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1 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs Págn 9. S x es un número dferente de 0, x > 0. S x 0, x 0. Por lo tnto, no exste nngún número rel cuyo cudrdo se.. Debe ser menor que 0. Págn 0. ) Prte rel 7 Prte mgnr b) Prte rel Prte mgnr c) Prte rel 0 Prte mgnr d) Prte rel Prte mgnr 0. ) 9 7 b b b) Págn 6 b b / 5. ) Opuesto 5 Conjugdo 5 b) Opuesto π Conjugdo π c) Opuesto 6 Conjugdo 6 d) Opuesto Conjugdo e) Opuesto Conjugdo f) Opuesto Conjugdo 6. Se z b: b b; 0 0 El opuesto y el conjugdo de un mgnro puro concden. 7. ) z 6 b) z 6 c) z 6. 0 / b 0 b / Págn 9. ) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (5, 0) e) (,) f) (0, ) 0. ) 7 b) c) d) / 5 π. ) z (, ) z (, ) z (, ) z (, ) ( z) (, ) z (, ) b) L representcón es l sguente: -z (-z) z -z z c) S z b está en el prmer cudrnte, b > 0 Por lo tnto, el conjugdo z b está en el curto cudrnte y el opuesto z b en el tercero. Págn. ) 7 b) c) d) 9 9 z -0

2 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs e) 6 6 f) ) 0 b) c) 5 5 d) 5 e) f) Págn. ) b) 56 0 c) 7 d) 9 e) 0 f) 5 g) 9 h) 9 ) n 0 j) n k) n l) n 5. ) b) 5 c) d) e) 5 f) ) b) 6 c) Págn 5 7. ) ± b) ±6 c) ± d) ±5 e) ±9 f) ±5. ) b) c) b ; b b / / ; ( / ) ; ; 0; b b b 5 ; b b / 6 / ; (6 / ) 5; 6 5 ; 5 6 0; b b b 6 ; b b / 6 / ; ( 6 / ) 6; 6 6 ; -

3 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs ; b b b) r θ rc tg ( ) 5 c) r θ rc tg ( / ) d) r / 0 7 θ rc tg [ /( / ) ] 90,56. ( b) ( b) b b b b d) b ; b b / / ; ( / ) ; Págn 7. ) r θ rc tg ( / ) 60 ; 0; z (cos 60 sen 60) 60 b) r θ rc tg ( ) 5 e),7 b 0,79,7 0,79,7 b 0,79,7 0,79 0,79 0,79 b ; b 6 b 6 / / ; z (cos 5 sen 5) 5 c) r 9 θ 0 z 9 (cos 0 sen 0) 9 0 d) r θ 90 z (cos 90 sen 90) 90 e) r 6 θ 70 z 6 (cos 70 sen 70) 6 70 f) r θ rc tg ( ) 5 ( / ) ; z (cos 5 sen 5) 5 9 ; 9 0; b. ) z 9 (cos 0 sen 0) 9 z 9 b 0 5 Págn 6 9. Los mgnros puros, 90 o ben 70 mentrs que los que tenen nul su prte mgnro, 0 o ) r θ rc tg 60 b) r 5 θ rc tg ( / ), c) r θ rc tg 5 d) r 9 θ 90 e) r θ 0 f) r 6 θ 70. ) r θ rc tg ( / ) 0 b) z 5 5 (cos 5 sen 5) , 0, c) z (cos 90 sen 90) z -

4 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs c) 60 z d) 0 d) z (cos 5 sen 5) 0,966 0,59,9 0,776 Págn 9. ) 0 b) 60 c) 5 50 z d) 7 0 e) / 0 f) / 0 e) z 5 (cos 70 sen 70),5,5 9. ) 6 90 b) 0 c) ( / ) 70 d) 0 e) 60 f) 5 60 f) z 6 (cos 0 sen 0) z 6 z 5 Págn R 60 k θ 0k S k 0 θ 0 z 0 S k θ 0 z 0 S k θ 0 z 0 Págn 5. ) (cos 5 sen 5) b) (cos 90 sen 90) c),5 (cos 05 sen 05) d) cos 90 sen 90 z (cos 05 sen 05) 6. ) (cos 0 sen 0) b) 0,5 (cos 90 sen 90) 7. ) 6 0 b) R 0 60k θ 60 0k S k 0 θ 60 z 60 S k θ 0 z 0 S k θ 00 z R 0 60k θ 90 0k -

5 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs S k 0 θ 90 z 90 S k θ 70 z 70 z. ) R k θ 0 0k z z S k 0 θ 0 z 0 S k θ 60 z 60 S k θ 0 z 0 z z b) 90 R 90 60k θ 0 0k z d) R / 6 0,5 z z k θ,5 90k S k 0 θ,5 z 0,5,5 S k θ,5 z 0,5,5 S k θ 0,5 z 0,5 0,5 S k θ 9,5 z 0,5 9,5 z z z 0,5 S k 0 θ 0 z 0 S k θ 50 z 50 S k θ 70 z 70 z z e) R k θ 0k S k 0 θ 0 z 0 S k θ 0 z 0 S k θ 0 z 0 z z z c) R k θ 7k 5 z S k 0 θ z S k θ 90 z 90 S k θ 6 z 6 S k θ z S k θ 5 06 z 5 06 z f) 0 R 0 60k θ 5 90k -

6 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs S k 0 θ 5 z 5 S k θ 5 z 5 S k θ 5 z 5 S k θ 5 z 5 z z Págn 5. Undd mgnr Número mgnro b con b 0 Número complejo b con y b números reles. Sí, los complejos precen como consecuenc de que lguns ecucones de segundo grdo no tenen solucón rel. Defnendo l undd mgnr, se solucon ese problem y precen los números complejos. g) R 6 z 0 60k θ 90k S k 0 θ 0 z 0 S k θ 90 z 90 S k θ 0 z 0 S k θ 70 z 70 z h) 5 R k θ 5 0k S k 0 θ 5 z 6 5 S k θ 5 z 6 5 S k θ 55 z 6 55 z z z z z. Prte rel Prte mgnr b Opuesto b Conjugdo b. El pr ordendo (, b). 5. Sum y rest se sumn o restn ls prtes mgnrs por un ldo y ls reles por el otro. Producto se plc l propedd dstrbutv y que. Cocente se multplc y se dvde por el conjugdo del dvsor. Actvdd personl Ddo b, buscmos un número c d tl que: b c d ; b (c d) c d cd Por lo tnto: c d b cd S b : c d z z 6 cd c / d Por lo tnto: ( / d) d ; d 9 d ; -5

7 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs d d 9 0; d 0,96 c,67,67 0,96 d 0,96 c,67,67 0,96 d,67 d,67. z b Módulo longtud del vector que represent el número b Argumento el ángulo que form el vector que represent el número con el semeje rel postvo rc tg (b / ) 9. Bnómc trgonométrc y polr: z b r b ; θ rc tg (b / ) Por lo tnto, z r (cos θ sen θ) r θ Trgonométrc y polr bnómc: z r θ r (cos θ sen θ) r cos θ r sen θ 0. Form trgonométrc: z r (cos α sen α) z r (cos β sen β) z z r r [cos (α β) sen (α β)] z / z (r / r ) [cos (α β) sen (α β)] Form polr: z (r ) α z (r ) β z z (r r ) α β z / z (r / r ) α β. S el número está en form bnómc deben clculrse, en prmer lugr, el módulo r y el rgumento θ. El módulo de ls ríces enésms del número es n r. Los rgumentos son. ) Prte rel 5 θ 60k n Prte mgnr b) Prte rel Prte mgnr c) Prte rel / 5 Prte mgnr. ) donde k 0,,..., n b) c) 5 d). ) 5 6 b) c) d) 5. z b z b z b ) z b b z b) z b b z ( b b ) ( b b ) b b z z c) z ( b ) ( b ) z [ b b ( b b )] b b ( b b ) ( b ) ( b ) z z b b ( b b ) Por lo tnto, son gules. 6. ( b) b b ( b) b b b b 7. ( ) ( ) b b b. ( ) ( ) b 9. ) b) c) d) / / - / - / - -6

8 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs ) b) c) 0 0 d) 5 e) 5 5 f) 5 g) 5 h) 6 ). ) 5 7 b) c) 9 d) 6 e) f) 6. ). c ( ) b) ( ) c) (5 ) (5 ) (5 ) 0 d) 0 e) f) Por lo tnto: 7 ( ) b d c b c d c bd d c d c ( d bc) d ( d bc) ( ) c bd c bd d bc c d c d b b b c d c d c d c d c d c bd c d ( d bc) k k (k ). 5 ) k 0 k b) k 0 k c) k k k 6 Págn 5 5. ) b) 5 c) 0 d) e) n 0 f) n g) n h) n 6. ) 5 b) c) 6 d) e) ) 0 b) 7 c) ) 5 b) ( ) -7

9 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs c) 9. ) ± b) ± c) ±6 d) ±9 0. S z b es ríz cudrd del número: ) b) c) b ; b 5 b 5 / ; (5 / ) ; 5 ; 5 0;,95 b 0,7 z,95 0,7,95 b 0,7 z,95 0,7 0,7 0,7 b ; b 5 b 5 / ; ( 5 / ) ; 5 ; 5 0;,56 b, z,56,,56 b, z,56,,, b 7 ; b b / ; ( / ) 7; 7 ; 7 0; d) b z b z b 9 ; b b 6 / ; (6 / ) 9; 6 9 ; 9 6 0;,6 b,7 z,6,7,6 b,7 z,6,7,7,7. S z b r ) r θ rc tg 60 b) r 5 θ rc tg ( / ) c) r θ rc tg 5 d) r 6 θ 70 e) r 9 θ 90 f) r θ 0 g) r b ; θ rc tg (b / ), θ rc tg ( / ) h) r θ rc tg ( / ) ) r 0 0 θ rc tg 5 k k 6 k (k 9). -

10 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs Por lo tnto: k 9 5 rc tg ; 6 k k 9 ; 6 k k 9 6 k; k 5 El número que obtenemos es el y, por lo tnto, es del tercer cudrnte, con lo cul, el rgumento es en reldd 5, que tene l msm tngente que 5.. b b b ( b). ) r θ rc tg ( / ) 5, b cos 0 sen 0, c) ( ) d) (cos 5 sen 5) (, ) e) (cos 0 sen 0) (, ) f) 7 (cos sen ) 6,,9 (6,;,9) 6. ) w (cos 05 sen 05) b) w (cos 65 sen 65) c) w cos 0 sen 0 d) cos 90 sen 90 Por lo tnto, w z (cos 5 sen 5) w w b) r 5 (cos 5, sen 5,) 5, θ 0 w w 5 (cos 0 sen 0) 5 0 c) r 5 θ rc tg ( / ) 7,6 5 (cos 7,6 sen 7,6) 5 7,6 d) r θ 90 (cos 90 sen 90) 90 e) r θ rc tg ( ) 5 (cos 5 sen 5) 5 f) r θ rc tg 5 (cos 5 sen 5) 5 7. ) (cos 0 sen 0) b) (cos 60 sen 60). ) 05 b) 90 c) 6 50 d) ) 9 0 b) 0 c) 0 d) ) 6 90 b) 9 0 c) ( / ) ) 9 (cos 60 sen 60) 9 9, b) cos 5 sen 5, d) 0 e) 60 f) R -9

11 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs k θ 5 90k z z S k 0 θ 5 z 5 S k θ 5 z 5 S k θ 5 z 5 S k θ 5 z 5 z 0 z 5 z z z. ) x (cos 90 sen 90) 90 x (cos 70 sen 70) 70 z z x. 90 R 90 60k θ 0 0k S k 0 θ 0 z 0 S k θ 50 z 50 S k θ 70 z 70 b) x (cos 56, sen 56,) 56, x (cos 0,69 sen 0,69) 0,69 x x z z x. 5 R k θ 5 7k 5 z c) x (cos 60 sen 60) 60 x (cos 00 sen 00) 00 x S k 0 θ 5 z 0 5 S k θ 7 z 0 7 S k θ 9 z 0 9 S k θ 6 z 0 6 S k θ 5 z 5 0 d) x 0 (cos, sen,) 0, x 0 (cos,57 sen,57) x -0

12 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs ,57 x (cos 0 sen 0) 0 x x x x e) x / 5 ( / 5) (cos 0 sen 0) ( / 5) 0 x (cos 0 sen 0) 0 f) x (cos 5 sen 5) 5 x x (cos 5 sen 5) 5 g) x (cos 5 sen 5) 5 x (cos 5 sen 5) 5 x x x Págn 55 5.) L fronter del círculo de rdo 5 y centro O. b) El nteror del msmo círculo más l fronter. c) El exteror del msmo círculo sn l fronter. 6.Sen los números b y b: b ( b) b b Por otr prte: Por lo tnto: 5 5 Hy dos solucones: y 5 5 y 5 x x h) x (cos 0 sen 0) 0 7.En este cso, sguendo l notcón de l ctvdd nteror: 6 0 b 00 6 b b ±6 Los números son 6 y 6.. Pr obtener su opuesto debemos multplcr por. Supongmos ( b) (c d) b c bd (d bc) b; -

13 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs c bd ; d bc b bd c ; d bc b bd d b b ; d b b d b; b d b Y, por lo tnto: b b c b ± 9.) x () b b ± ( ± ) b) x (x ) 0 x 0, x c) / x x 0; ± x ± ± ± d) x / 70 º R 70 60k θ 5 0k S k 0 θ 5 z 5 z 5. ( ) ; z z z El segundo vértce está en el punto 0 cos 0 sen 0, El tercero en 0 cos 0 sen 0, 56.) Un de ls ríces está en 90 y, por lo tnto ls otrs dos están en 0 y 0 Por lo tnto, el número es b) Un de ls ríces está en 0 y, por lo tnto ls otrs dos están en 00 y 60 Por lo tnto, el número es z 56,57º 60 / 0, por lo tnto, el resto de ríces son: z 5 6,57 z 5 66,57 S k θ 5 z Por ejemplo: x 0x 9 5. (k ) k < 0; k 6k < 0; S k (, ), ls solucones de l ecucón son complejs z z ( ); z 0 cos 0 sen 0 z z z 60 cos 60 sen 60 z 5 -

14 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs z 0 cos 0 sen 0 z 0 cos 0 sen 0 z 5 0 cos 0 sen 0 z 6 00 cos 00 sen 00 Autoevlucón. ) z 5 b) z 5 c) z 5 d) z 5 -z z k k k 9k 6 k k 6 k k ( k ) ( k ) (0 0k ) ( k ) ; 60 0k 6 k k ; k k 0; k 6, k 6 ; ; k, k no son solucones de l ecucón orgnl. 5. r 7 θ rc tg ( / ) 9, z 7 (cos 9, sen 9,) 7 9, Afjo (, ) -z -z z. ) 5 b) c) 7 d). ) 6 b) 6 6. ) (cos 75 sen 75),55 5,0 b) 60 (cos 60 sen 60) z c) 60 (cos 60 sen 60) 6 5 c) d) 7 k k 6 k. k k k k k Se debe verfcr : k k 6 k k ; 7. ) 90 R 90 60k θ 7k 5 S k 0 θ z S k θ 90 z 90 S k θ 6 z 6 S k θ z S k θ 5 06 z

15 TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs z z z b) Resolvemos en prmer lugr t 6t 0 t 5, t 5 Entonces tenemos: x 5 59,0º 9,5º 09,5º b) 60 R z z k θ 0 0k S k 0 θ 0 z 0 S k θ 0 z 0 S k θ 60 z 60. ) x x z z z x 09,5º 9,5º,0,9,0,9 5 59,0º,0,9,0,9 x x 5 00,96º 50,º 0,º,0,9,0,9 5 00,96º,0,9,0,9 9,5º 09,5º 0,º 50,º 9. Ls ríces son 5 ; 5 ; 5 ; 5 El número es ,º 50,º -

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