Unidad 17 Distribuciones de probabilidad. Distribuciones binomial y normal

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Mario Plaza Olivares
hace 5 años
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1 Undad 7 Dstrbucones de probabldad. Dstrbucones bnomal y normal PÁGINA 89 SOLUCIONES. La probabldad es: 4 P(V y M) = = 8. Sabemos que P( Defectuoso) = 0,05. El número de chps que cabe esperar defectuosos es: ,05 = chps.. Sabemos que: μ=,5; σ=,45. En ( μ σ, μ+σ ) = ( 0,7;,577) hay 65 cajas defectuosas, es decr, el 8,5%. En ( μ σ, μ+ σ ) = (,779; 4,09) hay 77 cajas defectuosas, es decr, el 96,5%. En ( μ σ, μ+ σ ) = (,;5,48) hay 79 cajas defectuosas, es decr, el 98,75%. Esta dstrbucón no tene un comportamento normal. 9

PÁGINA 407 SOLUCIONES. La demostracón queda: Veamos que para se cumple : n = = + Supongamos que se cumple para = + 4 + 6 +... + = + n p p p p Veamos qué pasa para n= p+ : + 4+ 6 +.

2 PÁGINA 407 SOLUCIONES. La demostracón queda: Veamos que para se cumple : n = = + Supongamos que se cumple para = = + n p p p p Veamos qué pasa para n= p+ : p+ ( p+ ) = ( p + p) + ( p+ ) = p + p+ = ( p+ ) + ( p+ ) Luego queda probado que la gualdad es certa para todo número natural n.. La demostracón queda: Sguendo el método de la nduccón del msmo modo que en el problema anteror obtenemos : 0 Para n = + = = 4 por lo que se cumple la gualdad. p+ 0 Supongamos que se cumple para n = p: p = p+ p+ 0 p p+ p+ Veamos que para n = p+ : = + = Luego la gualdad es certa n. 94

3 . La demostracón queda: Utlzando el proceso de nduccón obtenemos : Para n = ( ) = 0 = 8 por lo que se cumple la gualdad. Para n = (4 ) = 8 = 8 por lo que se cumple la gualdad. Supongamos que se cumple para n = p: ( p ) = 8 [ ] [ ] Veamos que para = + : ( + ) = ( + ) = ( ) + Luego la gualdad es certa n. n p p p p ( ) 4( ) 4 ( ) = p + p + = p + p= + = = 4. La demostracón queda: Utlzando el proceso de nduccón obtenemos : Para n = S = a = (+ )!! =!! =!! =!( ) =! = a Por lo que se cumple la gualdad. Supongamos que se cumple para n = p: S = a + a a = ( p+ )!! p Veamos que para n = p+ : S = a + a a + a = ( p+ )!! + ( p+ ) ( p+ )! = = (+ p+ ) ( p+ )!! = ( p+ )!! p+ p p+ Luego la gualdad es certa n. p 95

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5 SOLUCIONES. La solucón queda: a) La funcón de probabldad es: Mayor nº Probabldad b) El gráfco queda: c) Los valores son: μ = = 4, σ= = ,47,4. La solucón queda: a) La funcón de probabldad es: Mayor nº Probabldad b) El gráfco queda de forma análoga al ejercco anteror. 97

6 c) Los valores son: μ = =, σ= = ,94, 44. Queda: La funcón de probabldad es: X PX ( ) Y los valores de meda y desvacón típca: 7 5 μ = =, σ= = ,6875 0,98 4. La funcón de probabldad es: Sumapuntos( X ) Probabldad P Sumapuntos( X ) Probabldad P Sus valores de meda y desvacón típca: μ = 6; σ=. 5. La solucón en cada caso queda: a) La funcón de probabldad es: Color Blanco 0 Probabldad 0,4 0,44 0,89 0,07 b) P( X ) = P( X = 0) + P( X = ) + P( X = ) = 0,4 + 0,44+ 0,89 = 0,97 c) P( X > ) = P( X = ) + P( X = ) = 0,89 + 0,07 = 0,6 98

7 6. La solucón queda: a) La funcón de probabldad es: X P ,68 0,60 0,087 0, 0,084 0,004 b) La meda y la desvacón típca son: μ= n p= 5 0, =,5; σ= n p q = 5 0, 0,7 =,05. P( X = ) = 0,087 P( X = ) = 0, P( X < ) = P( X = 0) + P( X = ) = 0,68+ 0,60= 0,58 P( X ) = P( X = ) + P( X = 4) + P( X = 5) = 0,6 7. Es una dstrbucón bnomal B ( 6; 4 5), con: a) PX ( = 4 caras) = 0,458 4 = P(cara) = y P(cruz) =. 5 5 b) P( X 4) = P( X = 4) + P( X = 5) + P( X = 6) = = 0, = Es una dstrbucón bnomal B ( 7;0,). ( = 7) = 7 0, = 0, a) P X ( ) ( ) = ( < ) = ( = 0) ( = ) = 0,7 0,7 0, = 0, b) P X P X P X P X ( ) ( ) ( ) 9. Es una dstrbucón bnomal B ( 0;0,4 ). 0 7 ( = ) = 0,4 0,6 = 0,50 La probabldad pedda es: P X ( ) ( ) 99

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9 SOLUCIONES 0. Es una dstrbucón bnomal B ( 7;0, 45). 7 4 ( = ) = 0,45 0,55 = 0,9 8 a) P X ( ) ( ) b) P( X ) = P( X = ) + P( X = 4) + P( X = 5) + P( X = 6) = P( X = 0) P( X = ) P( X = ) = = ( 0,55 ) ( 0,45) ( 0,55 ) ( 0,45) ( 0,55) 0,686 0 = c) P( X ) = P( X = 0) + P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) = = ( 0,55) ( 0, 45) ( 0,55) ( 0,45) ( 0,55 ) + ( 0,45) ( 0,55) = 0,608. La solucón queda: a) Es una bnomal b) La desvacón típca es: B 0; 4. Acertará, por térmno medo, σ= 0 =,7 4 4 μ= 0 =,5 preguntas. 4 c) La probabldad pedda es: P( X 5) = P( X = 5) + P( X = 6) + P( X = 7) + P( X = 8) + P( X = 9) + P( X = 0) = 0,076. Es una dstrbucón bnomal B 5;. La probabldad de que una famla formada por 5 hjos sean mujeres y hombres es: 5 0,5 = Entre 00 famlas cabe esperar que haya: 00 0,5 famlas con hjas y hjos.. Es una dstrbucón bnomal B ( 5;0,57 ). (al menos nña) = ( = 5 varones) = 5 0,57 = 0,96. 5 a) La probabldad es: P P X ( ) 5 ( ) = ( = 0) = 5 0,48 = 0,977 0 b) La probabldad es: P X P X ( ) 5 0

10 4. La solucón queda: I) La representacón es: f ( ) 0 x x Luego es una funcón de densdad. Árearecnto = = + a) P(0,5 x,5) = 4 4 = 0,5 b) P( x ) = = 0,5 0, + c) Px ( 0,4) =,6 = 0,96 d) Px ( = 0,65) = 0 II) La representacón es: f ( ) 0 x x Luego es una funcón de densdad. Árearecnto = = a) P(0,5 x,5) = = b) P( x ) = = c) Px ( 0,4) =,6 = 0,87 d) Px ( = 0,65) = 0 5. La solucón es: La gráfca se corresponde con la dstrbucón N(7;,5). La gráfca se corresponde con la dstrbucón N(5;,5). La gráfca se corresponde con la dstrbucón N(5;,5). a) Las plantas más altas corresponden a la dstrbucón N(7;,5). En las otras dstrbucones, la meda de las alturas concde, y en N(5;,5) están más agrupadas, respecto a la meda, que en N(5;,5). 0

11 6. Manejando la tabla de la dstrbucón normal, hallamos cada caso: a) PZ (,45) = 0,965 b) PZ (,45) = PZ ( < 0,5) = 0,5987 = 0,40 c) PZ (,45) = PZ (,45) = 0,965 = 0,075 d) P(0,5 Z,5) = PZ (,5) PZ ( 0,5) = 0,9 0,668 = 0,964 = = [ ] e) P(,5 Z 0,5) PZ ( 0,5) PZ (,5) PZ ( 0,5) PZ (,5) = 0,50 f) PZ ( 0,84) = PZ ( 0,84) = 0,7995 g) P(,45 Z 0,5) = P(0,5 Z,45) = PZ (,45) PZ ( 0,5) = 0,669 [ ] h) P(,5 Z ) = PZ ( ) PZ (,5) = PZ ( ) PZ (,5) = 0, En las tablas vemos que: a) PZ ( K) = 0,7967 K= 0,8. b) PZ ( K) = PZ ( > K) = 0,075 = 0,895 K=,4. c) PZ ( K) = PZ ( > K) = 0,075 = 0,46 K=, Tpfcamos la varable X, convrténdola en N(0,) y, posterormente, consultamos la tabla: x a) P( X 6) = P Z = ( 0,5) 0,695 = P Z = x 5 4,5 5 b) P( X 4,5) = P Z = ( 0,5) ( 0,5) 0,5987 = P Z = P Z = x 5 7, 5 c) P( X 7,) = P Z = P( Z,) 0,864 = = 5 x d) P( X 6) = P = P( Z 0,5) = 0,58 e) P(4 X 6).Imposble. 0

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13 SOLUCIONES 9. Tpfcamos la varable y consultamos la tabla. a) k= 6,76 b) k= 5, c) k=,66 0. La solucón queda: x 0 0 a) P( X ) = P 0,69 0,707 = P Z P Z = = = x b) P( X 8) = P P Z P Z 0,546 = = =. La solucón queda: x 9 9 a) P( X 8) = P 0,69 = P Z = P Z = x b) P( X 5) = P P Z P Z 0,908 = = = c) P( X ) = P Z P Z P Z P Z 0,68 = = =. La solucón es: 7 7 a) P( t ) = P Z (,,) (,) 0,864 = P Z = P Z = t 7 t 7 b) P( X t) = 0,95 P Z = 0,95 =,645 t=,95 mnutos.. La solucón queda: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) P( X 8,5) = P Z = P Z = 0,587 b) P( X 7,5) = P Z = P Z = 0,587 c) P(7 X 9) = P Z = P Z = 0,

14 4. La solucón queda: ( ) ( ) a) P(6 X 78) = P Z = P Z = 0,686 Por tanto el número de alumnos de estatura entre 6 y 78 cm es de 500 0,686 = 4,. ( ) ( ) b) P( X 86) = P Z = P Z = 0,08 Por tanto el número de alumnos de estatura mayor 86 cm es de 500 0,08 =,4. 5. Llamamos k a la nota mínma a partr de la cual se consegurá el sobresalente. Debe cumplrse: x 5,5 k 5,5 k 5,5 P 0,9,8 k 7, 4, 5, 5 = = =, 5 Para el notable ocurre de gual modo: x 5,5 k 5,5 k 5,5 P 0,7 0,55 k 6,875, 5, 5 = = =, 5 6. Es una dstrbucón bnomal B ( 60, 6) y la aproxmaremos con una dstrbucón normal. Quedaría: La probabldad es: μ= y 60 7,07 6 = σ= =. X ' 60 55,5 60 P( X 55) = P( X' 55,5) = P = P( Z 0,64) = P( Z 0,64) = 0,6 7,07 7,07 7. Es una dstrbucón bnomal B ( 50;0,9) y la aproxmaremos con una dstrbucón normal. Quedaría: μ= 50 0,9= 45 y σ= 50 0,9 0, =,. La probabldad pedda con la correccón de Yates es: 9, ,5 45 P( X = 40) = P(9,5 X' 40,5) = P Z P(,59 Z,),, = = = P, Z,59 = P Z,59 P Z, = 0, ( ) ( ) ( ) 06

15 8. Es una dstrbucón bnomal B ( 00;0,5 ) y la aproxmaremos con una dstrbucón normal. Quedaría: μ= 00 0,5= 50 y σ= 00 0,5 0,5 = 5. La probabldad pedda con la correccón de Yates es: 45,5 50 X ' 50 55,5 50 P(45 X 55) = P(44,5 X ' 55,5) = P = P(, Z, ) = ( ) P( Z ) = P Z,, = 0, Es una dstrbucón bnomal B ( 00;0,5) y la aproxmaremos con una dstrbucón normal N (5; 4,). a) La probabldad pedda es: 9,5 5 P( X 0) = P( X' 9,5) = P Z = P( Z,7) = P( Z,7) = 0,8980 4, b) Es una bnomal B ( 0;0,5) que aproxmamos a una normal N(5;,94). La probabldad pedda con la correccón de Yates, como en el apartado anteror, es: 4,5 5 P( X 4) = P( X' 4,5) = P Z = P( Z 0,6) = P( Z 0,6) = 0,974, 94 07

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