x 2 + ln(x + z) y = 0 yz + e xz 1 = 0 define una curva C regular en un entorno de (1, 1, 0) y halle el plano normal a C en dicho punto.

Transcripción

1 1 Sea f : R R una función C 3 que satisface f(1, ) = (0, 0), y cuya matriz ( Hessiana ) en (1, ) es: 1 0 H = 0 Hallar todos los b ɛ R de manera que la función: g( = f( + 1 b b (y ) ) tenga extremo en (1, ) Qué tipo de extremo es? Sea f : R R una función C 1 tal que su plano tangente en (5, 0, f(5, 0)) es x + 8y + z = 7 Hallar f(5, 0) y g ((1, 1), ( 1, 3 )) siendo g( = f(x + 3y, x 3 Dada la superficie S en forma paramétrica por: ϕ(u, = (u v, u + v, 4u; (u, ɛ R 1 Hallar una ecuación cartesiana para S Hallar la ecuación del plano tangente a S en ( 1, 3, 8) 3 Calcular la distancia desde ( 1, 3, 8) hasta el punto en que la recta normal a S en ( 1, 3, 8) interseca al cilindro de ecuación 7x = y 4 Sea f( ɛ C 1 tal que f ((1, ), v 1 ) = y f ((1, ), v ) = 3 siendo v 1 = ( 1, 3 ) y v = ( 1, 0) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel de f( que pasa por el (1, ) 5 Demuestre que: { x + ln(x + z) y = 0 yz + e xz 1 = 0 define una curva C regular en un entorno de (1, 1, 0) y halle el plano normal a C en dicho punto

2 1 Sea f : R R una función diferenciable, f( = (u(, v( ), tal que f(1, 1) = (3, ), con matriz jacobiana de f en (1, 1) ( ) (u, 1 1 ( (1, 1) = Sea C la curva imagen por f de x 1 + y = Hallar la ecuación de la recta tangente a C en (3, ) Una función C, h( y, z) tiene un máximo relativo de valor 0 en (1,, 3) Hallar una ecuación del plano tangente en (1,, 3) a la superficie de ecuación h( y, z) = 4x y 3 Parametrizar la curva { x + y z = 0 C : x + y (z 1) = 0 Graficar C y hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto ( 3, 0, 9) 4 Sabiendo que: 1 f( es una función diferenciable en P 0 = (x 0, y 0 ) La recta de ecuación 3x-y=0 es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por P 0 3 La máxima pendiente de la superficie S de ecuación z = f( en (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) es 5 Hallar el gradiente de f en P 0 = (x 0, y 0 ) sabiendo que su primer componente es positiva 5 Hallar a para que las superficies: S 1 : (u, (u + v, u v, v ) con 0 u, 0 v, y S : x 3 + ay z 7 = 0 sean ortogonales en el punto (, 0, 1)

3 1 Sea f : R R una función C 3 tal que su polinomio de Taylor de orden en (1, 1) es p( = 6xy + 3y Hallar a de manera que g( = f( + a x 3 3x tenga un mínimo en (1, 1) Hallar todos los puntos en el cono parametrizado por ϕ(u, = ( 3ucos(, usen(, u) tales que su recta normal es paralela al plano de ecuación z = y 1 3 Sea π : x + 3y + 5z = 6 el plano tangente a la gráfica de f( en ( 1, 1, 1) y sea ǔ un versor tangente a la curva de nivel 9 de g( = y 3 xy + x en (, 1) Hallar la derivada direccional de f en ( 1, 1) en la dirección del versor ǔ elegido 4 Sea F : R R una función C tal que F (x + y, y + z) = 0 define implícitamente a z = f( en un entorno de (x 0, y 0, z 0 ), verificar que en (x 0, y 0 ) se cumple que: z x z y = 1 5 Sean S 1 el cilindro de eje z descripto en coordenadas cilíndricas por ϱ = 1+sen θ y S el cilindro z = x 1 Describir la curva C intersección entre S 1 y S, realizar un gráfico aproximado de C y hallar una parametrización de la misma Hallar un vector tangente a C en (0, 1, )

4 1 Sabiendo que la curva C 1 parametrizada por t (t, t, t 3 ), t (, ) y la curva C de ecuaciones x y = 0, x + z = están contenidas en una superficie S de clase C, hallar una ecuación para el plano tangente a S en (1, 1, 1) Sabiendo que el polinomio de Taylor de grado en (1, 1) de una función C 3 f : R R es p( = x x + y, calcular la derivada direccional f ((1, 1), ( /, /)) 3 Sea z = f( definida implícitamente por zx xz y 4y = 6 en un entorno de ( 1,, 1) Estudiar si z tiene extremo en ( 1, ) 4 Sea S la porción de superficie parametrizada por ϕ(u, = (usen(, u +, ucos(), 1 < u < 3, 0 < v < π Hallar un punto P en S tal que la recta normal a S en P pase por (0, 3, 0) 5 Analice si z = g(xy, x satisface la ecuación z puntos de la recta x + y = 0 x + z y = 0 en los

5 1 Dada la familia de funciones f ( = x + kxy + y siendo k una constante, mostrar que hay un único punto crítico ( x, y 0 0), común a todos los miembros de la familia y determinar todos los k que aseguren que: a) ( x, y 0 0) sea un punto de ensilladura b) en ( x, y 0 0) f alcance un mínimo local c) Puede alguna de estas funciones tener un máximo local en ese punto crítico? La ecuación F ( y, z) = f ( xy, xz + z + y ) = 0, con f C enr f (, ) = 0 define una superficie S en el entorno del punto Q = (,1,1 ) Sabiendo que f (, ) = (1, 3), hallar el punto donde la recta normal a S en Q corta al plano xy 3 3 Sea C 1 la curva parametrizada por ( t) = ( t + t + 1, t + 1) t, y C la curva 3 4 de nivel 3 de la función f ( = ax + x y + b hallar a y b para que ambas curvas se corten ortogonalmente en el punto ( 1,1 ) α [ ] 4 Sea f R y : R definida por f ( = x + b( x 1) e + 1 a) Hallar b de manera que el polinomio de Taylor de grado de f en ( 1,0) sea p ( = x + x b) Sea h : R R definida por h( = f (x y, x, hallar aproximadamente h (1,01;1,0) 5 Hallar una curva plana que pase por el punto P = (0,0,3), que esté contenida en la superficie S : z = x y + x + 3 y cuya tangente en el punto P sea paralela al vector (,,0)

6 1 Sea F R 3 : R una función C tal que F ( 0,1,3) = 1 y F ( 0,1,3) = (1,1,1 ) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la superficie 3 x S = ( y, z) R / F( y, z) e + xy = 0 en el punto ( 0,1,3 ) { } xy 3u + uv = 1 u = u( Mostrar que el sistema define en el entorno xu + yv = 1 v = v( del punto ( x 0, y0, u0, v0 ) = (1,1,1,0 ) y hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función u = u( en el punto ( 1,1,1 ) 3 Sea f R : R una función C cuyo polinomio de Taylor de orden en el punto (, 1) es p ( = 1+ x xy + x Sea h ( u, = f ( u + v, u + Hallar el valor de la derivada direccional máxima 4 1 de h en (, ) Hallar a R de modo que la recta x + z = 1 x y + z = 3 superficie parametrizada por σ ( u, = (1 + v, au + v,u con sea tangente en ( 1, 1,0) a la u 1 v 1 5 Sea la superficie S definida por ( x 1) + z = 4 hallar y parametrizar una curva C S de manera que C resulte perpendicular al vector ( 1,,3 ) en todo punto

7 1 1 Sea F ( u, = ( x( u,, y( u, ) una función en C en R tal que F ( 1, 1) = (0,3) y ( 1 (1, 1) = ( u, 1 0 Encontrar la recta tangente en ( 1, 1) a la preimagen por F de la curva de ecuación x + y = 9 Demostrar que ( e x + xz z,ln( yz)) = (0,0) define una curva C regular en un entorno del punto ( 0,1,1 ) y obtener el plano normal a C en dicho punto 3 Sea f R : R diferenciable en R tal que los vectores (,1,0 ) y ( 0,1, 1) son tangentes al gráfico de f en el punto (,3,1 ) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por (,3) 4 Dadas f ( u, = (u + v,1 con ( u, R y g R : R una función C ( R ) cuyo polinomio de Taylor de orden en el punto (,1) es p ( = 1+ x x y Calcular el valor de la derivada direccional de h = g o f en el punto ( 1,0) en la dirección que va del punto ( 1,0) hacia el (,3) 5 Hallar todos los puntos de la superficie z = ( x 1) + y cuya recta normal pasa por el origen Graficar

8 1 Hallar y graficar el dominio de la función Expresarlo en coordenadas polares f ( = 1 x y 1 x + y si x y 0 si x y < 0 a) Hallar el plano tangente al conjunto de nivel 0 de la función 3 5 f ( y, z) = x y + z en el punto P 0 = (1, 1,0) 3 3 b) Dada la curva C: 0 x x 3 y + e = 4 y + cos( z) = 0 P, está contenida en el plano hallado en a) z comprobar que la recta tangente a C en y+ x 3 Sea f ( = xe Hallar un valor aproximado de f ( 01, 398) utilizando el polinomio de Taylor de segundo orden 4 Sea f R : R una función diferenciable en R tal que el plano tangente a la gráfica de f en (,8,0) es X ( u, = (3 u, + 3v, u + con ( u, R 1 1 Sea g : R R una función C en R tal que g ( 0,1) = (,8) y Dg (0,1) = 0 1 Hallar la derivada direccional de h = f o g en ( 0,1) en la dirección del vector v = (3,4) y 1 = 9x + 9z 5 Hallar una parametrización de la curva C : y + 3 = x + z Graficar C y obtener la ecuación del plano normal a C en ( 0,,1)

9 1 1 Comprobar que la ecuación e xz + yz = 0 define z = f ( en un entorno del punto ( 1,1,1 ) Hallar una ecuación para la recta tangente a la curva intersección del gráfico de f con el plano x = y en el punto ( 1,1, f (1,1 )) Sea f R : R una función diferenciable en R de la que sólo se sabe que la curva x y = 3 es una curva de nivel de f y que f ' x (,1) = 5 Hallar la derivada direccional de f en (,1) en la dirección del vector v = (, ) 3 Dada f ( = x x y a) Hallar el dominio de f Graficarlo y expresarlo en coordenadas polares b) Determinar a de manera que la recta perpendicular al gráfico de f en x + y z = 0 ( 1, a, f (1, a)) resulte paralela a la recta de ecuación y z = 0 4 Sean h R 1 : R, h C en R y g( = ( y, sen( x ) Sabiendo que el plano tangente al gráfico de f ( = h o g en el punto ( 1,1, f (1,1 )) es x + y + z = 0, hallar h(1,0 ) Hallar un valor aproximado de ( 10) utilizando el polinomio de Taylor de y segundo orden de la función f ( = x

10 1 Sea f R : R una función diferenciable en R Hallar la recta tangente a la curva de nivel 6 de f en el punto (,1), sabiendo que el plano tangente a la gráfica de f en el punto (,1, f (,1)) es z = x 3y Sea f ( = g( x y,x con g C en R Sabiendo que el polinomio de Taylor de º orden de g en ( 0,) es p( = 3x + y + x + 3xy, hallar la recta normal al gráfico de f en ( 1,1, f (1,1 )) 3 Sea F : R R, F ( u, = ( x( u,, y( u, ) una función C en R tal que 1 1 F ( 1,) = (1,0) y JF (1,) = 1 Dada la curva C : x + y = 1, probar que la recta tangente en el punto ( 1,) a la curva preimagen de C es r : u + v 3 = 0 4 Hallar a para que las superficies: 3 S1 : σ ( u, = ( u + v, u v, v ) con 0 u, 0 v y S : x + ay z 7 = 0 sean ortogonales en el punto (,0,1 ) xy + u v yv = 5 Mostrar que el sistema define a x e y como funciones de xu + yv = 1 u y v en un entorno del punto ( 1,1,1,1 ) Calcular la derivada direccional de y = y( u, en el punto ( 1,1 ) según la dirección del vector ( 3,4)