CAPÍTULO 2 - CORRIENTES ALTERNAS

Transcripción

1 APÍTUO - OIENTES ATENAS -- FOMAS DE ONDA aos a ltar el estudo de foras de onda peródca, es decr donde f(t) f (t + nt), sendo n un núero entero y T el período.- T T T -- AO MEDIO El valor edo de una funcón peródca y(t) de período T es, por defncón: Y ed T 0 T ( ) y t dt -3- AO EFIAZ Una corrente (t) que crcula por un eleento resstvo puro de resstenca dspa una potenca p(t), con un valor edo P.- Esta sa potenca P la puede dspar una corrente constante de valor I En estas condcones dreos que (t) tene un valor efcaz I ef I. o so puede decrse para la tensón efcaz ef..- El valor efcaz o raíz cuadrátca eda de la funcón y(t) es, por defncón: Y ef T ( ) Y t T 0 dt Ejeplo: Hallar los valores edo y efcaz de la funcón Y(t) Y sen ω t para un período Π Y T Π Y wt d wt Y [ wt] T sen ( ) cos 0 0 Π 0 ed Y ef T Π Y y dt ( Y sen wt ) d( wt) 0, 707 Y T 0 Π 0

2 -4- AGEBA OMPEJA NUMEO IMAGINAIO: Es aquel núero que elevado al cuadrado da coo resultado un núero negatvo. o denonaos con la letra j. j - j ASPETOS A ONSIDEA: a) - S se suan dos núeros reales, se obtene coo resultado un núero real. b) - S se suan dos núeros agnaros, se obtene coo resultado un núero agnaro. c) - S se suan un núero real y un núero agnaro, se obtene un NUMEO OMPEJO. EPESENTAION GÁFIA DE UN NÚMEO OMPEJO Se utlza para la sa el plano ortogonal coplejo.- Iag. 3 Z 4 + j eal OPEAIONES ON NÚMEOS OMPEJOS: IGUADAD: Dos o ás núeros coplejos son guales s y solaente s sus respectvas coponentes reales e agnaras son guales.- SUMA DE NÚMEOS OMPEJOS: a sua de dos núeros coplejos es gual a otro núero coplejo cuya coponente real es gual a la sua de las coponentes reales y cuya coponente agnara es gual a la sua de las coponentes agnaras parcales.- Z a + j. b Z a + j. b Z + Z (a + a) + j.(b + b)

3 PODUTO DE NÚMEOS OMPEJOS Z a + j. b Z c + j. d Z. Z (a + j. b). (c + j. d) OIENTE DE NÚMEOS OMPEJOS (a. c - b. d) + j. (a. d + b. c) Z a + j. b Z c + j. d Z (a + j. b). (c + j. d) Z (c + j. d). (c + j. d) ( a.c+ b.d) + j. ( b.c a.d) c + d a.c+ b.d + j. c + d ( b.c a.d) c + d OMPEJO ONJUGADO: Dado el núero coplejo Z a + j. b, el conjugado del so, que denotaos con Z *, es otro núero coplejo cuya coponente agnara es gual a la coponentes agnara del núero coplejo orgnal cabada de sgno.- Es decr: Z a + j. b Z * a - j. b Se puede deostrar que: POTENIAIÓN: Z. Z * a + b os cuadrados y potencas de órdenes superores de un núero coplejo se obtenen por ultplcacón repetda.- 3

4 FOMA TIGONOMÉTIA DE UN NÚMEO OMPEJO Iag. Sea el núero coplejo: b ρ Z a + j. b Trazando un segento radal desde el orgen de coordenadas y llaando ρ a la longtud de dcho segento y al ángulo que el so fora con el eje real, se tene: a eal a ρ. cos b ρ. sen Z ρ. (cos + j. sen ) De esta anera, Z puede expresarse en funcón de ρ y, abos reales.- FOMA EXPONENIA DE UN NÚMEO OMPEJO: Se puede deostrar que: cos + e e j j ( ) sen e e j j ( ) Suando ebro a ebro abas expresones, se obtene: cos + j sen e j (4) Por lo tanto: ( ) Z a+ j. b ρ cos + j.sen ρ e j Z ρ e j (5) En fora ás sple: Z Z (6) 4

5 MUTIPIAION EN FOMA EXPONENIA: Z Z. e j Z Z Z. e j Z + Z. Z Z. Z.e j(+) Z. Z (7) OIENTE EN FOMA EXPONENIA: Z Z Z (8) Z Z Z - POTENIA DE UN NÚMEO OMPEJO EN FOMA EXPONENIA: Sea el núero coplejo: Z Z n. Z n Z n (9) FASOES: os fasores se utlzan para la representacón de correntes y tensones.- Iag. A W. t a proyeccón sobre el eje real valdrá: jw. t ( ) ( ) eal e A e A e A cos W. t Un segento coo el que se uestra en la fgura puede hacerse grar s se hace cuplr la condcón de que el ángulo que dcho segento fora con el eje real auente con el tepo, es decr: W. t W elocdad angular t Tepo. Esto deuestra que la proyeccón de un segento gratoro sobre un eje fjo es una cantdad que varía senodalente. De lo dcho anterorente se desprende que una agntud alterna queda perfectaente representada por la proyeccón de un segento gratoro sobre un eje fjo.- El segento gratoro al que se hace encón recbe el nobre de FASO. S llaaos I M a la longtud del segento, la longtud de la proyeccón del so sobre el eje horzontal vale I M. cos W. t.- 5

6 Se deduce entonces que un fasor puede representar una corrente o una tensón que varíen de acuerdo a: U U M. cos W. t I M. cos W. t Para representar una tensón que varíe de acuerdo a la expresón U U M. cos (W. t + P), solo se necesta usar un fasor que adelante un ángulo ϕ. Iag. U ϕ I W. t eal a corrente Y y la tensón U están representadas por los fasores o segentos gratoros coo los anterores. Abos fasores están grando y a edda que se produce dcho gro, uno adelanta con respecto al otro un ángulo ϕ constante.- os dos segentos radales nos brndan toda la nforacón que se precse acerca de ellos (dreccón, agntudes y ángulos).- No nos nteresa coo estén grando los fasores con respecto a los ejes sepre y cuando se conserve el ángulo ϕ.- Por lo general, a uno de los fasores se lo hace concdr con el eje horzontal, y este fasor se toa coo referenca para trazar los otros fasores.- De lo anteror se deduce que lo prero que se debe hacer es elegr un fasor de referenca con un ángulo de cero grado, y luego se referen a este últo los fasores restantes.- Para fnalzar, dreos que para la representacón fasoral de tensones y correntes se deben elegr escalas convenentes para las sas.- 6

7 -5- TENSIONES Y OIENTES SENOIDAES Suponendo, para splfcar el estudo, que solo exste el régen peranente (prescndendo del transtoro) se confecconan las tablas y 3 para tensón y corrente con señales senodales o cosenodales.- Eleento U s I sen wt U s I cos wt ( ) U I sen wt I cos wt d dt dt w I cos wt w I (-sen wt) I ( cos wt) I sen wt Tabla Eleento I s v sen wt I s v cos wt v volt dv dt -6- IMPEDANIA sen wt ( cos wt) W cos wt sen wt W w cos wt w ( sen wt) Tabla 3 a pedanca de un eleento aslado, o de una raa de varos eleentos, o de un crcuto copleto es la relacón entre la tensón aplcada y la ntensdad de corrente que crcula.- Ipedanca Funcón de tensón Funcón de corrente Z α Z ódulo de la pedanca. α ángulo entre la tensón y la corrente en la pedanca o ángulo de fase. El ángulo de fase varía entre ± Π esstenca (): Tensón y corrente en fase (α 0) Autonduccón (): orrente a -90º de la tensón (α - 90) apacdad (c): orrente adelanta + 90º a la tensón (α + 90) - Módulo Z w 7

8 -7- IUITOS MIXTOS DE OIENTE ATENA Sea el crcuto de la fg. al que se la aplca una tensón v(t) M e. Aplcando la ª ey de Krchoff: (t) + d(t) M e dt M e Ecuacón dferencal de er. orden y su solucón es de la fora (t) K e Susttuyendo resulta: K e + jwk e M e donde K M e (t) M e + jw + jw Z ( t) ( t) e e + jw + jw () Sea ahora el sguente crcuto con la sa tensón aplcada M e ( t) ( ) t dt e + hacendo (t) ke y reeplazando: M Ke j Ke + e K ; ( t) e + j( / ) j j( ) Z e j ( ) ( ) j 8

9 -8- DIAGAMAS DE IMPEDANIAS as ecuacones y 3 uestran las pedancas coo núeros coplejos de parte real e agnara Y w y - respectvaente.- j α x w α arctg w Z ( w) + α -j α arctg Z + (5) Por lo vsto decos que los eleentos de un crcuto se pueden representar edante su pedanca copleja Z.- 9

10 -9- IUITOS -- Sea el crcuto de la fgura, en el que se desea encontrar la pedanca Z cuando por él crcula I M sen wt u( t) u + u + u I sen wt+ w I wt cos coo (6) u( t) Asen( wt+ α) Asen wt cosα + Acos wt senα (7) u (t) (t) Igualando los coefcentes de sen wt y cos wt en y 6 7 resulta: I M cos α ; I M (wt - ) A sen α w Ahora ben: tgα ; cosα + w I A + w I cosα Por lo que: u( t) Asen( wt+ α) + w I wt sen + tg w donde: Z + w w (8) α tg (9) 0

11 -0- ESONANIA Dreos que un crcuto sere - - entra en resonanca cuando la tensón aplcada y la ntensdad de corrente que crcula están en fase (corrente áxa).- Al estar en fase sgnfca que la pedanca se coporta coo una resstenca X0 w w0 c Por lo tanto de (8) w Πf ; f 0 Π c Para w < w 0 la pedanca es capactva y α es negatvo. Para w > w 0 la pedanca es nductva y α es postvo.