Universidad Carlos III de Madrid

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Germán Ortiz Jiménez
hace 5 años
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1 Universidad Carlos III de Madrid Eercise Total Points Departmento de Economía Mathematicas I Eamen Final 22 enero 208 APELLIDOS: Duración: 2 horas. NOMBRE: ID: GRADO: GRUPO: () Sea la función f() = ln() +. Se pide: ( 2) (a) Representar gráficamente la función, calculando previamente su dominio, asíntotas verticales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos locales y globales e imagen de f(). (b) Sea la función f () = f(), definida solo en el intervalo [4, ). Dibujar las gráficas de f (), su inversa y la diagonal principal, indicando claramente sus posiciones relativas. Sugerencia: a partir de f (4) y de f () se puede hallar la posición relativa de f () y la diagonal principal. Usar que ln 4 < 2. No intentar hallar la epresión analítica de f (). 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) El dominio de la función anterior es { : > 0, 2} = (0, 2) (2, ). Como la función es continua en su dominio, solo hay que estudiar las posibles asíntotas verticales en 0 +, 2 y en 2 + : lim 0 +f() = ln(0+ ) 2 = 2 = ; luego la función tiene asíntota vertical en = 0+. f() = ln(2) + 0 = ln 2 = ; luego la función tiene asíntota vertical en = 2. lim 2 lim f() = ln(2) = ln 2 + = ; luego la función tiene asíntota vertical en = 2 +. Por otra parte, como f () = ( 2) 2, se deduce que : f es creciente f () = ( 2) 2 > = ( )( 4) > 0, 2; luego f creciente en (0, ] y en [4, ) y decreciente en [, 2) y en (2, 4] De lo anterior se deduce que f alcanza un máimo local en = y un mínimo local en = 4. Por lo tanto, como lim 2 f() =, lim 2 +f() =, la función no alcanza ningún etremo global. Por último, como la función es continua en los intervalos (0, 2) y en (2, ), por el teorema de los valores intermedios, la imagen será (, f()] [f(4), ) = (, ] [ 2 + ln 4, ). Conclusión: la gráfica de f tendrá un apariencia, aproimadamente, como la figura A: b) Como f (4) = 2 + ln 4 < 4, f () = ( 2) 2 < <, la gráfica de f queda por debajo de la diagonal principal y =, ya que f parte de un valor inferior en = 4 y crece más despacio que la recta y =. Y, por simetría, la gráfica de f () queda por encima de la diagonal principal. Así pues, la posición relativa de las tres será, aproimadamente, como la segunda figura. f f 4 (a) (b)

2 (2) Dada la función y = f(), definida de forma implícita mediante la ecuación e y + y 2 = en un entorno del punto =, y = 0, se pide: (a) Hallar la recta tangente y el polinomio de Taylor de grado 2 de la función centrado en a =. (b) Representar la gráfica de f cerca del punto = y utilizar la recta tangente para obtener una aproimación de los valores de f(.) y de f(0.9). Puedes justificar si alguna de dichas aproimaciones es por defecto o por eceso? punto a) En primer lugar, calculamos la derivada primera de la función: e y y e y + 2yy = e y ( y ) + 2yy = 0 sustituyendo =, y() = 0 se deduce que y () = f () =. Luego la ecuación de la recta tangente será: y = P () = 0 + ( ), es decir, y =. Análogamente, calculamos la derivada segunda de la función: e y y ( y ) + e y ( y y ) + 2y y + 2yy = 0 sustituyendo y() = 0, y () = se deduce que y () = f () = Luego la ecuación del polinomio de Taylor será: y = P 2 () = + 2 ( )2 b) Utilizando el polinomio de Taylor de orden 2, la gráfica de f será, aproimadamente como la figura: f y=- (,0) Por otro lado, las aproimaciones de primer orden serán: f(.) P (.) = 0.; f(0.9) P (0.9) = 0. Como la función es convea cerca de =, pues f () > 0, la aproimación de los valores de f por la recta tangente será, en ambos casos, por defecto.

3 (3) Sea C() = C la función de costes y p() = 8 4 la función inversa de demanda de una empresa monopolista, siendo 0 el número de unidades producidas de cierta mercancía. Se pide: (a) Determinar los costes fijos C 0 de modo que el beneficio máimo sea de 200 euros. (b) Determinar los costes fijos C 0 de modo que el coste medio mínimo se alcance en = 3. Cuál es el valor de dicho coste medio mínimo? 0,5 puntos apartado a); 0,5 puntos apartado b) a) En primer lugar, calculamos la función de beneficios. B() = (8 4) (C ) = C 0 Si calculamos la primera y segunda derivada de B : B () = ; B () = 2 < 0 luego vemos que B tiene un único punto crítico en = 72 = 6 y, como B es una función cóncava, 2 este punto crítico es el único maimizador global. Como B(6) = 6( ) C 0 = 26 C 0 = 200 = C 0 = 6 b) La función de costes medios es C m () = C() Si calculamos sus dos primeras derivadas: = C C m() = C ; C m() = 2 C 0 3 > 0 observamos que = 3 es el único punto crítico de la función C m () cuando C 0 = 8. Y, como dicha función de costes medios es convea, dicho punto crítico es el único minimizador global. Por lo tanto, la producción que minimiza el coste medio será: = 3. Y, sustituyendo en la función de costes medios, el coste medio mínimo será: C m (3) = = = 2 3

4 a + si < 2 ( 4) (4) Sea la función f() = b a + si definida a trozos en el intervalo [, 7]. pide: (a) Determinar a y b para que f() satisfaga las hipótesis (o condiciones iniciales) del teorema de Lagrange (o del valor medio) en dicho intervalo. (b) Para aquellos valores a, b hallados en el apartado anterior, determinar, el valor o valores intermedio(s) c de forma que se cumpla la tesis (o conclusión) de dicho teorema. Sugerencia para el apartado a: enunciar el teorema del valor medio. Sugerencia para el apartado b: tomar 2, 6 como valor aproimado de 6/ 5, y considerar solo el caso < c 2. 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) Se a) Necesitamos imponer la continuidad y derivabilidad en = 2. Para ello, como lim 2 f() = a/2, f(2) = lim 2 +f() = a + b/2 se deduce que la función será continua en dicho punto cuando: a/2 = a + b/2 3a + b = 2. Por otro lado, suponiendo que la función sea continua en = 2, será derivable en dicho punto si: a/4 = f (2) = f +(2) = ( b/2)(/8) 4a = b. Luego la función será continua y derivable en = 2 cuando a = 2/7, b = 8/7. b) Por el teorema del valor medio sabemos que: (*) Eiste c (, 7) : f(7) f() = f (c)(7 ). Teniendo en cuenta que a = 2/7, b = 8/7 = f() = a/3 = 9/2, f(7) = a + b/3 = 2/7 + 8/2 = 4/2 luego (*) equivale a que 4/2 9/2 = 5/2 = 6f (c). O bien: f (c) = ( 5/7)(/8). Cuando < 2, entonces f () = 2/7( 4) 2, luego f () = 2/7( 4) 2 = ( 5/7)(/8) 36/5 = ( 4) 2 ±2, 6 = 4 como no es posible que 2, 6 = 4, pues entonces = 6, 6 y 2, entonces debe ser 2, 6 = 4 lo que equivale a que =, 4. Es decir, que Eiste c (, 2) : f(7) f() = f (c)(7 ). La otra posibilidad es que 2 < 7; entonces como f () = ( b/2)( + 2) 3/2, luego f () = ( 5/7)(/8) equivale a: ( 4/7)( + 2) 3/2 = ( 5/7)(/8) 72/5 = ( + 2) 3/2 ( + 2) 3 = 4, 4 2 (4 2, 5 2 ) = (96, 225) Como h() = ( + 2) 3 cumple que h(3) = 25, h(5) = 343, se deduce que Eiste c (3, 5) : (c + 2) 3 = 4, 4 2, lo que equivale a que Eiste c (3, 5) : f(7) f() = f (c)(7 )

5 (5) Dada la función f : [0, 2] R definida por: f() = e, se pide: (a) Representar aproimadamente el conjunto A = {(, y) : 0 2, 0 y f()} y hallar, si eisten, los maimales y minimales, máimo y mínimo de A. (b) Calcular el área del conjunto dado. Sugerencia para a: el orden de Pareto viene dado por: ( 0, y 0 ) P (, y ) 0, y 0 y. 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) Como f () = e ( ), eso significa que la función es creciente en el intervalo [0, ] y decreciente en el intervalo [, 2]. Por lo tanto, el dibujo de A será, aproimadamente, así: e - y=e - 2e -2 2 Por lo tanto, el orden de Pareto nos describe al conjunto así: máimo no eiste, maimales(a) = {(, f()) : 2}. mínimo(a) = minimales(a)} = {(0, 0)}. b) En primer lugar, hallamos la primitiva de la función integrando por partes: e = fg = fg f g = ( e ) ( e ) = ( e ) + e = ( + )( e ) Por tanto, aplicando la regla de Barrow, obtenemos que: 2 f()d = [( + )( e )] 2 0 = 3( e 2 ) ( ) = 3e 2 = Área (A) 0

6 (6) Dada la función g() = , se pide: (a) Representar la región limitada por la gráfica de g(), la recta tangente a dicha función en el punto = 0 y el eje horizontal. (b) Sea ahora g una función convea decreciente en el intervalo [0, ] y que pase por los puntos (0, 3) y (, 0). Hallar las mejores aproimaciones, por eceso y por defecto, del área de la región definida en la parte a). Sugerencia para b: para ambos casos dibujar la región anterior, en el caso de que la recta tangente corte al eje horizontal en cualquier punto del intervalo (0, ). punto a) La recta tangente en = 0 tiene como ecuación: y g(0) = g (0)( 0), es decir, y 3 = ( 4), luego corta al eje horizontal, cuando y = 0, en el punto : 0 3 = 4 = 3/4. Por otro lado, la función g() = ( )( 3) corta al eje horizontal en los puntos =, = 3. Además, la función g es decreciente en el intervalo [0, ] (pues g () < 0) y convea (pues g () > 0), luego la gráfica de g queda por encima de la recta tangente. Ver figura C. b) La mejor aproimación por eceso del valor de dicha área es 3 2, pues dicho recinto siempre debe estar contenido en el triángulo T + de vértices (0,0), (0,3) y (,0), debido a la conveidad de g. Recíprocamente, la mejor aproimación por defecto del valor de dicha área es 0, pues dicho recinto puede estar encerrado en un triángulo T arbitrariamente pequeño de vértices: ( ɛ, 0), (, 0) y (0, 3). Las figuras D y E pueden ayudar a entender esas situaciones: (0,3) y= (,0) (0,3) (0,0) (,0) (0,0) (0,3) (,0) (3/4,0) y=f() y=f() (c) (d) (e)

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