B una aplicación. 1. Si A 1 A se define el conjunto imagen de A 1 y se denota f(a 1 ) a f(a 1 ) = {f(a) a A 1 }. Como caso particular se define Im f = f(a) = {f(a) a A}. Observemos que por definición de aplicación, si a A el conjunto imagen de {a} tiene un elemento que es f(a). 2. Si B 1 B se define el conjunto imagen inversa de B 1 y se denota f 1 (B 1 ) a: f 1 (B 1 ) = {a A f(a) B 1 } o sea, los elementos de A cuyas imágenes son elementos de B 1. Como caso particular, si b B se define el conjunto imagen inversa de b y se denota f 1 (b) a: f 1 (b) = f 1 ({b}). Observemos que de la definición de aplicación se deduce que f 1 (B) = A y f 1 (Im f) = A. Definición 1.7. Sea f : A B una aplicación. 1. Diremos que f es inyectiva si se verifica: si a 1,a 2 A y f(a 1 ) = f(a 2 ), entonces a 1 = a Diremos que f es sobreyectiva si Im f = B. Dado que siempre Imf B lo anterior es equivalente a que B Im f o sea, si b B, entonces existe a A tal que f(a) = b. 3. Diremos que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo Sea f : R R tal que f(x) = 2x+1. Entonces f es una aplicación biyectiva. 2. Sea f : R R tal que f(x) = x 2. Entonces f es una aplicación que no es inyectiva ni sobreyectiva. 3. Sea f : R R 0 tal que f(x) = x 2. Entonces f es una aplicación sobreyectiva pero no inyectiva.

4 4 1. PRELIMINARES 4. Sea f : R 0 R tal que f(x) = x 2. Entonces f es una aplicación inyectiva pero no sobreyectiva. Definición 1.8. Sea f : A B una aplicación biyectiva. Entonces es trivial que f 1 : B A, definida mediante f 1 (b) = a donde a es el único elemento de A con f(a) = b, es un aplicación biyectiva. A f 1 se le llama aplicación inversa de f. No hay que confundir la aplicación inversa de una aplicación biyectiva con el conjunto imagen inversa que está definido para cualquier subconjunto del codominio de una aplicación. Definición 1.9. Seaf : A B una aplicación y A 1 A. Entonces f A1 : A 1 B tal que f A1 (a 1 ) = f(a 1 ) para todo a 1 A 1 es una aplicación que se denomina aplicación f restringida a A 1. Definición Sean f : A B y g : B C dos aplicaciones (observemos que el codominio de f coincide con el dominio de g). Entonces, g f : A C, donde (g f)(a) = g(f(a)) para todo a A, es una aplicación que recibe el nombre de aplicación composición de g con f. 3. Estructuras algebraicas En esta sección introduciremos un formalismo algebraico. Este formalismo permite destacar propiedades algebraicas importantes y agrupar distintas estructuras en familias similares. Definición Sea A un conjunto. Una operación binaria en A es una aplicación de A A en A, es decir, es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de A otro elemento de A. Si f : A A A es una operación en A y a,b A escribiremos a b en lugar de f((a,b)) (También podemos utilizar otros símbolos en lugar de como + ó ). Diremos que a b es el resultado de operar a y b según la operación. Ejemplo Suma y multiplicación en N y R. 2. x + y, x 2 y en R. 3. Multiplicación de matrices 2 por 2. No todas las operaciones que pueden definirse sobre un conjunto tienen la misma importancia. Para que una operación tenga un cierto interés debe cumplir alguna propiedad como los que definimos a continuación. Definición Sea una operación en un conjunto A. 1. Se dice que es asociativa si para todos a, b y c pertenecientes a A, a (b c) = (a b) c. 2. Se dice que posee un elemento neutro si existe un elemento e A tal que para cualquier a A, a e = e a.

5 3. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 5 3. Sea una operación en A que posee elemento neutro e A. Se dice que un elemento a A es inversible respecto de la operación si existe b A tal que a b = b a = e. 4. Se dice que es conmutativa si para todos a y b pertenecientes a A, a b = b a. Ejemplo Suma y multiplicación en N y R. 2. x + y, x 2 y en R. 3. Multiplicación de matrices 2 por 2. Definición Un grupo es un conjunto con una operación asociativa, con elemento neutro, en el que todo elemento es inversible. Un grupo en el que la operación definida es conmutativa se denomina grupo abeliano. Ejemplo a) (Z,+), (R,+), (Q,+), (R \ 0, ) son grupos abelianos. b) Sea A = {1,2,...,n}. Consideremos el conjunto Σ A = {f : A A f es biyectiva }, es decir, Σ A es el conjunto cuyos elementos son las aplicaciones biyectivas de A en A. Sea (G, ) un grupo. Denotaremos en adelante la operación por uno de los símbolos + o. En el primer caso, diremos que G es un grupo denotado aditivamente y en el segundo multiplicativamente. Si usaremos notación aditiva, es costumbre denotar el elemento neutro mediante el símbolo 0 y el elemento inverso de un elemento a G por a. La notación aditiva la vamos a usar para los grupos abelianos. Por el contrario, si utilizaremos notación multiplicativa, denotaremos el elemento neutro por 1 y el inverso de un elemento a G por a 1. Definición Un subgrupo H de G es un subconjunto no vacío H G tal que xy H para todos x,y H y x 1 H para todo x H. Ejemplo Z es un subgrupo de (Q,+). N no es un subgrupo de (Q,+). Definición Un anillo es un conjunto R junto con dos operaciones + y que verifican las siguientes condiciones: 1. (R, +) es un grupo abeliano; 2. es una operación asociativa; 3. la operación es distributiva con respecto a +, es decir, x, y,z R, se cumplen (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy. Si la operación es conmutativa, el anillo se llama conmutativo. Se dice que un anillo es unitario si la operación posee un elemento neutro. Normalmente usamos 1 ó 1 R para el elemento neutro. El elemento neutro con respecto a la suma se denota 0 R ó 0 si está claro de que anillo se trata.

6 6 1. PRELIMINARES Ejemplo a) (Z,+, ), (R,+, ), (Q,+, ) son anillos conmutativos y unitarios. b) M 2 2 (R) con operaciones habituales de suma y producto de matrices es un anillo unitario (no conmutativo). Definición Sea R un anillo unitario. Digamos que r es una unidad o un elemento inversible si existe un elemento s R tal que rs = sr = 1. El conjunto de unidades de R lo denotamos por U(R). Lema 1.1. Sea R un anillo unitario. El conjunto U(R) es un grupo con respecto a la multiplicación. Demostración. El elemento neutro de U(R) es 1 R. La asociatividad de es consecuencia de la asociatividad de la multiplicación en R. Por eso nos queda demostrar solamente la existencia de un inverso para cualquier elemento de U(R). Pero esto se sigue de la definición de unidad: si r R, entonces existe s R tal que sr = rs = 1. Evidentemente s U(R) y s = r 1. Ejemplo Las unidades de Z son 1 y La unidades de Q son todos los elementos distintos de cero. Definición Un cuerpo es un anillo conmutativo y unitario (no trivial) K tal que U(K) = K \ {0} = K. Ejemplo Q, R y C son cuerpos. Z no es un cuerpo. 4. El cuerpo de los números complejos La ecuación x 2 +1 no tiene soluciones en R. Nos planteamos construir un cuerpo que contenga a R y en el que esta ecuación tenga solución. Definición Un número complejo es una expresión de la forma a + bi con a,b R. Consideraremos que dos números complejos a+bi y a +b i son iguales cuando a = a y b = b. Si z = a + bi es un número complejo, diremos que a es la parte real de z y b la parte imaginaria. Denotaremos estos números mediante Rz y Iz. Denotaremos por C el conjunto de todos los números conjuntos, es decir C = {a + bi a,b R}. Los elementos de C se pueden representar en un plano (lo vamos a llamar plano complejo) identificando el número complejo z = a + bi con el punto (a,b). Representamos z = a + bi mediante el segmento orientado que une el origen (0,0) con el punto (a,b). Si z = a + bi y a = 0 escribiremos simplemente z = bi y si b = 0. escribiremos z = a. Consideremos en este caso, que z es un número real de modo que podemos escribir R C. A continuación definimos en C dos operaciones, que llamaremos suma y producto de numeros complejos, + y de forma que (C,+, ) es un cuerpo e i es solución de la ecuación x

7 4. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 7 Definición La suma de dos números complejos a + bi y c + di es (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i y el producto es (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. Proposición 1.2. (C, +, ) es un cuerpo. Demostración. Comprobar los axiomas de cuerpo. Observemos que i 2 = (0 + 1i)(0 + 1i) = 1, es decir, i es una solución de la ecuación x = 0. Definición Sea z = a+bi C. Se llama número complejo conjugado de z, y se denota z, el número complejo z = a bi. Proposición 1.3. Se verifican las siguientes igualdades: 1. z,z C, z + z = z + z ; 2. z,z C, zz = z z ; 3. z C, z = z; 4. si z C, z = z si y sólo si z R. Definición Sea z C. Se llama módulo de z al número real z = z z Si representamos z en el plano complejo, z representa la longitud del número complejo z. Los principales propiedades del módulo de los números complejos son las siguientes: Proposición z 0, z = 0 si y sólo si z = 0; 2. z,z C, zz = z z ; 3. z,z C, z + z z + z. Demostración. 1. Evidente. 2. zz 2 = zz (zz ) = zz zz = z 2 z z + z 2 = z 2 + zz + zz + z 2 = z 2 + 2R(zz ) + z 2 z zz + z 2 Luego, z + z z + z. z z z + z 2 ( z + z ) 2. Definición Sea z C \ 0. Se llama argumento de z el ángulo formado por el número complejo z y el semieje positivo de abscisas. Si z C\0 es el número complejo de módulo r > 0 y argumento α, escribiremos z = r α y diremos que ésta es la forma polar de z. Si z = a + bi, r = z = a 2 + b 2, α = arc tg b a. Por otro lado, r α = r cos α + ir sin α. Ejemplo (1 + i) = ( 2) π/4, i = 1 π/2.

8 8 1. PRELIMINARES Observemos que r α = r α si y sólo si r = r y α β = 2kπ. Proposición Sean z = r α y z = r β forma polar. Entonces zz = (rr ) α+β. 2. Sea z = r α. Entonces z n = (r n ) nα. 3. Sea z = r α. Entonces z 1 = (r 1 ) α. dos números escritos en Definición Sea z C y n N. Una raíz n-ésima de z es un número complejo w C tal que w n = z. Ejercicio 1.2. Sea 0 z C y n N. Entonces z posee, exactamente, n-raíces n-ésimas. 5. Ejercicios Ejercicio 1.3. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos tienen estructura de grupo con las operaciones indicadas: 1. El conjunto de los números enteros pares, con la suma o el producto. 2. El conjunto de los números enteros impares, con la suma o el producto. 3. El conjunto [0,1] con el producto. 4. El conjunto (0,+ ) con el producto. 5. Z, con la siguiente operación : n m = n + m Z, con la siguiente operación : n m = n m. 7. El conjunto de las raíces n-ésimas de la unidad en C, con la suma o el producto. Ejercicio 1.4. Determinar si los siguientes conjuntos tienen estructura de anillo o cuerpo con las operaciones dadas: 1. El conjunto A = {0,1} con las operaciones + y siguientes: = = 0,1 + 0 = = 1,1 1 = 1,1 0 = 0 1 = 0 0 = A = {n + 2m n, m Z} con la suma y el producto. 3. A = {n + 2m n, m Q} con la suma y el producto. Ejercicio 1.5. Hallar las estructuras que tienen los siguientes conjuntos con las operaciones ordinarias de suma o/y producto. 1. A = {z C z = 1}. 2. B = {z C z 1}. 3. Z[i] = {n + mi n, m Z}. 4. Q(i) = {n + mi n, m Q}. ( ) a b 5. C = { a,b R,ab 0}. b a ( ) a b 6. D = { a,b R,ab 0}. b a ( ) a b 7. E = { a,b R}. 0 1

9 5. EJERCICIOS 9 Ejercicio 1.6. Expresar en la forma a + bi los siguientes números complejos: (1 + i)(1 + 3i)( ( ) i 3 i),, (1 + i) i Ejercicio 1.7. Encontrar el módulo y el argumento de los números complejos 1 + i, 1 + 3i. Ejercicio 1.8. Demostrar que, si z C verifica z + 16 = 4 z + 1, entonces z = 4. Ejercicio 1.9. Probar la ley del paralelogramo: z + w 2 + z w 2 = 2( z 2 + w 2 ), z,w C. Dar una interpretación geométrica de este resultado. Ejercicio Sea z C. Demostrar que los números complejos 0, 1 y z forman un triángulo equilátero si y sólo si z 2 z + 1 = Probar que los números complejos 0, z y w son los vértices de un triángulo equilátero si y sólo si z 2 + w 2 = zw. 3. En general, los numeros complejos z 1, z 2 y z 3 son los vértices de un triángulo equilátero si y sólo si z z z 2 3 = z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3.

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