TEMA 3. Álgebra de Boole

Transcripción

1 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-1 INDICE: TEM 3. Álgebra de oole EL ÁLGER DE OOLE TEOREMS DEL ÁLGER DE OOLE REPRESENTCIÓN DE FUNCIONES LÓGICS o TL DE VERDD o FORMS CNÓNICS o CONVERSIÓN DE UN FORMS OTRS FUNCIONES SICS. IMPLEMENTCIÓN MEDINTE CONJUNTOS COMPLETOS oole ( )

2 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-2 EL ÁLGER DE OOLE UN ÁLGER DE OOLE ES UN SISTEM DE ELEMENTOS ={0,1} Y LOS OPERDORES INRIOS ( ) y (+) y ( ) DEFINIDOS DE L SIGUIENTE FORM OPERDOR + OPERDOR OR OPERDOR OPERDOR ND OPERDOR OPERDOR NOT QUE CUMPLEN LS SIGUIENTES PROPIEDDES: 1.- PROPIEDD CONMUTTIV: + = + = 2. PROPIEDD DISTRIUTIV: (+C) = + C + C = (+) (+C) 3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES + 0 = 1 = 4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE, DENOMINDO + = 1 = 0 PRINCIPIO DE DULIDD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por ( ) y 1 por 0. CONSTNTE: cualquier elemento del conjunto VRILE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa.

3 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-3 TEOREMS DEL ÁLGER DE OOLE TEOREM 1: el elemento complemento es único. TEOREM 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de se verifica: +1 = 1 0 = 0 TEOREM 3: cada elemento identidad es el complemento del otro. 0 =1 1 =0 TEOREM 4 (IDEMPOTENCI): para cada elemento de, se verifica: += = TEOREM 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de, se verifica: ( ) = TEOREM 6 (SORCIÓN): para cada par de elementos de, se verifica: + = (+)= TEOREM 7: para cada par de elementos de, se verifica: + = + ( + ) = TEOREM 8 (SOCITIVIDD): cada uno de los operadores binarios (+) y ( ) cumple la propiedad asociativa: +(+C) = (+)+C ( C) = ( ) C LEYES DE DEMORGN: para cada par de elementos de, se verifica: (+) = ( ) = +

4 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-4 REPRESENTCIÓN DE FUNCIONES LÓGICS (I) TL DE VERDD Tabla que representa el valor de la función para cada combinación de entrada. Si la función está definida para todas las combinaciones se llama completa, si no, se denomina incompleta. Para 4 variables: X 3 X 2 X 1 X 0 F(X 3, X 2, X 1,X 0 ) (0) F(0,0,0,0) (1) F(0,0,0,1) (2) F(0,0,1,0) (3) F(0,0,1,1) (4) F(0,1,0,0) (5) F(0,1,0,1) (6) F(0,1,1,0) (7) F(0,1,1,1) (8) F(1,0,0,0) (9) F(1,0,0,1) (10) F(1,0,1,0) (11) F(1,0,1,1) (12) F(1,1,0,0) (13) F(1,1,0,1) (14) F(1,1,1,0) (15) F(1,1,1,1) Una Fórmulas de conmutación es la expresión de una función Lógica. Un LITERL es una variable () o complemento de una variable ( ) Un TÉRMINO PRODUCTO es una operación ND de un número de literales. Una fórmula normal disyuntiva es una suma de términos productos. Un TÉRMINO SUM es una operación OR de un número de literales. Una fórmula normal conjuntiva es un producto de términos sumas.

5 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-5 REPRESENTCIÓN DE FUNCIONES LÓGICS (II) FÓRMUL CNÓNIC DISYUNTIV (SOP) MINTÉRMINO (m i ): término producto en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. FÓRMUL CNÓNIC DISYUNTIV O DE MINTÉRMINOS: suma de mintérminos. (Suma de Productos) Dada la lista completa de mintérminos y asignando 1 s y 0 s arbitrariamente a las variables, siempre hay un, y sólo un, mintérmino que toma el valor 1. Un mintérmino es un término producto que es 1 exactamente en una línea de la tabla de Verdad. La fórmula compuesta por todos los mintérminos será idénticamente 1. Cada fórmula de conmutación puede expresarse como suma de mintérminos. Y esa fórmula es única. NOTCIÓN: Un mintérmino se designa por m i siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. Para el producto, el 0 se asocia a la variable complementada y el 1 a la variable sin complementar. EJEMPLO: C F(C,,) F(C,,) = m 0 + m 2 + m 3 +m 7 = Σ m(0,2,3,7) F(C,,) = C + C + C + C O bien F(C,,) = C + C + C + C

6 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-6 REPRESENTCIÓN DE FUNCIONES LÓGICS (III) FÓRMUL CNÓNIC CONJUNTIV (POS) MXTÉRMINO (M i ): término suma en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. Fórmula Canónica Conjuntiva o de Maxtérminos: producto de maxtérminos. (Producto de sumas) Dada la lista completa de maxtérminos y asignando 1 s y 0 s arbitrariamente a las variables, siempre hay un y sólo un maxtérmino que toma el valor 0. Un maxtérmino es un término suma que es 0 exactamente en una línea de la tabla de verdad. La fórmula compuesta por todos los maxtérminos será idénticamente 0. Cada fórmula puede expresarse como producto de maxtérminos. Y es única. NOTCIÓN: Un maxtérmino se designa por M i siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. En la suma, el 1 se asocia a la variable complementada y el 0 a la variable sin complementar. EJEMPLO: C F(C,,) F(C,,) = M 1 M 4 M 5 M 6 = Π M(1,4,5,6) F(C,,) = (C++ ) (C ++) (C ++ ) (C + +) O bien F(C,,) = (C++) (C++) (C++) (C++)

7 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-7 REPRESENTCIÓN DE FUNCIONES LÓGICS (IV) CONVERSIÓN Y MNIPULCIÓN DE FÓRMULS El complemento de una fórmula de mintérminos está formado por la suma de los mintérminos que no aparecen. El complemento de una fórmula de maxtérminos está formado por el producto de los maxtérminos que no aparecen. m i = M i M i = m i La transformación de una fórmula de mintérminos (disyuntiva) en otra de maxtérminos (conjuntiva) se basa en la doble complementación, (F ) = F * * * Para FUNCIONES INCOMPLETS en la tabla de verdad aparecerá una X o una letra d (del inglés don t care) refiriéndose a términos sin especificar. C F(C,,) X X F(C,,) = Σ m(0,2,7) + Φ(3,5) F(C,,) = Π M(1,4,6) Φ(3,5) Complemento de una función incompleta: otra función incompleta con los mismos términos no importa y el complemento de la función completa. Las fórmulas de mintérminos y de maxtérminos de las funciones incompletas no son únicas.

8 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-8 FUNCIONES ÁSICS (I) FUNCIÓN OR, PUERT OR: F = + FUNCIÓN ND, PUERT ND: F = FUNCIÓN NOT, INVERSOR: F = Con estos tres tipos de puertas puede realizarse cualquier función de conmutación. Un CONJUNTO DE PUERTS COMPLETO es aquel con el que se puede implementar cualquier función lógica. Puerta ND, puerta OR e INVERSOR Puerta ND e INVERSOR Puerta OR e INVERSOR

9 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-9 FUNCIONES ÁSICS (II) FUNCIÓN NOR, PUERT NOR: Es también un conjunto completo (+) F = ( + ) F = FUNCIÓN NND, PUERT NND: Es también un conjunto completo ( ) F = ( ) F = + FUNCIÓN XOR, PUERT XOR: Es también un conjunto completo ( ) F = ( ) F = + FUNCIÓN XNOR, PUERT XNOR: Es también un conjunto completo ( ) F = ( ) F = +

10 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-10 IMPLEMENTCIÓN DE FUNCIONES OOLENS MEDINTE CONJUNTOS COMPLETOS (I) NOT-ND-OR (preferentemente con SUM de PRODUCTOS) Ejemplo 1: F(,,C) = C + C + C C C C + C + C C C C NOT-OR-ND (preferentemente con PRODUCTO de SUMS) Ejemplo 2: F(,,C) = (+C) (+C ) ( +C) +C +C (+C) (+C ) ( +C) C C +C

11 Fundamentos de los Computadores. Álgebra de oole. T3-11 IMPLEMENTCIÓN DE FUNCIONES OOLENS MEDINTE CONJUNTOS COMPLETOS (II) NND-NND (preferentemente con SUM de PRODUCTOS) uscamos grupos de variables con la forma de salida de una puerta NND. Ejemplo 1: F(,,C) = C + C + C Negamos 2 veces F(,,C) = C + C + C plicamos DeMorgan F(,,C) = C C C C C C + C + C C C C NOR-NOR (preferentemente con PRODUCTO de SUMS) uscamos grupos de variables con la forma de salida de una puerta NOR. Ejemplo 2: F(,,C) = (+C) (+C ) ( +C) Negamos 2 veces F(,,C) = (+C) (+C ) ( +C) plicamos DeMorgan F(,,C) = (+C) + ( +C) + (+C ) +C +C (+C) (+C ) ( +C) C C +C