Integración Numérica

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Integración Numérica"

Transcripción

1 Métodos Numéricos: Integrción Numéric Edurdo P. Serrno Versión previ br 1 1. L integrl. Considermos el problem de clculr l integrl: If) = fx) dx donde f es un función continu. El vlor If) puede clculrse, en teorí, utilizndo l Regl de Brrow: fx) dx = F b) F ) siendo F un primitiv de f, esto es, un función diferencible tl que: F x) =fx) Si bien ls primitivs de f simpre existen, en generl, no es fácil o posible expresrl exctmente medinte fórmuls ritmétics. Pr hllr primitivs o integrles indefinids, existen diversos métodos y técnics. Por ejemplo, los cmbios de vrible, l integrción por prtes, ls substituciones trigonométrics o el uso de tbls. Sin embrgo, sólo pueden resolverse form direct y sencill csos muy prticulres. Ej: - Son inmedits ls primitivs de los polinomios, ls exponenciles o ls funciones trigonométrics. - Pr clculr: x n e x dx en necesrio plicr prtes n veces. - No contmos con un fórmul pr integrr: e x dx En generl se requieren métodos de integrción proximdos o numéricos.

2 . Métodos proximdos Consisten en reemplzr el integrndo por un función proximd, más sencill:. fx) dx Se procur que l fórmul proximd pued expresrse como un sum de integrles elementles. Ej: - Truncndo desrrollos en serie, pueden obtenerse proximciones polinomiles: siendo el verddero vlor e x dx = 1 x + x4 dx =.7667 π sin x π x dx = 1 x 6 + x4 1 y el verddero vlor es dx = Métodos numéricos. Consisten en reemplzr ls integrles medinte un número finito de sums: N k=1 s k Generlmente, ls sums son de l form: N w k fx k ) k=1 pr un red propid de nodos x k y de pesos w k. Los nodos y pesos de est sums se diseñ de modo que l integrl de polinomios de grdo gr m, se exct. En tl cso, el método se dice de orden m. Existen diverss regls de diseño. 4. Método de los trpecios. L regl simple del trpecio consisten en proximr l función integrndo por el polinomio p 1 x), de primer grdo, que interpol los dtos de los extremos,, f)) y b, fb)): p 1 x) dx

3 El polinomio de primer orden, en l form de Newton, que interpol estos dtos es: p 1 x) =f)+ fb) f) b x ) Integrndo: p 1 x) dx = = f)+ f)+ fb) f) b fb) f) b ) x ) dx tdt= b ) f)+fb) y por tnto, denotndo h = b, l regl simple de trpecios se expres: p 1 x) dx = h f)+fb) L regl compuest de los trpecios se diseñ, tomndo un red de nodos: = x 1 <x <...<x N 1 <x N = b y plicndo l regl simple en cd intervlo [x k,x k+1 ]: N 1 k=1 h k fx k )+fx k+1 ) siendo k k = x k+1 x k. En el cso especil de nodos equi-espcidos: x k+1 x k = h pr todo k l fórmul es: h ) N 1 fx 1 )+fx N ) + fx k ) k= Ej: - Tomndo h =.5, integrmos usndo trpecios. L red de nodos es: x k =,.5,.5,.75, 1 ) y plicndo l regl: e x dx e + e 1 ) =.5 + e.5) + e.5) ++e.75 ) =.743 El verddero vlor es. e x dx =

4 5. Método de Simpson. L regl simple de Simpson consiste en proximr l función integrndo por el polinomio p x), de segundo grdo, que interpol los dtos de los extremos y el punto medio,, f)), + b)/,f + b)/) y b, fb)): p x) dx Denotndo el pso: h = b y el punto medio: m = + b = + h El polinomio de segundo orden, en l form de Newton, que interpol los dtos es: fm) f) p x) = f)+ m ) fm) f) = f)+ h fb) fm)+f) x )+ x )x m) m )b ) fb) fm)+f) x )+ h x )x m) Integrndo: p x) dx = = h f)+ f)+ fm) f) h fm) f) h = h 3 f)+4fm)+fb)) x )+ t + fb) fm)+f) h fb) fm)+f) h tt h) dt x )x m) dx y l regl de proximción de Simpson es: h 3 f)+4fm)+fb)) L regl compuest de Simpson se tmbién diseñ tomndo un red de nodos: = x 1 <x <...<x N 1 <x N = b y plicndo l regl simple en cd intervlo [x m 1,x m+1 ], con m +1<N En el cso especil de nodos equi-espcidos: x k+1 x k = h pr todo k l fórmul compuest de Simpson es: h 3 fx 1 )+fx N )+ fx m 1 )+4 ) fx m ) m 1<N m<n

5 Ej: - Tomndo h =.5, integrmos usndo Simpson. L red de nodos es: x k =,.5,.5,.75, 1 ) y plicndo l regl: e x dx =.5 3 )) e + e 1 )++e.5) +4 e.5) + e.75 ) =.7469 El verddero vlor es. e x dx = Error de integrción. El error de integrción que result de plicr l regl simple de trpecios,siendo el integrndo dos veces derivble se deduce, prtir del desrrollo de Tylor: Sumndo: Integrndo: fx) = f)+f )x ) fx) = fb)+f b)x b) fx) = f)+fb)) + f )x )+f b)x b)) De modo que, teniendo en cuent que f)+fb)) + f )x )+f b)x b)) dx = hf)+fb)) + 1 f ) f b))h f b) f ) =f α)h pr lgún vlor intermedio α b. Finlmente se deduce: fx) dx = h f)+fb) Es decir, el error de l regl de trpecios simple es: 1 1 f α)h 3 E T h) = f α) h3 1 dependiendo de los vlores de l segund derivd en el intervlo. El error de integrción que result de plicr l regl simple de Simpson, siendo el integrndo cutro veces derivble, se deduce en form nálog: E S h) = f 4) α) h5 9 h5, con α b y dependiendo de los vlores de l curt derivd en el intervlo.

6 Lo errores de ls regl compuests pueden cotrse poor l sum de los vlores bsolutos de los errores simples, en cd intervlo. Teniendo en cunt que summos proximdmente N = 1 h intervlos, los errores totles disminuyen en un orden de h. Un cot del error de trpecios es es: E T h) máx α b f α) h 1 y pr Simpson: E S h) máx α b f 4) h4 9 A prtir de ests cots, se deduce que l regl de trpecios compuest es exct pr polinomios de grdo g 1, y Simpson lo es polinomios de grdo g 3. Es decir, son de métodos de orden 1 y 3 respectivmente. Ej: - Aproximmos: I = e x + cosπx) dx Utilizndo trpecios, com pso h =.1. Acotmos el error: L segund derivd del integrndo es: e x + cosπx)) =e x π cosπx)) cuy vlor máximo es: e x π cosπx) e + π Luego l cot de error es: E e + π ).1) 1 =.15 Podemos ver que l integrl exct es I = y l proximción de trpecios, I T = , con un error rel E = Otros métodos. Los métodos bsdos en l interpolción polinomil pueden extenderse pr obtener regls de myor orden. Existen métodos más precisos que resultn de combinr trpecios con psos distintos. Los métodos de cudrtur de Guss se bsn en un selección pticulr de los nodos de integrción. Ls funciones de interpolción pueden ser funciones trigonométrics, spline u otrs. Existen métodos bsdos en técnics estdístics, como el de Montecrlo.

Parte 7. Derivación e integración numérica

Parte 7. Derivación e integración numérica Prte 7. Derivción e integrción numéric Gustvo Montero Escuel Técnic Superior de Ingenieros Industriles Universidd de Ls Plms de Grn Cnri Curso 006-007 Los problems de derivción e integrción numéric El

Más detalles

Las integrales que vamos a tratar de resolver numéricamente son de la forma I = f(x)dx

Las integrales que vamos a tratar de resolver numéricamente son de la forma I = f(x)dx Cpítulo 3 Integrción Numéric 3.1. Introducción Ls integrles que vmos trtr de resolver numéricmente son de l form f(x)dx donde [, b] es un intervlo finito. Sbemos que l integrl definid (de Riemnn) de un

Más detalles

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl Integrción numéric con Mxim http://euler.us.es/~rento/ Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur.

Más detalles

Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico Segundo Cuatrimestre 2017

Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico Segundo Cuatrimestre 2017 Universidd de Buenos Aires - Fcultd de Ciencis Excts y Nturles - Depto. de Mtemátic Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico Segundo Cutrimestre 17 Práctic N 8: Integrción Numéric - Métodos Multipso

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

C alculo Octubre 2010

C alculo Octubre 2010 Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem

Más detalles

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo:

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo: METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Complementos de Mtemátics, ITT Telemátic Tem 3. Deprtmento de Mtemátics, Universidd de Alclá Índice 1 básic 2 Obtención de ls regls de cudrtur 3 Error de cudrtur 4 Regls compuests Introducción Integrl

Más detalles

Integración Numérica. La regla del trapecio.

Integración Numérica. La regla del trapecio. Integrción Numéric. L regl del trpecio. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

Integración Numérica. Las reglas de Simpson.

Integración Numérica. Las reglas de Simpson. Integrción Numéric. Ls regls de Simpson. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Profesor Francisco R. Villatoro 8 de Marzo de 1999

Profesor Francisco R. Villatoro 8 de Marzo de 1999 Octv relción de problems Técnics Numérics Profesor Frncisco R. Villtoro 8 de Mrzo de 1999 Ejercicios de los tems de derivción e integrción numérics. 1. Un regl de integrción gussin o de Guss se define

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2017-2018 5.2.1. L integrl como medid de áres. L definición de integrl se hce con un procedimiento

Más detalles

Clase No. 18 (Segunda parte): Cuadratura Gaussiana MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

Clase No. 18 (Segunda parte): Cuadratura Gaussiana MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10 Clse No. 18 (Segund prte): MAT 251 Cudrtur Gussin Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 15.10.2012 1 / 10 Introducción Se un función f : [, b] R continu. Dd un prtición = x 0 < x 1 < x 2 < < x

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

Integración numérica I

Integración numérica I Tems Regl del rectángulo. Regl del trpecio. Cpciddes Conocer y plicr l regl del rectángulo. Conocer y plicr l regl del trpecio. 1.1 Introducción Como y se h visto, pr clculr el vlor excto de un integrl

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

Derivación e integración

Derivación e integración Cpítulo Derivción e integrción. Fórmuls de tipo interpoltorio En est sección nlizmos el problem de evlur cierto funcionl linel, L, prtir del conocimiento de funcionles lineles prticulres sobre f. Más precismente,

Más detalles

PRACTICA 7 Integración Numérica

PRACTICA 7 Integración Numérica PRACTICA 7 Integrción Numéric Fórmuls de tipo interpoltorio ) Tommos n+ puntos distintos, x i, i = 0,,..., n, del intervlo [,] ) Clculmos el polinomio de interpolción de l función f en los puntos x i 3)

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C.

Más detalles

Introducción a la interpolación y a la integración numérica

Introducción a la interpolación y a la integración numérica Tem 3 Introducción l interpolción y l integrción numéric 3.1. Introducción l interpolción Un problem que se present con frecuenci en ls ciencis experimentles y en ingenierí es trtr de construir un función

Más detalles

La integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral

La integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral Febrero, 2005 Índice generl Se f : I IR. Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I. Teorem Si F y G son dos primitivs de un mism función f en un intervlo I, entonces, / k IR

Más detalles

Clase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17

Clase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17 Clse No. 19: Integrles impropis MAT 251 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 23.1.213 1 / 17 Integrndos con singulriddes (I) Cundo el integrndo o lgun de sus derivds de bjo orden tienen un singulridd

Más detalles

Derivación e integración numéricas

Derivación e integración numéricas Cpítulo 4 Derivción e integrción numérics 4.1 Introducción A veces es necesrio clculr el vlor, L(f, que el funcionl L sign l función f perteneciente un conjunto F. Algunos ejemplos son los siguientes:

Más detalles

Examen con soluciones

Examen con soluciones Cálculo Numérico I. Grdo en Mtemátics. Exmen con soluciones. Decidir rzondmente si ls siguientes firmciones son verdders o flss, buscndo un contrejemplo en el cso de ser flss (.5 puntos): () Si f(x) cmbi

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior

Más detalles

1. Fórmulas Básicas de Newton-Cotes

1. Fórmulas Básicas de Newton-Cotes Práctic # 6 MAT-122: Cálculo Diferencil e Integrl II, Dr. Porfirio Suñgu S. 1. Fórmuls Básics de Newton-Cotes Considere f : [, b] R diferencible ls veces que se necesri según cd método. Ddo el número de

Más detalles

Integrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid

Integrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid Jesús Grcí de Jlón de l Fuente IES Rmiro de Meztu Mdrid Diferencil de un función Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible.

Más detalles

Apunte sobre. Cálculo II Licenciatura en Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Química Universidad Nacional del litoral. 1. Integración numérica

Apunte sobre. Cálculo II Licenciatura en Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Química Universidad Nacional del litoral. 1. Integración numérica Apunte sobre Integrción Numéric y Polinomios de Tylor Cálculo II Licencitur en Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Químic Universidd Ncionl del litorl 1. Integrción numéric En este tem veremos sólo dos

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Integración numérica por Monte-Carlo

Integración numérica por Monte-Carlo Integrción numéric por onte-crlo Ptrici Svedr Brrer 1 16 de julio de 28 1 Deprtmento de temátics, Universidd Autónom etropolitn-iztplp, psb@xnum.um.mx 2 Introducción Se X un vrible letori continu que tom

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Integración y Derivación

Integración y Derivación Tem Integrción y Derivción Numérics.1 Introducción Presentremos en este tem lguns técnics básics de integrción y de derivción numérics.. Integrción Numéric Se llm genéricmente Integrción Numéric l conjunto

Más detalles

f : [a, b] R, acotada

f : [a, b] R, acotada 6. Integrción 6.1 Integrl definid Problem del áre. Ejemplos: 1 3 f(x 0, x [, b] f : [, b] R, cotd Figur 1 P n = { = x 0 < x 1

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga ndlucitech Integrción Integrción Dpto. Mtemátic Aplicd Universidd de Málg ndlucitech Integrción Resumen 1 Integrción 2 Áres Volúmenes Longitudes y superficies ndlucitech Integrción Motivción Cálculo de

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene

Más detalles

Dpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3

Dpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3 Dpto. de Mtemátics. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13 Problems. Hoj 3 Problem 1. Escrib explícitmente l mtriz de iterción M del método de Jcobi. Acotndo el rdio espectrl de M por l norm infinito dé un condición

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x)

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Prticiones de un intervlo El problem del áre Tem 5: Integrción. Integrl de Riemnn El objetivo finl del tem es hllr el áre de

Más detalles

CÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12

CÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12 Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic Aplicd CÁLCULO NUMÉRICO (58 Tercer Prcil (% Jueves 7/9/ Se l fórmul de diferencición numéric f(x f(x + + f(x + f ''(x Usndo series

Más detalles

Cap ıtulo 4 Integraci on num erica

Cap ıtulo 4 Integraci on num erica Cpítulo 4 Integrción numéric Cpítulo 4 Integrción numéric Comenzremos por recordr lguns coss fundmentles sobre ls integrles. Si f(x) es un función continu en el intervlo finito I = [, b] entonces podemos

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García TEOÍA DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí 1 TEMA 4. Integrción en un vrible 4.1 Cálculo de primitivs Preliminres - Geométricmente,

Más detalles

Integrales de funciones de una variable.

Integrales de funciones de una variable. Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y f (x) y el eje OX desde un punto y fx fx hst

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: MAT 251 Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 19.10.2011 1 / 14 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos

Más detalles

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)

f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x) Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se

Más detalles

Integrales de funciones de una variable.

Integrales de funciones de una variable. Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst

Más detalles

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes.

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes. Integrción El cálculo integrl es de grn importnci en muchs áres de estudio, como l economí, l biologí, l químic, l físic y l mtemátic en generl. Ls plicciones más conocids del cálculo integrl son en: 1.

Más detalles

Cálculo de primitivas

Cálculo de primitivas Cálculo de primitivs Cmbio de vrible Cálculo de primitivs Utilizremos l notción f (x) pr denotr un primitiv de l función f. Además, busndo del lenguje, menudo hblremos de integrl de l función cundo deberímos

Más detalles

PROGRAMA. a) Presentar en forma secuencialmente lógica las materias del Cálculo Integral y el estudio de Series.

PROGRAMA. a) Presentar en forma secuencialmente lógica las materias del Cálculo Integral y el estudio de Series. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INSTITUTO DE MATEMATICAS LUISA ABURTO HAGEMAN, Secretri Acdémic del Instituto de Mtemátics Certific este, PROGRAMA Asigntur MAT 223 CALCULO 2 I DATOS GENERALES

Más detalles

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTEGRACIÓN NUMÉRICA El principio de los métodos de integrción numeric, bsdos en ls fórmuls de Newton- Cotes, consiste en justr un un polinomio un conjunto de puntos y luego integrrlo. Al relizr dichs

Más detalles

CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 2., entonces se dice que F es antiderivada de f. Siempre que f(x) esté definida.

CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 2., entonces se dice que F es antiderivada de f. Siempre que f(x) esté definida. CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD. Si f y F son funciones de, tles que F '( ) f ( ), entonces se dice que F es ntiderivd de f. Siempre que f() esté definid. Alguns veces l ntiderivd, se le llm función primitiv..

Más detalles

LaCàN. Integración numérica. Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Versión de julio de 2011

LaCàN. Integración numérica. Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Versión de julio de 2011 Integrción numéric Lbortori de Càlcul Numèric (LCàN Versión 1. 8 de julio de 11 LCàN Índice 1. Conceptos generles 3 1.1. Introducción............................ 3 1.. Plntemiento generl......................

Más detalles

Integración. Tema Integral Indefinida

Integración. Tema Integral Indefinida Tem 5 Integrción 5.1 Integrl Indefinid Definición. Se denomin primitiv de l función f(x) en un intervlo (, b) tod función F (x) diferencible en (, b) y tl que F (x) = f(x). Dos propieddes importntes que

Más detalles

Integrales Elipticas. Longitud de una Curva

Integrales Elipticas. Longitud de una Curva Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. Integrles Eliptics Longitud de un Curv Se f un función continu en [, b]. Si {t, t,..., t n } es un prtición de [, b] tenemos que en

Más detalles

15.1 Introducción 115

15.1 Introducción 115 Cpítulo 15 Integrción Numéric Resumen 15.0.3 En este cpítulo veremos un serie de técnics que se llmn métodos de cudrtur que permiten clculr integrles descomponiendo l integrl en l cudrtur numéric ms el

Más detalles

MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso ) Cuarto Curso de Ingeniero Industrial Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla

MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso ) Cuarto Curso de Ingeniero Industrial Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso 2007-2008) Curto Curso de Ingeniero Industril Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill Lección 5: Cudrtur y Derivción Numérics Introducción. Se entiende por cudrtur

Más detalles

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias. Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem

Más detalles

Integrando Derivadas. f = F (b) F (a) F (x ) = F (x i) F (x i 1 ) i. S(f, P ) F (b) F (a) S(f, P ) f = F (b) F (a) f = f(b) f(a)

Integrando Derivadas. f = F (b) F (a) F (x ) = F (x i) F (x i 1 ) i. S(f, P ) F (b) F (a) S(f, P ) f = F (b) F (a) f = f(b) f(a) Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Integrndo Derivds Denición. Un función F es un ntiderivd de un función f sobre un conjunto A si tnto F, f estn denidos

Más detalles

En general, si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas cuyas expresiones serán F k

En general, si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas cuyas expresiones serán F k º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN.-INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES El Cálculo Integrl o integrción consiste en hllr l función f() cundo se conoce su derivd f

Más detalles

Primitiva de una función.

Primitiva de una función. Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

Unidad Temática Integral definida

Unidad Temática Integral definida Integrl definid Unidd Temátic 5 5.2 Integrl definid Análisis Mtemático (Ingenierí Informátic) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Informátic Universidd Politécnic de Vlenci S. Cmp, J.A. Conejero y

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

Función no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integración. f (x) d x = lim

Función no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integración. f (x) d x = lim Función no Acotd en uno o en los dos etremos del Intervlo de Integrción Si f () está definid sobre (, b] y si f () cundo, se define f () d = lim f () d ε + +ε Si f () está definid sobre [, b) y si f ()

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de una integral definida b I =

En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de una integral definida b I = CAPÍTULO. INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN En este cpítulo estudiremos lgunos métodos numéricos pr estimr el vlor de un integrl definid I fd () Integrl en l cul el intervlo de integrción [, ] es finito,

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

1. Introducción a la interpolación

1. Introducción a la interpolación 1 Tem 4 Introducción l interpolción y l integrción numéric 1. Introducción l interpolción Un problem que se present con frecuenci en ls ciencis experimentles y en ingenierí es trtr de construir un función

Más detalles