el blog de mate de aida. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Sistemas de ecuaciones. pág

Transcripción

1 el blog de mte de id. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. Sistems de ecucioes. pág. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO U sistem de "m" ecucioes lieles co "" icógits,,,..., es u cojuto de "m" igulddes de l form: m m b b... m dode ij, b i ( i m, j ) so elemetos coocidos de R, deomidos coeficietes y térmios idepedietes, respectivmete. U solució de u sistem de "m" ecucioes lieles co "" icógits es u cojuto de úmeros (s, s,... s ) tles que l sustituirlos e lugr de,,..., respectivmete, d lugr "m" idetiddes. Si los térmios idepedietes so todos ulos: bi=0 co i m, el sistem se llm homogéeo. Resolver u sistem es obteer ls solucioes del sistem. b m CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Los sistems de ecucioes lieles, segú ls solucioes que pose se clsific de l siguiete mer: - U sistem se dice que es comptible si tiee l meos u solució. Si es solució es úic, se dice comptible determido. Si ls solucioes so ifiits, se dice que el sistem es comptible idetermido. - Si u sistem o tiee solució se dice que es icomptible. E resume, NO lgú SISTEMA todos COMPATIBLE tiee HOMOGÉNEO idepediete 0 INCOMPATIB LE o térmio los HOMOGÉNEO térmios idepedietes COMPATIBLE 0 l trivil tiee l DETERMINAD O l solució es úic solució INDETERMIN ADO tiee solucioes tiee meos solució DETERMINAD O l solució trivil solució INDETERMIN ADO tiee solucioes Discutir u sistem es verigur si es icomptible o comptible, determido o determido.

2 el blog de mte de id. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. Sistems de ecucioes. pág. Dos sistems de ecucioes lieles, so equivletes, si tiee ls misms solucioes. Criterios de equivleci: Se trt de ver cuáles so ls trsformcioes que podemos efectur e u sistem ddo de mer que obtegmos otro sistem equivlete y más secillo.. Al itercmbir dos ecucioes culesquier de u sistem, result u sistem equivlete l ddo.. Al multiplicr tod u ecució de u sistem por u úmero distito de cero, result u sistem equivlete l ddo. 3. Si e u sistem sustituimos u ecució por l sum de ell co u combició liel de otrs, result otro sistem equivlete l ddo. 4. Si e u sistem de ecucioes lieles u ecució es combició liel de otrs, result otro sistem equivlete l ddo. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS. Método de sustitució. Los psos que debes seguir pr plicr el método de sustitució so los siguietes: º. Despej u de ls icógits e u de ls ecucioes. º. Sustituye l epresió obteid e l otr ecució. 3º. Resuelve l ecució resultte, que es de primer grdo y co u icógit. 4º. Clcul l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido. Ejemplos: ) 3y 7 3 y 4 b) 3y 7 4 6y 4 c) 3y 7 3y 5 Resolució de sistems: método de igulció. Los psos que debes seguir pr plicr el método de igulció so los siguietes: º. Despej l mism icógit e ls dos ecucioes. º. Igul ls dos epresioes resulttes. 3º. Resuelve l ecució resultte, que es de primer grdo y co u icógit. 4º. Clcul l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido. 5 3y 4 y 6 Resolució de sistems: método de reducció. L regl e que se bs el método de reducció es que si u ecució de u sistem se le sum o se le rest otr ecució del sistem, result u sistem equivlete l ddo. Est regl permite elimir u icógit y obteer u ecució de primer grdo, siempre que los coeficietes de dich icógit se: - Igules: se rest ls ecucioes. - Opuestos: se sum ls ecucioes. *Sistems co coeficietes igules u opuestos: Psos seguir: º. Sumr o restr ls ecucioes del sistem. º. Resolver l ecució de primer grdo resultte. 3º. Clculr l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido.

3 el blog de mte de id. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. Sistems de ecucioes. pág y=-6 +4y=6 *Sistems si coeficietes igules: Psos seguir: º. Igulr los coeficietes slvo el sigo de u de ls icógits. (Puede hcerse utilizdo los productos cruzdos si o se ecuetr otro método más secillo). º. Sumr o restr, segú coveg, ls dos ecucioes del sistem, de modo que l operr se elimie u icógit. 3º. Resolver l ecució de primer grdo resultte. 4º. Clculr l otr icógit sustituyedo, e u culquier de ls ecucioes, el vlor obteido. º) 3-y=-6 º) 6+5y=7 9+4y=08 8-y=0 SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS U sistem de tres ecucioes de primer grdo co tres icógits puede escribirse sí: 3 3 y y y z b z b z b dode los coeficietes de ls icógits y los térmios idepedietes so úmeros reles. Método de sustitució. Cosiste e despejr u icógit e u de ls ecucioes y sustituir l epresió obteid e ls otrs dos ecucioes. Así se obtiee u sistem de dos ecucioes co dos icógits. y z 3y z 5 y 3z 5 Método de igulció. Cosiste e despejr l mism icógit e ls tres ecucioes e igulr ls epresioes obteids dos dos. Así se obtiee u sistem de dos ecucioes co dos icógits. y z 3 y z 3 3 y z 4 Método de reducció. Cosiste e elimir l mism icógit etre dos prejs distits de ecucioes pr obteer u sistem de dos ecucioes co dos icógits. Pr elimir l icógit elegid se sum o se rest ls ecucioes previmete multiplicds por los úmeros decudos pr que los coeficietes se ule. y 3z 3y z 3 y z 3 6 Elegimos elimir l : 3

4 el blog de mte de id. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. Sistems de ecucioes. pág. 4 4y 6z 4 3 6y 9z 6 3y z 3 3 y z 6 7z 7 4y 8z 7z 7 y, z 4y 8z El sistem obteido es:. EL MÉTODO DE GAUSS: U sistem de ecucioes se dice que tiee form esclod cudo cd u de ls ecucioes tiee u icógit meos que l terior. Co secills trsformcioes podemos psr u sistem otro de form esclod equivlete. Después, e cd pso, clculmos u icógit cuyo vlor se sustituye e l ecució terior. Este procedimieto se llm método de Guss pr l resolució de sistems de ecucioes lieles. Criterios de equivleci: Se trt de ver cuáles so ls trsformcioes que podemos efectur e u sistem ddo de mer que obtegmos otro sistem equivlete y más secillo.. Al itercmbir dos ecucioes culesquier de u sistem, result u sistem equivlete l ddo.. Al multiplicr tod u ecució de u sistem por u úmero distito de cero, result u sistem equivlete l ddo. 3. Si se sum u mismo úmero o u epresió lgebric los dos miembros de u ecució, o vrí su cojuto de solucioes. 4. Si e u sistem de ecucioes lieles se suprime ó se ñde u ecució que se combició liel de ls demás se obtiee u sistem equivlete l ddo. y z y z y 3z 9. Vmos elimir de l ª y 3ª ecucioes l. Pr elimir l de l ª ecució, multiplicmos l ª ecució por - (--y-z=-4) y se l summos l ª. Pr elimir l de l 3ª ecució, le restmos l ª. El sistem equivlete resultte, será: y z 3y 3z 3 3y z 7 Elimimos hor de l 3ª ecució l y. Le restmos l ª ecució queddo, e defiitiv el siguiete sistem: y z 3y 3z 3 5z 0. Es u sistem esclodo de solució úic: Despejdo z e l 3ª ecució z= y, sustituyedo este vlor e l ª ecució, qued: -3y-6=-3. Despejdo y e est ecució, y=- y sustituyedo mbos vlores e l ª ecució result: -+=, de dode =.

5 el blog de mte de id. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. Sistems de ecucioes. pág. 5 Discusió de u sistem de ecucioes por el método de Guss: Se u sistem de 3 ecucioes lieles co 3 icógits. Si después de reducirlo form esclod o trigulr: ) Se obtiee lgu ecució de l form 0=c, co c0, el sistem es icomptible. b) Si o es sí el sistem es comptible. E este cso, si llmmos r l úmero de ecucioes o triviles (que o se 0=0) que tiee el sistem e su form esclod: - Si r=, hy solució úic (es sistem comptible y determido). - Si r<, preset ifiits solucioes, y cd u de ells depede de -r prámetros. (es sistem comptible e idetermido). 3y 7z 0 5 y z 8 4y 0z. Trsformádolo e u sistem esclodo, qued: 3y 7z 0 0 7z 0. El sistem es comptible, pero idetermido, co ifiits solucioes que depede de 3-= prámetro. Qued sí: 3y 0 7z 7z. L solució es 7 7 y 3 7 z