) para toda permutación (p p 1 p

Transcripción

1 09 Elena J. Martínez do cuat. 004 Análss de la varanza de dos factores El problema anteror consderaba la comparacón de muestras para detectar dferencas entre las respectvas poblacones. En el modelo de aleatorzacón N ndvduos son asgnados al azar a uno de tratamentos. Sn embargo, las dferencas entre tratamentos podrían verse oscurecdas por la varabldad excesva entre los ndvduos dentro de los grupos. Este problema puede resolverse dvdendo a los suetos en subgrupos homogéneos o bloques y realzando las comparacones entre los bloques. Se trata de una extensón del problema de muestras apareadas. El dseño que consderaremos ncalmente es el dseño en bloques completamente aleatorzado con una observacón por celda. Se tenen Nn suetos dvddos en n bloques y los suetos, dentro de cada bloque, se asgnan al azar a uno de los tratamentos. Otro eemplo de aplcacón de este dseño es el problema de medcones repetdas, en cuyo caso, el sueto es el bloque y se realzan medcones sobre cada sueto. El modelo muestral puede defnrse de dos formas: r ) X ( X,..., X ) son n v.a. ndependentes con dstrbucón F ( x θ,..., θ ) y x F (,..., ) ( x,..., x x x F ) para toda permutacón (p p p,...,p ), o sea que X,...,X son caneables. ) X ~ F ( x θ ), F Ω o para,..., y,..., n. Es decr que F es la dstrbucón de las observacones del -ésmo bloque y, dentro del bloque θ es la medana del -ésmo tratamento. Queremos testear H o : θ θ... θ vs H : exste al menos un par (,) tal que θ θ est de Fredman (973): Sea ( X ) el rango de X entre que es el rango de X dentro de su bloque. Entonces X,..., X. Es decr n. es la suma de los rangos correspondentes al tratamento. Esquemátcamente, colocando como columnas los tratamentos y los bloques (suetos) como flas: 09

2 0 Elena J. Martínez do cuat n n n... n Bao H o, y suponendo que no hay empates, conocemos la dstrbucón de.,...,. pues P( s) s Entonces, P( s, l t) ( ) s t l + E( ) V ( ) + cov(, l ) s l y por lo tanto + ) ) + ) E(. ) Var(. ) cov(.,. l ) Fredman propuso el sguente estadístco:. E(. ) c N Var(. ) s l donde los c N se elgen de manera que el estadístco convera, bao H o a una dstrbucón. χ El estadístco toma la forma. + ) /. ( ) ( + ) n n 3 n ( + que, bao H o, tene dstrbucón asntótca χ con - grados de lbertad. Se rechazará H o s ) 0

3 Elena J. Martínez do cuat. 004 > χ, α En caso en que haya empates, debe hacerse una modfcacón al estadístco del test de n + ) Fredman. Sean A C 4 Se defne el estadístco modfcado: ( ) A. C nc ( ) + ). A C S A C se consdera que se está en la regón crítca y se rechaza H o. Otros estudos (Iman y Davenport, 980) recomendan utlzar, no, sno el estadístco del test clásco de análss de la varanza calculado sobre los rangos, que se puede expresar como funcón del estadístco : ( n ) ) Bao H o, tene dstrbucón F con (-) y (n-)(-) grados de lbertad. Se rechaza H o s. > F( ),( )( n ),α Eemplo: amas de casa son selecconadas para partcpar en un expermento de sembra. A cada una de ellas se le pde que seleccone cuatro parcelas déntcas en su ardín y plante 4 tpos dstntos de césped, uno en cada parcela. Después de certo perodo, se les pde que ordenen los 4 tpos de césped por orden de preferenca, asgnando el número al césped menos preferdo, al sguente, etc. La hpótess nula mplca que no hay dferencas entre las preferencas de los tpos de césped. Los resultados obtendos son los sguentes: Ama de casa Césped

4 Elena J. Martínez do cuat. 004 Como hay empates, calculamos el valor del estadístco modfcado A C y obtenemos p-valor P ( χ > 8.097) hpótess nula. Calculemos el estadístco. 3 (8.097) (3) Por lo tanto, a nvel 0.05, se rechaza la Como la regón crítca de nvel 0.05 de la dstrbucón F con 3 y 33 grados de lbertad corresponde a valores del estadístco mayores que.90, se rechaza la hpótess nula. El correspondente p-valor es: p-valor P(F 3,33 > 3.9) Procesamento con S-PLUS: Los datos se ngresaron en un data set denomnado cesped que contene 3 varables: tpo (grupos o categorías), ama (bloque) y pref. Se debe especfcar cuál es la varable en estudo, qué varable defne el agrupamento y cuál el bloque.

5 3 Elena J. Martínez do cuat. 004 S-PLUS no utlza el estadístco sno : Fredman ran sum test data: pref and tpo and ama from data set cesped Fredman ch-square , df 3, p-value alternatve hypothess: two.sded Comparacones múltples: Cuando se rechaza H o, es posble realzar tests de comparacones múltples en base a.,...,.. En efecto, bao H o, Var.. (.. ) d N(0,) + ) sendo Var(.. ) Var(. ) cov(.,. ). 6 Entonces, dremos que θ es sgnfcatvamente dstnto de θ a nvel global α s z.. ' α / + ) 6 α con α ( ) Conover sugere otro método. Dremos que θ es sgnfcatvamente dstnto de θ a nvel global α s.. t ( )( n ), α / ( na. ) ( )( ) n En este caso, el nvel α es el msmo que el utlzado en el test de Fredman. La ecuacón anteror puede escrbrse en funcón de : /.. t ( )( n ), α / ( A C ) n ( )( n ) ) / 3

6 4 Elena J. Martínez do cuat. 004 S no hay empates, A + )( ) / 6 y A C + )( ) /. + Eemplo: Dado que en el eemplo anteror, se rechazó H o a nvel 0.05, nteresa detectar cuáles son los tpos de césped que dferen en cuanto a la preferenca. Aplcaremos el procedmento sugerdo por Conover. El valor crítco 0.05 de la dstrbucón t con ()(3) 33 grados de lbertad es.036, entonces t / ( )( n ), α / ( na. ) ( )( ) n.49 El césped tpo resulta ser sgnfcatvamente dferente de los tpos y 3 y no hay otra dferenca sgnfcatva. 4