Universidad Carlos III de Madrid

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1 Universidad Carlos III de Madrid Ejercicio Total Puntos Departamento de Economía Eamen Final de Matemáticas I 3 de Junio de 7 Duración del Eamen: horas. APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Titulación: Grupo: ) Sea la función f) = e Q), donde Q) =. Se pide: a) Representa la gráfica de f) hallando previamente el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos locales y/o globales y la imagen de f). b) Considera la función f) restringida al intervalo [, ). Dibuja la gráfica de f ), hallando previamente el dominio, la imagen y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ). Sugerencia para b: no intentar hallar la epresión analítica de f ).,6 puntos apartado a);,4 puntos apartado b). a) El dominio es toda la recta real, ecluyendo el punto =. Hay asíntota vertical en = +, pues lim = = lim f) =. + + Por otro lado, lim = = lim f) =. No puede haber más asíntotas verticales, pues la función es continua en los restantes puntos. Por otra parte, hay asíntota horizontal en, pues lim = = lim f) =. f) Análogamente, como lim = = por la regla de L Hopital) = lim f) = = no eiste asíntota horizontal ni oblícua en. ) En cuanto a la monotonía de la función, la derivamos y obtenemos que, si : f ) = f) ), de lo que se deduce que: f es creciente en,] y en [, ), pues f ) > en,) y en, ). f es decreciente en [,) y en,], pues f ) < en,) y en,). Luego f alcanza un máimo local en = y un mínimo local en =. Por lo tanto, su imagen será,] [e 4, ). Así pues, la gráfica de la función f) será, aproimadamente, como la primera figura: e 4 e 4 b) Partimos de la función f), continua y creciente en [, ) y con imagen [e 4, ). Por lo tanto, su función inversa es continua y creciente y tendría como dominio el intervalo [e 4, ) y su imagen sería el intervalo [, ). Así pues, la gráfica de la función f ) será, aproimadamente, como la segunda figura.

2 ) Sea y = f) la función definida de forma implícita cerca del punto,) a partir de la ecuación: 4y +y ) = 3. Se pide: a) Hallar las derivadas primera y segunda de la función f en el punto =,y =. b) Hallar la recta tangente y el polinomio de Taylor de orden de la función f en el punto,). Representar la gráfica de dicha función cerca de ese punto.,4 puntos apartado a;,6 puntos apartado b a) En primer lugar, derivamos la ecuación: 4y +y ) +yy ) =. Sustituyendo en dicha ecuación =,y = se obtiene: 4+8y 4 y = = y =. Derivando de nuevo la ecuación sin hacer las sustituciones: 4y +y ) +y ) +yy ) =. Sustituyendo en dicha ecuación =,y =,y = se obtiene: 8y +y ) = = 6y = = y = 3. b) La recta tangente tendrá como ecuación: y =. El polinomio de Taylor de orden tendrá como ecuación: y = + 3 ) ) Por tanto, la función implícita tendrá un mínimo local cerca del punto =, y su gráfica será, aproimadamente, así:

3 3) Sea C) = +4 la función de costes de una compañía monopolista, donde representa la cantidad en kilogramos de dicho producto. Se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a C) en =, y calcule una aproimación al valor de C,). b) Supongamos ahora que la nueva función de costes es C ) = fc)), donde f) es una función creciente y derivable tal que f) =,f ) = 3. Calcular, para la nueva función de costes, la ecuación de la recta tangente a C ) en =, y calcule una aproimación al valor de C,). Han crecido o decrecido los costes marginales en =, respecto al apartado a)?,4 puntos apartado a;,6 puntos apartado b a) En primer lugar, C ) = +4, luego C ) =. Por otro lado, como C) =, la ecuación de la recta tangente será: y = + ) Ahora, aproimando C, ) por la recta tangente, obtenemos: C,) +, ) =,5 unidades monetarias. b) En primer lugar, C ) = f C)).C ), luego C ) = f ).C ) = 3. Por otro lado, como C ) = f) =, la ecuación de la recta tangente será: y = + 3 ) Ahora, aproimando C,) por la recta tangente, obtenemos: C,) + 3, ) =,5 unidades monetarias. Obviamente, los costes marginales han crecido en =, al pasar de valer antes a valer ahora 3.

4 4) Sean a, b números reales y consideremos la siguiente función definida a trozos ae 4 be 4 si < f) = si =. Se pide: +ln+a+b) si > a) Discutir, según los valores a,b >, la continuidad de la función anterior en toda la recta real. b) Discutir, según los valores a,b >, la derivabilidad de la función anterior en toda la recta real. punto a) Para cualquiera valor de a,b > la función es continua si. Además, en =, la función es continua por la izquierda si se cumple que: lim f) = f) a b = a = b. Por otro lado, la función es continua en + para cualquier a,b >. Luego se cumple que f) es continua en todo cuando a = b >. b) Desde luego, cuando la función anterior es derivable para cualquer a,b >. En cuanto al punto =, vamos a calcular las derivadas laterales, utilizando que la función es continua en dicho punto cuando a = b. f ) = lim f ) = lim 4ae 4 +4be 4 = 4a+b) f + ) = lim f a+b) ) = lim a+b ) = +a+b). Luego la función será derivable en todo punto cuando a = b,a+b) =. En otras palabras, cuando a = b = 4

5 5) Se considera el conjunto A limitado por las gráficas de las funciones y = +,y = e y las rectas =, =. Se pide: a) Representar el conjunto A y hallar los maimales y minimales, máimo y mínimo de A, si eisten. b) Calcular el área del recinto anterior. Sugerencia para a: el orden de Pareto viene dado por:,y ) P,y ),y y. Sugerencia para b: no intentar calcular el valor pedido en forma decimal, basta dejarlo indicado.,6 puntos apartado a;,4 puntos apartado b a) La función f) = + es positiva y decreciente en el intervalo [,], y la función g) = e es negativa y creciente en el mismo intervalo pues basta comprobar que g ) = e > ). Además, como f) = > = g),f) = > e = g), el conjunto A tendrá una forma, aproimadamente, así: -,/),-/e) f g Obviamente, por el dibujo se deduce que {maimalesa)} = {,y) :,y = + } = máimo A) no eiste. {minimalesa)} = {, )} = { mínimoa)}. b) El área solicitada es la que queda debajo de la función racional y encima de la eponencial, limitada por las rectas verticales =, =. El área pedida es, por tanto: + e ))d = + +e )d Integrando de forma directa: + +e )d = ln+) e Por tanto, aplicando la regla de Barrow, se obtiene que el área pedida es: + +e )d = [ln+) e ] = ln e ) = = e +ln unidades de área.

6 6) Dada la función f) = 3 +4, definida en [,], se pide: a) Hallar el área encerrada entre la gráfica de dicha función, el eje horizontal y la recta vertical =. b) Calcular aproimadamente, mediante el polinomio de Taylor de orden de F) = ft)dt centrado en =, el área encerrada entre la gráfica de dicha función f, el eje horizontal y las rectas verticales = y =,.,4 puntos apartado a;,6 puntos apartado b a) f) es una función continua y positiva en el intervalo [,]. 3 Luego el área pedida coincide con la integral + 4d. La primitiva de f es = 4 ln+4 ). Por tanto, el área solicitada es, por la regla de Barrow, igual a: 3 + 4d = [ 4 ln+4 )] = ln7) unidades de área. 4 b) Como el polinomio de Taylor, centrado en =, de la función F) es: P) = F)+F ) )+ F ) ) entonces, P,) es una aproimación a F,) = Obviamente, F) = ft)dt =,, ft)dt, el área pedida. F ) =por el teorema fundamental del cálculo)= f) =. Y, como f ) = ) ) = ) = F ) = f ) = Por lo tanto, P) = )+ 4 ). Luego área aproimada=p,) =.,+ 4., =,55 unidades de área.