Para saber si tiene asíntotas horizontales hacemos los límites en los infinitos.

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Felisa Soto Campos
hace 5 años
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1 1.- Considerad las funciones: f(x) = x + 2 2x x + 2 g(x) = 2 x + 2 a) Determinar el dominio de la función f(x) y calcular sus asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) en caso de que existan. b) Calcular la recta tangente a la función f(x) en el punto x = 1. c) Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones f(x) y g(x) entre los puntos x = 0 y x = 1. Tener en cuenta que f(x) > g(x) cuando x está entre 0 y 1. a) La función f(x) es la suma de un polinomio y una función racional cuyo denominador no se anula nunca, por lo tanto existen en todo R y no tiene asíntotas verticales. Para saber si tiene asíntotas horizontales hacemos los límites en los infinitos. lim f(x) = lim 2 2x x + x + 2 = = + = + 0 = Donde el segundo término nos genera una indeterminación, pero que se resuelve rápidamente comparando infinitos ya que el denominador es de grado 2 y el numerador de grado 1. El otro límite vale: lim f(x) = lim 2 2x x + x + 2 = = + = + 0 = Por lo tanto, la función no tiene asíntotas horizontales. Veamos las oblicuas: f(x) m = lim x x + 2 2x = lim x + 2 = lim x x x + 2x = 1 + = = 1 Donde hemos vuelto a comparar infinitos. Ya tenemos la pendiente de la asíntota oblicua, vamos a ver el punto de corte con el eje y: b = lim (f(x) m x) = lim x + 2 2x 2x x 1 x = lim x + 2 = = 0 Donde, una vez más hemos comparado infinitos. Así pues, hay una asíntota inclinada en la recta y=x. b) Para eso necesitamos el valor de f(1) y el valor de f (1). Así que:

2 f(1) = = = 1 Y la derivada: f (x) = (x + 2) (2 2x) 2x (x + 2) = 1 + 2x 4 4x + 4x (x + 2) = 1 + 2x 4x 4 (x + 2) f (1) = (1 + 2) = = = = 1 3 Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en x=1 será: Que reordenando se escribe: y y = f (x ) (x x ) y 1 = 1 (x 1) 3 y = 1 3 x c) Para este apartado, y haciendo uso de la información que nos dan sobre que f(x) es mayor que g(x) en todo el intervalo, hacemos: S = [f(x) g(x)] dx = x + 2 2x x x + 2 dx = x + 2 x + 2 2x x x + 2 dx = x 2x x + 2 dx = x dx 2x x + 2 dx = x 2 [ln x + 2 ] = 1 0 [ln ln ] = 0,5 (ln 3 ln 2) 2 = 0,5 (1, ,69315) = 0,5 0,40546 = 0, Con el objetivo final de saber si la siguiente función es continua: x arc tan 2x f(x) = ln(x en x 0 + 1) 1 en x = 0 a) Calculad el polinomio de Taylor de orden 2 de la función g(x) = x + arctan (2x) alrededor del punto a = 0. b) Calculad el polinomio de Taylor de orden 2 de la función h(x) = ln( x + 1) alrededor del punto a = 0. c) Estudiad la continuidad de la función f(x), sustituyendo las funciones g(x) y h(x) por sus polinomios de Taylor cuando haga falta calcular un límite.

3 a) Para calcular el polinomio pedido, necesitamos el valor de la función y sus dos primeras derivadas en x=0, por lo tanto: g (x) = g(0) = 0 arc tan(2 0) = 0 + arc tan 0 = = 0 g 1 2x (x) = 1 arc tan(2x) + x 2 = arc tan(2x) (2x) 1 + 4x g (0) = arctan = = x + 2 (1 + 4x ) 2x 8x 2 (1 + 4x ) = 1 + 4x x 16x (1 + 4x ) 2 2 8x = x (1 + 4x ) g (0) = (1 + 0) = = 4 Por lo que el polinomio pedido es: P, (x) = ! x + 4 2! x = 2x b) Para calcular este polinomio, hacemos lo mismo que en el caso anterior: h(0) = ln(0 + 1) = ln 1 = 0 h (x) = 1 x + 1 2x = 2x x + 1 h (0) = = 0 1 = 0 h (x) = 2 (x + 1) 2x (2x) (x + 1) = 2 Por lo que el polinomio pedido es: = 2x + 2 4x (x + 1) = 2 2x (x + 1) h (0) = 2 0 (0 + 1) Q, (x) = ! x + 2 2! x = x c) Para estudiar la continuidad de f(x) hemos de darnos cuenta de que el numerador es el producto de dos funciones continuas y derivables en todo R, por lo que no nos darán problemas. Más complicado es el caso del numerador. De entrada, lo de dentro del logaritmo no puede ser negativo, pero ahí no hay problema, ya que (x + 1) es siempre positivo. Lo siguiente que hay que mirar es si se anula en algún punto, es decir, en qué momento se cumple que: ln(x + 1) = 0 x + 1 = 1 x = 0 Pero, precisamente en ese punto, la función nos la definen de otra manera.. por lo que hemos de calcular cuánto vale el límite de la función en ese punto y ver si es igual al valor de la función.

4 x arc tan 2x g(x) lim f(x) = lim ln(x = lim + 1) h(x) lim P(x) Q(x) = lim 2x x = 2 Y como el límite no coincide con el valor de la función, la función no es continua en x=0, aunque lo sea en todos los demás puntos. 3.- Considerad la integral: Por qué es una integral impropia? ln x dx a) Calculad una primitiva de ln(x) usando el método de integración por partes. b) Estudiad la convergencia de la integral impropia. c) Si para t > 0 definimos una nueva función F(t) = ln x cuál es el valor mínimo absoluto de F? dx NOTA: observar que x ln(x) puede escribirse en forma de cociente como a) La integral es impropia porque, aunque ningún límite de integración sea infinito, sí que se hace infinita la función en el punto x=0, que es uno de los puntos (límite) del intervalo. b) Para estudiar la convergencia, primero hacemos la primitiva, y luego haremos el paso al límite.. u = ln x du = 1 ln x dx = x dx = x ln x x 1 dx = x ln x dx x dv = dx v = dx = x Por lo tanto: = x ln x x ln x dx = lim ln x dx = lim (x ln x x) = (10 ln 10 10) lim (a ln a a) = 13,02585 (0 0) Y en el segundo término nos encontramos con una indeterminación. Para resolverla, hacemos uso de la NOTA que nos dan en el enunciado: lim ln a (a ln a) = lim 1 = a = lim 1 a 1 a = lim a a = lim a = 0

5 Por lo que sustituyendo, tenemos que: Por lo que la integral es convergente. ln x dx = 13,02585 (0 0) = 13,02585 c) Para calcular el mínimo absoluto de F(t) hemos de calcular su derivada e igualarla a cero, por lo que: F (t) = ln t dt = ln t t ln 0 0 = ln t 0 Pero el último término es una indeterminación que acabamos de solucionar, por lo que tenemos que: F (t) = ln t Y si ahora lo igualamos a cero, tenemos que: Por lo tanto, el mínimo de F(t) se da en t=1. dt = ln t 0 = ln t 0 = F (t) ln t = 0 t = Considerad un triángulo rectángulo, ver figura, que su hipotenusa pase por el punto P = (2; 4) y sus catetos estén sobre los semiejes positivos de coordenadas, es decir, que Q = (x; 0) y R = (0; y) con x; y > 0. a) Justificad que la hipotenusa de este triángulo está determinada por una recta de ecuación con m < 0 (la pendiente de la recta). y = m (x 2) + 4 b) Escribid las coordenadas de los vértices del triángulo en función de la pendiente de la recta y justificar que el área del triángulo es: A = (4 2m) m c) Calculad las dimensiones del triángulo (base y altura) que tiene área mínima.

6 R P=(2,4) O Q a) Si usamos la fórmula de la recta que pasa por un punto determinado con pendiente m tenemos que: y y = m (x x ) y 4 = m(x 2) y = m(x 2) + 4 b) Las coordenadas del punto O son (0, 0). Las del punto Q serán (0, x), pero podemos poner x en función de m. Para eso hemos de darnos cuenta de que x es el valor que hace que en la ecuación de la recta y sea 0. Por lo tanto: 0 = y = m(x 2) + 4 mx = 2m 4 x = 2m 4 m Por lo que las coordenadas de Q serán: = 2 4 m Q = (x, 0) = 2 4 m, 0 Por otro lado tenemos que R=(0, y) también lo podemos poner en función de m, ya que y es el valor que hace que en la ecuación de la recta x sea 0. Por lo tanto: y = m (0 2) + 4 y = 2m + 4 y = 4 2m Y tenemos que R es: R = (0, 4 2m) Y ahora ya podemos escribir la fórmula del área: A = 1 2 Base altura = 1 2 (4 2m) 2 4 m c) Como nos piden que el triángulo tenga área mínima, hemos de derivar la expresión e igualarla a cero:

7 A (s) = m + (4 2m) 4 m = m + 16 m 8 m = 8 2 m Lo igualamos a cero y tenemos que: 8 m 2 = 0 8 m = 2 8 = 2m m = 4 m = ±2 Pero en el enunciado nos dicen que m<0, por lo que el único valor válido es m=-2. Así pues, las dimensiones pedidas son: Base = x = 2 4 m = = = 4 Altura = y = 4 2m = 4 2 ( 2) = = 8 Área = 1 2 Base altura = = 16

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