ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

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1 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I Créditos 0 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT00 o MAT00 Fecha Actualización Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum Carrera/s Todas N APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S) Calcula imágenes de funciones polinomiales, racionales y radicales. Dibuja gráficos de funciones elementales. Calcula pre-imágenes de funciones cuadráticas. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones polinomiales. NOMBRE DE LA ACTIVIDAD Aplicaciones de la función cuadrática Modalidad Presencial No Presencial Duración de la actividad (horas): Forma de trabajo: Individual Grupal - Tamaño del grupo: Recursos de información: Impreso Tecnológico Informático Lugar: Sala de clases Material de apoyo para la actividad: Laboratorio (especifique) Taller (especifique) Terreno (especifique) Otros (especifique) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación

2 FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es de la forma: números reales y a 0. f ( x) a x b x c, donde a, b y c son La gráfica de la función cuadrática f es una parábola de vértice en el punto: b b, f a a Concavidad Si a 0, entonces la parábola se abre hacia arriba. Si a 0, entonces la parábola se abre hacia abajo.

3 Soluciones de la Función de Grado Si tenemos que la función Cuadrática, de manera particular, se transforma en 0 ax bx c. Este representa el cálculo de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado (o cuadrática) y se realiza utilizando la siguiente fórmula: x b b 4 a c a Donde las dos soluciones están dadas, cada una por: x b b 4 a c a x b b 4 a c a Y que gráficamente, representan los puntos en donde la curva intersecta al eje x. Si x y x son las raíces o soluciones de la ecuación, entonces se cumplen las siguientes identidades: x x b a x x c a Naturaleza de las Soluciones de la Función de Grado Podemos ver la naturaleza de las raíces de la función con el discriminante, sea b 4 a c el discriminante. Si 0, tiene solo una raíz real, es decir x x Si 0, las raíces son reales y distintas, es decir x x Si 0, no tiene solución real, es decir x y x son números complejos. 3

4 I RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. Un fabricante determina que el ingreso en pesos, obtenido por la producción y venta de x artículos, está dado por la función: R( x) 350x 0,5x. a) Calcule el ingreso cuando se venden 00 artículos. b) Determine la menor cantidad de artículos que debe vender para que el ingreso sea de $ Un proyectil se lanza directamente hacia arriba desde el suelo. Después de transcurridos t segundos, su distancia en metros por encima del suelo está dada por la función: d( t) t 44t 6. a) Después de cuántos segundos estará el proyectil a 8 metros del suelo? b) En qué momento toca el suelo el objeto? 3. El número de millas M, que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, con una rapidez de v millas por hora, está dado por la función: M v 5 v v, para 0 v a) Calcule el número de millas que el automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, para v 0 millas por hora. b) Si el automóvil recorrió 45 millas, determine la menor rapidez alcanzada. 4. Los recargos aplicados al arriendo de cabañas durante los 90 días de la temporada estival en el club campestre Cartagua s Club se ajustan a la función R( x) 00x x, donde R es el recargo en euros y x es el día en que se registró el arriendo. a) Determine el día en que se registró el arriendo si el recargo es de.875 euros. b) Determine el recargo del día 70 de la temporada estival. 5. Las utilidades U(x) en miles de pesos de una empresa faenadora de carnes de cerdo está dada por la función U ( x) 0,0 x 4 x 5, donde x es el número de cerdos faenados. a) Determinar la utilidad obtenida al faenar 50 cerdos. b) Determinar la cantidad de cerdos faenados para que la utilidad sea de $

5 II OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA 6. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, logra una altura de acuerdo con la función h( t) 8t 3t ( h en metros, t en segundos). a) Cuánto demora en alcanzar la altura máxima? b) Cuál es la altura máxima? 7. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido durante varios minutos. Resultó que la variación de temperatura estaba dada por la función f ( x) x 6x 8, donde x representa el tiempo en minutos. a) En qué momento la temperatura del líquido fue igual a 0? b) Fue esa la temperatura mínima? 8. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 0 km/ h y menores a 50 km/ h, el rendimiento r (en km/ l ) está relacionado con la rapidez v mediante la función r( v) 0,36v - 0, 00v. a) Con qué rapidez el rendimiento será máximo? b) Cuál será ese rendimiento máximo? 9. Los registros de temperatura tomados durante un día en una zona rural se ajustan a la función T x x x, donde T es la temperatura en grados Celsius y x es la hora del día que se registró. a) Cuál fue la temperatura máxima? b) A qué hora se registró la máxima temperatura? c) A qué hora la temperatura fue de 7 Celsius? 0. En una competencia de Snowboard, la altura de saltos está determinada por la función h( t) t 8t que dura el salto., medida en metros, y donde t es el tiempo en segundos a) Cuál es la altura máxima alcanzada? b) A los cuántos segundos se alcanza la máxima altura? c) Cuál es la altura alcanzada por el deportista a los 3 segundos? d) Durante cuánto tiempo estuvo el deportista en el aire? 5

6 III GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRATICA. Los ingresos mensuales en dólares (y) de un empresario de muebles están dados por la siguiente gráfica. Si en el mes se fabrican a lo más 40 muebles y la variable x representa la cantidad de muebles que se producen al mes. Según la gráfica determine: a) Cuál es el ingreso máximo? b) Cuántos muebles se deben vender para que el ingreso sea máximo? c) Cuál es el ingreso al vender 5 muebles? d) Entre que valores fluctúan los ingresos mensuales del empresario?. En una empresa que era exitosa y donde el personal iba creciendo a medida que transcurría el tiempo, los recursos comenzaron a escasear y el personal decreció. El número de trabajadores a los t años de haber creado la empresa está dado por: P ( t) t 0t 00, (t >0). Determine la gráfica correspondiente a la función. Fundamente su respuesta. 6

7 3. Un ave se lanza desde una altura de 3 metros para obtener su alimento que se encuentra bajo el nivel del mar y la trayectoria de su vuelo está representada en el siguiente gráfico. Observando la gráfica responda las siguientes preguntas: a) En qué instante el ave ingresa al agua? b) Cuántos segundos el ave permanece bajo el agua? c) A qué altura se encuentra el ave de su presa inicialmente? d) A los cuántos segundos el ave se encuentra a 3 metros sobre el nivel del mar? 4. La empresa LUMINAR que produce y comercializa lámparas de escritorio, a determinado que la función de oferta para este tipo de lámparas está dada por: 5 O ( x) x 0, donde x es la cantidad ofrecida en miles y O(x) es el precio 8 unitario en dólares. Determine la gráfica correspondiente a la función. Fundamente su respuesta. 7

8 5. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido en grados Celsius. Al hacer el análisis resultó que la variación de temperatura estaba dada por una función matemática, donde la variable x representa el tiempo en minutos. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. 6. Un cibercafé abre su local a las del día y cierra a las 0 de la noche. El número de clientes que hay en el cibercafé en función del número de horas t que lleva abierto el local está dado por una expresión matemática. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. 8

9 7. Los ingresos mensuales (en cientos de dólares) de un empresario de máquinas electromecánicas están dados por una función donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. SOLUCIONES. a) El ingreso cuando se venden 00 artículos es de $3.500; R b) Debe vender 600 artículos.. a) El proyectil se encuentra a 8 m. del suelo después de segundo y a los 8 segundos. b) El proyectil toca el suelo a los 9 segundos. 3. a) El automóvil puede recorrer 36,67 millas. b) La menor rapidez del automóvil es de 30 millas por hora. 4. a) Los días 5 y 75 de la temporada estival tienen el mismo recargo de.875 b) El día 70 de la temporada estival tiene un recargo de.00. 9

10 5. a) La utilidad obtenida al faenar 50 cerdos es de $5.000 b) Se deben faenar 75 cerdos para que la utilidad sea de $ a) Demora 3 segundos en alcanzar la altura máxima b) La altura máxima es de 7 metros 7. a) En minutos y a los 4 minutos la temperatura del líquido fue igual a 0 b) NO (La temperatura mínima fue de bajo cero) 8. a) a 90 km/h el rendimiento será máximo b) El rendimiento máximo es 6, km/l 9. a) La temperatura máxima es de 0 Grados Celsius b) A las horas la temperatura fue máxima c) La temperatura fue de 7 Celsius a las 6 horas y a las 8 horas 0. a) La altura máxima es de 8 metros b) La altura máxima se alcanza a los segundos c) La altura a los 3 segundos es de 6 metros d) El deportista estuvo en el aire durante 4 segundos. a) El ingreso máximo es de.50 dólares. b) Se deben vender 5 muebles. c) Al vender 5 muebles el ingreso es de 450 dólares. d) Los ingresos mensuales del empresario fluctúan entre 0 y.50 dólares.. La gráfica es la correcta. 3. a) A los segundos el ave ingresa al agua. b) El ave permanece bajo el agua por 4 segundos. c) Inicialmente el ave se encuentra a 4 metros de su presa. d) A los 0 y 8 segundos el ave se encuentra a 3 metros sobre el nivel del mar. 0

11 4. La gráfica 3 es la correcta. 5. c 8, x, 4 x, f ( x) x 6x 8 6. b 0, t 0, 0 t, f ( t) t 0 t 7. b 00, x 0, 50 x, f ( x) x 00x