Apéndice A ANÁLISIS TENSORIAL

Transcripción

1 Apéndc A ANÁLISIS TENSORIAL El análss tnsoral s cntra n l studo d nts abstractos llamados tnsors, cuyas propdads son ndpndnts d los sstmas d rfrnca mplados para dtrmnarlos. Un tnsor stá rprsntado n un sstma d rfrnca partcular mdant un conunto d funcons llamadas componnts. El qu un conunto d funcons rprsnt a un tnsor dpnd d la ly d transformacón d stas funcons d un sstma coordnado a otro. Los tnsors s clasfcan por su ordn y l númro d componnts n un sstma d rfrnca cartsano s N, sndo N l ordn dl tnsor. En la tabla A.1 s rportan algunos tnsors, su rprsntacón n notacón ndcal y l númro d componnts. TABLA A.1 Clasfcacón d los tnsors Ordn N Nombr dl tnsor Símbolo No. d componnts 0 1 : Escalar vctor dada trada : a b T E k : : La ubcacón dl punto P n l sstma d rfrnca x 1, x, x stá dada por l vctor OP = x1 1 + x + x, sndo 1, y los vctors bas asocados al sstma d rfrnca x 1, x, x. La ubcacón d dcho punto n l sstma d rfrnca x' 1, x', x', s OP = x' 1 ' 1 + x' ' + x' ' (fgura A.1).

2 APÉNDICE A x ' x P OP x ' 1 O x x 1 x 1 ' FIGURA A.1 Coordnadas d un punto P n un sstma d rfrnca cartsano Un conunto d cuacons x' = f( x 1, x, x) dscrb una transformacón d las varabls x 1, x, x a las varabls x' 1, x', x'. D la msma forma, s pud plantar la transformacón nvrsa como x = g (x' 1, x', x' ) Con obto d asgurar qu la transformacón nvrsa xst y s uno a uno, n una rgón R, s db cumplr lo sgunt: a) Las funcons f tnn valor únco n l punto P, son contnuas así como sus prmras drvadas. b) El dtrmnant dl acobano no s anula n nngún punto d la rgón R, sto s, J ' ' ' ' ' ' ' = = 0 1 ' ' ' 1 S s cumpl lo stablcdo n a) y b), s dc qu la transformacón s admsbl. S l acobano s postvo n cualqur punto d la rgón R, s afrma qu la transformacón s propa, n caso contraro, la transformacón s mpropa. 140

3 ANÁLISIS TENSORIAL En l studo d los mdos contnuos, qu s aborda n stos apunts, s acpta qu las transformacons son admsbls y propas. Consdrmos un sstma d rfrnca cartsano x 1, x, x cada 1, y, tal como s mustra n la fgura A.. y los vctors bas asocados a x v O 1 x x 1 FIGURA A. Sstma d rfrnca cartsano Dbdo a qu los vctors bas son mutuamnt ortogonals y tnn un módulo untaro, s dc qu forman una bas ortonormal. Cualqur vctor, pud sr xprsado n sta bas como 1 1 sndo 1, y los componnts dl vctor. = + + = (A.1) = 1 Notacón suma Smpr qu n una cuacón una ltra aparzca como subíndc rptdo, s ntndrá qu s db sumar sobr sta ltra. D sta manra, s s stá n un spaco d n dmnsons, s sumará d 1 a n. Los índcs rptdos son mudos (o falsos), ya qu l rsultado fnal s ndpndnt d la ltra usada. Por lo tanto, la cuacón A.1 s pud xprsar como = = (A.) 141

4 APÉNDICE A EJEMPLO A.1 Sn mportar por l momnto l sgnfcado d las sgunts cuacons, rprsntarlas n forma xpandda, con varacón d los subíndcs d 1 a. SOLUCIÓN: a) u w b) T c) T a) Dsarrollando prmro l subíndc y lugo l : u w = ()() u + u + u w + w + w b) c) T T = T T + T = T T T T T + T + T 1 1+ T + T = (T T 1 + T 1 ) 1 + (T T + T ) + (T T + T ) = (T 11 + T + T ) = (T 11 + T + T ) ( ) DEFINICIONES: 1) Suma d vctors n notacón ndcal: ) Multplcacón d un vctor por un scalar: w = u + w = () u + (A.) = (A.4) Dlta d Kronckr Est símbolo s dfn como 1 s = = 0 s D acurdo con la convncón suma: = = + + = 11 (A.5) 14

5 ANÁLISIS TENSORIAL Est símbolo nos prmtrá xprsar l producto punto d dos vctors d la sgunt manra: San u y, dos vctors cualsqura cuyas componnts son: Por dfncón d producto punto, tnmos: u = u11 + u + u = u = + + = 1 1 u = u cos (A.6) Sndo l ángulo qu forman los dos vctors con orgn común. D sta manra, s = 90, u = 0, lo cual sgnfca qu los vctors son ortogonals. En notacón ndcal, la cuacón A.6 s pud rprsntar como: u = ()() u = u Por la dfncón dl símbolo dlta d Kronckr : =, por lo tanto: u = u (A.7) u = u + u + u 1 1 Símbolo d prmutacón Est símbolo s dfn como k 1 prmutacón par : 1,, ;,, 1;, 1, = 1 prmutacón mpar : 1,, ;,, 1; 1,, 0 aparc al mnos un índc rptdo El símbolo d prmutacón tn las sgunts propdads: k = k = k = k DEFINICIÓN: El producto cruz d dos vctors u, s gual a u = u sn (A.8) 14

6 APÉNDICE A u 1 = u1 u u 1 = ()()() u u u u + u u En notacón ndcal s tn: Obsérvs qu Por lo tanto: = ()()() u u + u u + u u u = ()() u = u = (A.9) k k u = u k k = k u k (A.10) Producto tnsoral d dos vctors (dada) San u = u ; = u = u = u Dsarrollando sta cuacón, s tn: u = u + u + u 1 1 = u + u + u u + u + u u + u + u 1 1 La suma d stos nuv térmnos s conoc como la forma "nonon" d la dada u. Frcuntmnt s utlza para l producto tnsoral d dos vctors la sgunt notacón: La suma d dadas, xprsada por u = u = u s dnomna "dádca". u + u + + u, N N 144

7 ANÁLISIS TENSORIAL Productos vctor-dada 1) u ()() w = u wk k = u wk k ) ()() u w = u wk k = u w ) u ()() w = u wk k = ku wk qk 4) ()() u w = u wk k = kqu wk q Producto dada-dada ()()() u w k = u wk k sqq = u w s q q Producto vctor-tnsor a) T = Tk k = Tk k = Tk k b) T = T kk = T k k = T c) Producto tnsor tnsor T S = T S = T S pq p q q q Suma d tnsors Los tnsors cartsanos dl msmo ordn s pudn sumar o rstar componnt a componnt. A k + B k = T k Multplcacón d cada componnt d un tnsor por un scalar: b = λa B = λa Producto xtrno d tnsors El producto xtrno d dos tnsors d un ordn arbtraro s un tnsor cuyas componnts s forman multplcando cada componnt d uno d los tnsors por todas las componnts dl otro. Esta opracón da como rsultado un tnsor cuyo ordn s la suma d los órdns factors. a b = T ; F k = α k ; D T km = km k m = ψ km 145

8 APÉNDICE A Contraccón d tnsors La contraccón d un tnsor rspcto a dos índcs lbrs s la opracón qu consst n asgnar a ambos índcs una msma ltra como subíndcs, cambando d sta manra stos índcs por sudoíndcs. La contraccón produc un tnsor qu tn un ordn dos vcs mnor qu l orgnal. Contraccón d : T T a u E a k E a = b E a = c E a k = d k Contraccón d E F km : E F km = G km E F m = H m E F m = R m Producto ntrno El producto ntrno d dos tnsors s l rsultado d una contraccón qu da lugar a un índc por cada tnsor, y dspués s ralza l producto xtrno d los dos tnsors. Producto xtrno Contraccón Producto ntrno a b = a b a E k = a E k = f k E F km k = E F m = G m E E km k = E E m = B m La drvada parcal d un campo tnsoral rspcto a una varabl t s smbolza como t sgu las msmas rglas dl cálculo convnconal. y Así, la drvada parcal rspcto a la coordnada q, x q s ndca como qu d manra compacta s pud xprsar como q. 146

9 ANÁLISIS TENSORIAL Asmsmo, s xprsa d manra compacta como qm, la drvada parcal sgunda q m. Frcuntmnt la drvada parcal rspcto a la varabl x hacndo uso d la coma, sto s: s rprsnta n notacón ndcal a) =, x c) =, x T ) = T, k k ; b) =, ; d) ; f) x T k k m = = T, k, km Algunos opradors utlzados n l cálculo vctoral s rprsntan n notacón ndcal como sgu: Nabla ; = = = Gradnt d un campo scalar: = = =, Dvrgnca d un campo vctoral: Sa = + + dv Rotaconal d un campo vctoral : rot = = + + = = 1 = ( ) =, = =,, k k 147