X Olimpiada Matemática Valencia 1999

Transcripción

1 X Olimpiada Matemática Valecia 999 Fase Autoómica Valecia año 999. CATEGORÍA 4-6 AÑOS PROBLEMA. Números. Halla u úmero de cuatro cifras que cumpla las siguietes codicioes: La suma de los cuadrados de las cifras de las ceteas y de las uidades es igual a 53. La suma de los cuadrados de las otras dos cifras es igual a 45. Si del úmero buscado restamos el que se obtiee al ivertir sus cifras se obtiee u múltiplo de 99 compredido etre 000 y 00. Solució: Sea N = abcd el úmero buscado. Solamete hay dos múltiplos de 99 compredidos etre 000 y 00: 99 = = 88 La úica forma de escribir 53 como suma de cuadrados es 7 53 Luego teemos que b b 7 o bie d 7 d La úica forma de escribir 45 como suma de cuadrados es Luego teemos que a 3 a 6 o bie c 6 c 3 Emparejado las solucioes se obtiee úmeros que al ivertir sus cifras y restarlos sólo e u caso se obtiee uo de los múltiplos de 99 posibles y es: a = 3 c = 6 b = 7 d = Luego el úmero buscado es N = 376.

2 X Olimpiada Matemática Valecia 999 PROBLEMA. Geometría. Halla el área y el perímetro de la parte sombreada de la siguiete figura, sabiedo que el diámetro mide 0 cm y siedo A, B y C los cetros de los arcos de circuferecia MN, MP y PN, respectivamete. Solució: Sea el área del heágoo AMBPCN. Sea el área del sector circular NCP y sea S el área de la parte sombreada que pretedemos calcular. Se cumple que: 3 = + S.

3 X Olimpiada Matemática Valecia Ahora bie, = (correspode a u águlo cetral de 0º, es la tercera 3 parte del área del círculo). Además, = 6.A, siedo A el área del triágulo equilátero de lado 0. Por el teorema de Pitágoras, h Luego: A = 0 h Por tato: = 6 A Luego: 3 = + S S = 3 = ' 35cm. 3 Cálculo del perímetro: Se observa, por simetría respecto de la recta MN, que el arco MON es igual al arco MAN. De la misma forma, llegamos a que arco NOP = arco NCP y arco POM = arco PBM. Por tato, el perímetro de la parte sombreada coicide co el perímetro del círculo, es decir, co la logitud de la circuferecia P = 0 = cm.

4 X Olimpiada Matemática Valecia 999 PROBLEMA 3. Números. La siguiete figura está formada por cuadrados blacos y egros. Tiee 7 cuadrados de achura. Si queremos hacer ua figura similar co 99 cuadrados de achura, cuátos cuadrados tedrá e total?. Solució: Eamiado casos particulares (de achura, 3, 5, 7, 9, etc), podemos costruir la siguiete tabla: Achura Nº cuadrados El térmio de la achura es +. Para hallar el térmio del Nº de cuadrados, teemos e cueta lo siguiete: E ua figura de achura 9 hay cuadrados. O sea: (+3+5+7) + 9 cuadrados. Por tato, e ua figura de achura, hay ( (3)) + () = 3 = ( ) = () + = + Si a la achura de la figura la llamamos N=, despejado obteemos N =. Por lo tato, sustituyedo e la epresió aterior, obteemos: N N + = = 4 N Es decir, e ua figura de achura N hay 99 figura de achura N=99 hay 490. N cuadrados. cuadrados. Por lo tato, e ua

5 X Olimpiada Matemática Valecia 999 PROBLEMA 4. Geometría. E u cubo de metro de arista cortamos las tres aristas que cocurre e u vértice, de forma que la secció sea u triágulo equilátero. Repetimos la operació e todos los vértices, de tal modo que el sólido resultate tega todas sus aristas iguales. A qué distacia del vértice hay que cortar la arista del cubo para obteer este sólido?. Cuál es el perímetro del sólido obteido?. Solució: Sea a la logitud de la arista del uevo sólido obteido. Sea la logitud de la parte de arista que seccioamos del cubo. Observamos e la siguiete figura que: a + =. Se cumple además que el triágulo determiado por la secció y las dos aristas del cubo que cocurre e el vértice es a la vez rectágulo e isósceles. Por tato, aplicado el teorema de Pitágoras, obteemos: a a a Sustituyedo e la epresió a + =, obteemos:. Por lo tato, despejado y racioalizado: 4 9'3cm. El úmero de aristas del uevo sólido es igual a 38 (de los vértices del cubo) más (de las aristas del cubo), es decir, 38+=36. m. Por tato, el perímetro del uevo sólido es: P = ' 5

6 X Olimpiada Matemática Valecia 999 PROBLEMA 5. Números Coloca e cada círculo u úmero compredido etre y, de forma que los seis lados de la estrella sume siempre la misma catidad. Solució: Por las codicioes del problema, si llamamos a la suma de los cuatro úmeros situados e cada lado de la estrella, debe cumplirse las siguietes igualdades: a + b + c + d = e + f + g + h = e + j + b + i = i + c + k + h = d + k + g + l = a + j + f + l =

7 X Olimpiada Matemática Valecia 999 Sumado las seis igualdades: (a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l) = 6 De dode: a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l = 3. Ahora bie, la suma a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l debe ser igual, auque posiblemete e orde distito, a la suma de los doce primeros úmeros aturales, es decir, debe cumplirse (utilizado el método de Gauss para sumar sucesioes aritméticas): a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l = = E cosecuecia, debe ser: = = 3 = 6. La suma de cada lado de la estrella debe ser igual a 6. Se trata, pues, de buscar grupos de cuatro úmeros compredidos etre y, que sume 6. Para ello utilizaremos las propiedades de simetría e la suma de los primeros: Así obteemos las siguietes sumas posibles para cada lado de la estrella: Tambié podemos obteer sumas iguales a 6 de forma o simétrica:

8 X Olimpiada Matemática Valecia Por último, hay que combiar alguas de estas 33 sumas posibles para obteer solucioes, como por ejemplo, la que se muestra e la figura siguiete:

9 X Olimpiada Matemática Valecia 999 PROBLEMA 6. Álgebra. Aa ha vedido mazaas e varias casas. E cada ua dejó la mitad de las que llevaba más media y coste que jamás partió mazaas. No recuerda e cuátas casas estuvo, pero sabe que efectuó o meos de cuatro vetas y que empezó la jorada co meos de 00 mazaas y al fializar la jorada las vedió todas. E cuátas casas vedió mazaas?. Cuátas mazaas teía iicialmete?. Cuátas vedió e cada casa?. Solució: Sea = º de mazaas que teía Aa iicialmete. Etoces: ª veta ª veta 4 3ª veta 8 4 4ª veta Y así sucesivamete. Sea el úmero de vetas realizadas. Etoces, el úmero total de mazaas vedidas es igual a: = p. Como p p, despejado resulta: p. Como, por otra parte, se vediero todas las mazaas, debe ser: Quitado parétesis y simplificado, queda:. Despejado resulta:

10 X Olimpiada Matemática Valecia 999 Como efectuó o meos de cuatro vetas, debe ser 4 y como empezó la jorada co meos de 00 mazaas, debe ser 00. Etoces: Si =4, se cumple que = 4 5. Si =5, se cumple que = 5 3. Si =6, se cumple que = Si =7, se cumple que = 7 7. Solució o válida. Por lo tato, hay cuatro posibles solucioes del problema: =4 =5 E la primera casa vedió 8 mazaas; e la seguda 4; e la tercera y e la cuarta. =5 =3 E la primera casa vedió 6 mazaas; e la seguda 8; e la tercera 4; e la cuarta y e la quita. =6 =63 E la primera casa vedió 3 mazaas; e la seguda 6; e la tercera 8; e la cuarta 4; e la quita y e la seta.