1º Bachillerato Matemáticas I Tema 1:Números Reales Ana Pascua García 1.1 Clasificación

Transcripción

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2 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí. Clsificció El cojuto de los úmeros reles, R, es el formdo por todos los úmeros rcioles todos los irrcioles: R Q U I N Ú RACIONALES M E R O S R E A L E S R IRRACIONALES ENTEROS POSITIVOS Z NATURALES N CERO ENTEROS Z ENTEROS NEGATIVOS Z Q Propis FRACCIONES Impropis FRACCIONARIOS Ectos DECIMALES Puros Periódi cos Mitos DECIMALES co ifiits cifrs decimles o periódicos ; ; 5... Número úreo, φ, es l rzó etre l digol de u petágoo regulr su ldo + 5 φ, NÚMEROS TRASCENDENTES : so úmeros reles que o so solució I de igu ecució poliómic de coeficietes rcioles. Número π,595..., es l rzó etre l itud de l circufereci su diámetro Número de Euler, e, , es l eperios prece e muchos procesos iológicos, químicos, físicos... + se de los ritmos Vídeo Número e:

3 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí. Números rcioles El cojuto de los úmeros rcioles eglo mucho más que ls frccioes propimete dichs, por eso es importte distiguir etre úmero rciol frcció. m Llmremos frcció l cociete, siedo m, Z ; 0 Diremos que u úmero es rciol si puede epresrse e form de frcció, por ejemplo, 5, -7 ó so úmeros rcioles, uque su epresió o se l de u frcció. Epresió deciml de u úmero rciol Culquier úmero rciol puede epresrse e form de úmero deciml, st co dividir el umerdor etre el deomidor de l frcció socid él. El resultdo puede ser: Número deciml ecto, co u úmero fiito de cifrs decimles. Ej: /0,5 Número deciml periódico, co u úmero ifiito de cifrs decimles, que se repite prtir de u determido lugr. Ls cifrs que se repite form el período. Diremos que el úmero es periódico puro si ls cifrs se repite justo cotiució de l com será periódico mito si h cifrs decimles tes del período, dichs cifrs form el teperíodo. Ejemplos: 5/ 8, ) (periódico puro) /5, ) ; (periódico mito) Culquier úmero deciml ecto o periódico es u úmero rciol puede epresrse e form de frcció irreducile, dich frcció se deomi frcció geertriz. Recuerd cómo se oteí l frcció geertriz: Si es u úmero deciml ecto, e el umerdor de l frcció prece ls cifrs del úmero deciml si com e el deomidor, l uidd seguid de ttos ceros como cifrs decimles pose el º. cifrs del úmero deciml si com l uidd seguid de ttos ceros como cifrs decimles pose el º Si es periódico, cifrs del úmero si com i período - cifrs situds tes del período ttos ueves como cifrs teg el período seguidos de ttos ceros como cifrs del teperíodo

4 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí. L rect rel. Represetció gráfic Propiedd: Etre dos úmeros rcioles culesquier eiste ifiitos úmeros rcioles, por eso se dice que Q es u cojuto deso. Demostrció: Si, Q, <, st cosiderr el puto medio de, defiimos otro + úmero rciol c, que estrá compredido etre mos. Cogiedo el puto medio de c plicdo reiterdmete el procedimieto podemos oteer ifiitos úmeros rcioles. Si emrgo, los úmeros rcioles o lle completmete l rect, se puede ecotrr sore ell multitud de putos que se correspode co úmeros irrcioles. Así pues eiste u correspodeci perfect etre los úmeros reles los putos de l rect. Est rect recie el omre de rect rel. El cojuto de los úmeros reles está ordedo, esto es: Ddos dos úmeros reles culesquier, se dice que si solo si 0. Est relció permite defiir trjr co sucojutos de úmeros reles que tiee u iterpretció geométric e l rect rel, que so los itervlos, semirrects etoros.. Vlor soluto El vlor soluto de u úmero rel coicide co el propio úmero si es positivo o cero, es igul su opuesto si es egtivo. Se represet por si si 0 < 0 El vlor soluto de u úmero rel tmié represet l distci e l rect rel del puto que represet ese úmero el cero.

5 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí.5 Itervlos, semirrects etoros: Not: Si queremos omrr u cojuto de putos formdo por dos o más de estos itervlos usremos el sigo U (uió) etre ellos Etoros: NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Etoro E(, r)(-r, +r) { R / < r} ierto Etoro cerrdo Etoro reducido E[, r][-r, +r] { R / r} E*(, r)(-r, +r) -{} { R / < r} { } 5

6 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí. RADICALES.. Defiició propieddes Se defie ríz eésim de u úmero rel se escrie u úmero tl que. Ejemplo: 8 que 8 A se le llm rdicl de ídice rdicdo. Te e cuet que los rdicles so ríces idicds o clculds. De l mism form que ls frccioes, se utiliz pr evitr mejr epresioes co ifiits cifrs decimles. Es importte teer e cuet el úmero de ríces que podemos ecotrros, depediedo del rdicdo el ídice del rdicl. Puedes oservrlos clrmete e l siguiete tl. Rdicdo Ídice Nº de ríces reles > 0 0 < 0 Pr Impr Pr o impr Pr Impr Dos opuests U positiv U ríz ul Si ríz rel U ríz egtiv Epresioes rdicles ± 0 0 Ejemplo 8 que 8 que ( ) que ; 0 0 que o es rel o es rel porque igú úmero rel l cudrdo es egtivo 8 8 que ( ) 8 Form epoecil de los rdicles U rdicl puede epresrse e form de poteci de epoete frcciorio que p p que p p p p Ejemplos: 5 5 Epresr u rdicl e su form epoecil, os udrá demostrr ls opercioes co rdicles, trjdo co ls propieddes coocids de ls potecis.

7 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí.. Propieddes opercioes co rdicles: Simplificr u rdicl Producto de rdicles Propiedd Demostrció Ejemplo p mp m Si 0, p mp p m mp m ( ) form ep oecil prop. potecis Osérvese que e el cso de rdicles de distito ídice, previmete h que reducir ídice comú, que será el m.c.m. de los ídices de los rdicles. (De l mism form ocurrirá pr el cociete de rdicles) Cociete de rdicles Poteci de : p : : : : form ep oecil prop. potecis ( : ) m m p ( ) p p m m p u rdicl ( ) ( ) Ríces de ríces Etrcció e itroducció de fctores de u rdicl m m + c c r r + r ( ) m form form ep oecil ep oecil m p prop. potecis m m ( ) ( ) m m prop. potecis m p

8 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí Otrs propieddes: Def: Rdicles semejtes so quellos que puede escriirse co el mismo ídice el mismo rdicdo. Ejemplo: 9 so semejtes que 9 simplificdo rdicles Sum rest de rdicles: Los rdicles sólo puede sumrse o restrse si so semejtes, e cso cotrrio, dejremos l operció idicd (de l mism form que ocurre cudo summos o restmos moomios). Ejemplo : Ejemplo : (Hemos simplificdo uo de los rdicles) Ejemplo : Necesitremos descompoer los rdicdos e fctores etrer fctores de los rdicles pr coseguir rdicles semejtes Not: El cojugdo de u iomio es l epresió que result de cmir el sigo que h etre los dos térmios. Al multiplicr u epresió por su cojugd plicremos l idetidd otle sum por difereci. ( + ) ( - ) - Vése los ejemplos del siguiete cudro: Biomio Cojugdo Producto ( + 5) ( 5) ( 5) 5 + ( 7 ) ( + 7 ) ( ) ( 7 ) 7 5 ( 5 ) ( 5 + ) ( 5) ( ) 5 Esto lo plicremos e uo de los csos de l rciolizció de deomidores. 8

9 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí.. Rciolizció de deomidores: Rciolizr u epresió que teg rdicles e el deomidor, es ecotrr otr equivlete que solo teg, lo sumo, rdicles e el umerdor. Podemos distiguir vrios csos:. Cudo el deomidor tiee u úico sumdo, que es u rdicl cudrático. E este cso pr rciolizr multiplicremos umerdor deomidor por dicho rdicl. Ejemplo : Ejemplo : ( ). Cudo el deomidor tiee u úico sumdo, que o es u rdicl cudrático. E este cso pr rciolizr multiplicremos umerdor deomidor por u rdicl que tedrá el mismo ídice, decudo pr que dicho rdicl desprezc, teiedo e cuet que. Los cálculos será más fáciles si se descompoe previmete el rdicdo del deomidor. Ejemplo: Cudo el deomidor es u iomio co rdicles de orde. E este cso multiplicremos umerdor deomidor por el cojugdo del deomidor. Ejemplo: + 5 ( 5) ( + 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5 5 9

10 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí.7 LOGARITMOS.7. Defiició Si >0,se defie el ritmo e se de u úmero N de l siguiete mer: N N O se, como el epoete l que h que elevr "" pr oteer "N". Ejemplos: 8 porque 8 ; 000 porque 0 00 ; etc... Los ritmos más utilizdos so los ritmos decimles (de se 0) los ritmos eperios (de se el úmero e ' ) Amos tiee u otció especil: 0 N N ; e N l N L N Oservció: Los ritmos eperios dee su omre l mtemático escocés Joh Neper (550-7) fuero los primeros e ser utilizdos. Al pricipio, Neper llmó "úmeros rtificiles" los epoetes, pr más trde decidirse por l plr "ritmo", compuest por ls plrs griegs os (rzó) ritmos (úmeros)..7. PROPIEDADES. E culquier se, el ritmo de vle 0. 0 El ritmo e se de vle. El ritmo de u producto es igul l sum de los ritmos de los fctores. (N M) N + M Demostrció: N N N M M M Si + NM ( N M ) + + N + M 0

11 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí El ritmo de u cociete es igul l ritmo del dividedo meos el ritmo del divisor. Si ( M N ) N - M Demostrció: N N N : M M M N : M : ( N : M ) N M El ritmo de u poteci es igul l epoete multiplicdo por el ritmo de l se de l poteci. (N ) N Demostrció N Si N N N N ( ) N El ritmo de u ríz es igul l ritmo del rdicdo dividido por el ídice de l ríz. M N N M Demostrció: Bst co epresr el rdicl como poteci, plicr de u poteci. / N N N Ejemplo: Siedo que 0'00, 0'77 que 5'5, desrroll clcul el siguiete ritmo: 5 5

12 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí.7. RELACIÓN ENTRE LOGARITMOS DE DISTINTAS BASES. CAMBIO DE BASE Qué relció h etre el ritmo de u úmero e u se "" su ritmo deciml? L clculdor cietífic solo proporcio ritmos decimles ritmos eperios. Co l fórmul de cmio de se podremos clculr u ritmo e culquier se medite ritmos decimles o eperios. N N Demostrció: N N N N N N Luego, siedo clculr ritmos decimles, semos clculr ritmos e culquier se. Ejemplos: 00 ) 00 ' 0'00 87 '975 ) 87 0'77 5 '099 ) '990 '

13 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí.8 FACTORIALES Y NÚMEROS COMBINATORIOS FACTORIAL Si es u úmero fctoril,, se llm fctoril de, se escrie!, l producto de fctores decrecietes prtir de, esto es:! (-) (-) (-) Ejemplo:! 5 70 Notció:! 0! Recuerd que! es el úmero de permutcioes de elemetos, es decir, el úmero de forms diferetes e el que se puede order ojetos. NÚMEROS COMBINATORIOS Se m, se defie el úmero comitorio m sore, se escrie : m ( m ) ( m ) ( m ) ( m + ) fctores decrecietes! Propieddes: 0 m m m m m m Recuerd que es el úmero de sucojutos de elemetos si repetir que puede etrerse de u cojuto de m elemetos. Ejemplo: Forms diferetes de etrer vocles {, e, i, o, u} 5 5! 0 0 Propiedd: Todo úmero comitorio puede epresrse como fctoriles de l m! siguiete form:! ( m )! Demostrció:

14 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS.- 0. m es el úmero de sucojutos de 0 elemetos que se 0 puede etrer de u cojuto de m elemetos. Solo lo cumple el cojuto vcío φ es el úmero de sucojutos de m elemetos que se m puede etrer de u cojuto de m elemetos. Solo h uo, el cojuto iicil. m.- m m m.- + TRIÁNGULO DE TARTAGLIA Crcterístics: Todos los elemetos de los etremos vle E cd fil los elemetos simétricos so igules Cd elemeto, slvo los etremos, se otiee sumdo los dos que tiee ecim

15 º Bchillerto Mtemátics I Tem :Números Reles A Pscu Grcí.9 FÓRMULA DEL BINOMIO DE NEWTON 5