EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I

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1 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Ejercicio 1: En este ejercicio vamos a recordar como se resuelven las indeterminaciones más importantes. En cada indeterminación se describen los primeros pasos de la resolución para que progresivamente podáis aprender los pasos a seguir. 1. lím 3x 4 6x + 1 5x 3 + 3x 2 Ind.( ) = lím 3x 4 6x+1 3x 4 x 3 x = lím 3 5x 3 +3x 2 x 3 6x x x 3 = lím 5x 3 + 3x2 x 3 x + 3 Ahora continúa, siguiendo el mismo argumento que en el ejemplo, los siguientes límites. 2. lím 2x 2 x + 5 x 2 Ind.( ) = lím 2x 2 x+5 x x 2 x = 3x 5 = 3x 2 4x 3. lím x 1 x Ind.( ) = 6x 2 + 5x 4. lím 2x 3 + x Ind.( ) = lím 6x 2 +5x x 2 2x 3 +x x 2 = 3x 3 + x lím 6x 3 2x Ind.( ) = 1

2 2 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I (3x + 1) 2 (x 2)(x + 1) 2 6. lím x 3 (1 x) 2 lím Operamos = 9 x x 4 26 x 3 36 x 2 15 x 2 x 5 2 x 4 + x 3 Ind.( ) = (3x 1) 2 x 7. lím x 3 10x Operamos = ( 3x lím x + 2 lím ) 4x3 x x 2 x 4 14 x 3 + x x 10 x 2 4 Ind.( ) = Operamos Ind.( ) =

3 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 3 ( x 3 9. lím x x 2 ) Ind.( ) = Operamos 10. lím lím lím 11. lím ( Ind.( ) 4x x) = Mult./Div.conjugado ( ) 4x x 4x x 1 4x x 1 1 = 0 4x x ( x2 4x + 5 x) Ind.( ) = Mult./Div.conjugado Multiplicamos = ( Ind.( ) 12. lím x2 + 2x x) = Mult./Div.conjugado

4 4 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 13. lím ( x4 + 6x 2 + 2x x 2 ) Ind.( ) = Mult./Div.conjugado ( 14. lím x2 + 1 x 2 Ind.( ) 1) = Mult./Div.conjugado ( ) 5x lím x 1 3x2 Ind.( ) = x + 1 Operamos

5 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 5 ( x lím x( lím e x 17. lím ( x x + 1 ) x Ind.((1) ) ) = Número e x 2 1 = e lím ) x Ind.((1) ) = Número e e lím x ( ) x 2 x x x 2 1 Ind.( ) = e 0 = 1 Operamos exp. = ( ) 3x 2x + 1 Ind.((1) 18. lím ) = 2x 1 Número e ( ) x 2 2x 2 2 Ind.((1) 19. lím ) = x 2 + x Número e

6 6 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I ( ) x 3 x 2 2 x 20. lím x Ind.((1) ) = Número e

7 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 7 Ejercicio 2: En este ejercicio vamos a repasar el estudio de las asíntotas de una función racional. Fíjate bien en la justificación del estudio y las conclusiones que se obtienen en cada paso. Los ejercicios no deben resolverse con una secuencia de símbolos matemáticos que deban ser interpretados por el lector. Antes de empezar repasa bien los tipos de asíntotas y, durante la resolución, mantente alerta a las operaciones y signos. 1. Dada la función: f(x) = 2x + 1 x 2 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio SOLUCIÓN: a) Por definición, el dominio de una función f(x) es el conjunto: Dom(f) = {x R f(x)} para este caso concreto, al tratarse de una función racional tendremos que: Dom(f) = {x R f(x)} = {x R x 2 0} como x 2 = 0 cuando x = 2 concluimos que Dom(f) = R \ {2} b) Una asíntota es una recta a la que la función se aproxima arbitrariamente en diferentes situaciones. Las diferentes asíntotas que estudiaremos serán: ASÍNTOTAS VERTICALES: Para las funciones racionales se puede presentar una asíntota vertical en los puntos que quedan fuera del dominio, siempre que en dichos puntos se produzca una discontinuidad de salto infinito. Para este caso tendremos que estudiar el límite de la función, a la izquierda y a la derecha del valor x = 2. Límite por la izquierda: f(2 2x + 1 ) = lím f(x) = lím x 2 x 2 x = si sustituimos la variable x de la función por un valor ligeramente inferior a 2, por ejemplo, 1,99 se obtiene: f(1,99) = 2 1,99+1 = 1, < 0 por lo tanto se tiene que: f(2 ) = lím x 2 2x + 1 x 2 =

8 8 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Límite por la derecha: f(2 + 2x + 1 ) = lím f(x) = lím x 2 + x 2 + x = si sustituimos la variable x de la función por un valor ligeramente superior a 2, por ejemplo, 2,01 se obtiene: f(2,01) = = 502 > 0 por lo tanto se tiene que: 2 2,01+1 2,01 2 f(2 + ) = lím x 2 + 2x + 1 x 2 = + CONCLUSIÓN: Como en x = 2 se produce una discontinuidad de salto infinito podemos concluir que la función presenta una asíntota vertical en x = 2. ASÍNTOTA HORIZONTAL: Las asíntotas horizontales se presentan en los valores de la coordenada y a los que se aproxima la función cuando x tiende a + y a. Así, para estudiar la existencia estudiaremos los límites en ambos infinitos. Límite en + : lím f(x) = lím 2x + 1 x 2 Límite en : lím f(x) = lím 2x + 1 x x x 2 Ind.( = ) 2x lím x = 2 Ind.( = ) 2x lím x x = 2 CONCLUSIÓN: El límite en ambos infinitos es igual al número 2, por lo tanto podemos concluir que se presenta una asíntota horizontal en y = 2. ASÍNTOTA OBLICUA : La asíntota oblicua, si existe, es una recta de la forma y = mx + n. donde m y n son los siguientes límites: m = lím x f(x) x n = lím x [f(x) mx] La existencia de asíntota oblicua viene condicionada por la existencia de los límites anteriores y siempre que m 0, ya que en el caso de que m = 0 tendríamos el caso degenerado de asíntota horizontal que ya fue estudiado en el paso anterior. Cálculo de m : m = lím x f(x) x 2x+1 = lím x 2 x x = lím 2x + 1 x x 2 2x Ind.( ) = lím x 2x x 2 = 0

9 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 9 CONCLUSIÓN: Como m = 0 no tenemos asíntota oblicua ya que se trata del caso degenerado de asíntota horizontal estudiado en el paso anterior. Una vez realizado el estudio de la existencia de asíntotas, y antes de pasar a la representación gráfica, debemos estudiar la posición relativa de la función respecto a las asíntotas horizontales y/o oblicuas. En este caso sólo se presenta asíntota horizontal, por lo tanto estudiaremos el signo en las proximidades de + y de de la diferencia f(x) 2 (o 2 f(x)): f(x) 2 = 2x + 1 x 2 2 Operando 2x + 1 2x + 4 = = 5 x 2 x 2 Estudiamos el signo cuando x : Si x, entonces x 2 tendrá signo negativo. Como el numerador de f(x) 2 es constantemente igual a 5, es positivo, en las proximidades de tenemos que f(x) 2 < 0. Así, cuando x tiende a podemos concluir que la función se encuentra por debajo de la asíntota horizontal. Estudiamos el signo cuando x + : Si x +, entonces x 2 tendrá signo positivo. Como el numerador de f(x) 2 es constantemente igual a 5, es positivo, en las proximidades de + tenemos que f(x) 2 > 0. Así, cuando x tiende a + podemos concluir que la función se encuentra por encima de la asíntota horizontal. Con toda la información extraída en el estudio podemos elaborar el siguiente esbozo: AHORA HAZLO TÚ

10 10 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 2. Dada la función: f(x) = x + 1 x 1 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio SOLUCIÓN: a) (Completa el razonamiento) Por definición, el dominio de una función f(x) es el conjunto: para este caso concreto... Dom(f) = {x R f(x)} Dom(f) = b) (Completa la introducción) Una asíntota es... ASÍNTOTAS VERTICALES: (Completa la introducción) Para las funciones racionales se puede presentar... Límite por la izquierda: (Completa los cálculos como en el ejemplo) f(1 ) = lím x 1 f(x) = (Completa el análisis)

11 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 11 si sustituimos la variable x de la función por un valor ligeramente f(1 ) = lím x 1 x + 1 x 1 =?? Límite por la derecha: (Completa los cálculos como en el ejemplo) f(1 + ) = lím x 1 + f(x) = (Completa el análisis) si sustituimos la variable x de la función por un valor ligeramente f(1 + ) = lím x 1 + 2x + 1 x 2 =?? (Completa la conclusión) CONCLUSIÓN: Como en x = 1... ASÍNTOTA HORIZONTAL: (Completa la introducción) Las asíntotas horizontales se presentan...

12 12 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Límite en + : (Completa los cálculos como en el ejemplo) lím f(x) = Límite en : (Completa los cálculos como en el ejemplo) lím f(x) = x (Completa la conclusión) CONCLUSIÓN: El límite en ambos infinitos... ASÍNTOTA OBLICUA : (Completa la introducción) La asíntota oblicua, si existe, es... La existencia de asíntota oblicua viene condicionada por...

13 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 13 Cálculo de m : m = lím x f(x) x x+1 = lím x 1 x x = lím x + 1 x x 2 x (Completa la conclusión) CONCLUSIÓN: Como m = 0... Ind.( = ) x lím x x = 0 2 (Completa el análisis) Una vez realizado el estudio de la existencia de asíntotas, y antes de pasar a la representación gráfica, debemos estudiar la posición relativa de la función respecto a las asíntotas horizontales y/o oblicuas. En este caso sólo se presenta asíntota horizontal, por lo tanto estudiaremos el signo en las proximidades de + y de de... Estudiamos el signo cuando x : (Realiza el análisis) Estudiamos el signo cuando x + : (Realiza el análisis)

14 14 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Con toda la información extraída en el estudio podemos elaborar el siguiente esbozo:

15 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Dada la función: f(x) = x2 x + 1 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio SOLUCIÓN: a) (Completa el razonamiento) Por definición, el dominio de una función f(x) es el conjunto: para este caso concreto... Dom(f) = {x R f(x)} Dom(f) = b) (Completa la introducción) Una asíntota es... ASÍNTOTAS VERTICALES: (Completa la introducción) Para las funciones racionales se puede presentar... Límite por la izquierda: (Completa los cálculos como en el ejemplo) f( 1 ) =

16 16 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I (Completa el análisis) si sustituimos la variable x de la función por un valor ligeramente f( 1 ) = Límite por la derecha: (Completa los cálculos como en el ejemplo) f( 1 + ) = (Completa el análisis) si sustituimos la variable x de la función por un valor ligeramente f( 1 + ) = (Completa la conclusión) CONCLUSIÓN: Como en x = 1...

17 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 17 ASÍNTOTA HORIZONTAL: (Completa la introducción) Las asíntotas horizontales se presentan... Límite en + : (Completa los cálculos como en el ejemplo) lím f(x) = Límite en : (Completa los cálculos como en el ejemplo) lím f(x) = x (Completa la conclusión) CONCLUSIÓN: El límite en ambos infinitos... ASÍNTOTA OBLICUA : (Completa la introducción) La asíntota oblicua, si existe, es...

18 18 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I La existencia de asíntota oblicua viene condicionada por... Cálculo de m : m = lím x f(x) x = lím x x 2 x+1 x = lím x 2 x x 2 + x Ind.( = ) x 2 lím x x = 1 2 CONCLUSIÓN: Como m = 1 se presentará una asíntota oblicua. Para determinarla completamente debemos calcular el valor de su coordenada en el origen n Cálculo de n : n = lím x [f(x) mx] = lím x [ ] x 2 x + 1 x = lím x x x + 1 Ind.( = ) x lím x x = 1 CONCLUSIÓN: La función presenta una asíntota oblicua en la recta de ecuación y = x 1 (Completa el análisis) Una vez realizado el estudio de la existencia de asíntotas, y antes de pasar a la representación gráfica, debemos estudiar la posición relativa de la función respecto a las asíntotas horizontales y/o oblicuas. En este caso sólo se presenta asíntota oblicua, por lo tanto estudiaremos el signo en las proximidades de + y de de f(x) (mx + n): f(x) (mx + n) = x2 x + 1 (x 1) = x2 x x + 1 = 1 x + 1 Estudiamos el signo cuando x : (Realiza el análisis)

19 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 19 Estudiamos el signo cuando x + : (Realiza el análisis) Con toda la información extraída en el estudio podemos elaborar el siguiente esbozo:

20 20 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Ejercicio 3: Ya has visto un ejemplo completo y dos ejemplos guiados del estudio de las asíntotas. Si no has entendido algo o no te queda claro algún comentario o conclusión debes repasar la teoría y/o preguntar a tu profesor. Ahora llega el momento de sistematizar el proceso. Debes ser metódico/a en la resolución de ejercicios de este tipo, los comentarios marcan la diferencia entre un ejercicio mediocre y un ejercicio perfecto, la práctica y el esfuerzo te ayudarán a reducir el tiempo de la resolución. Ten presente que lo que nunca debe faltar en tu solución es la conclusión de tu análisis. En los siguientes ejercicios debes realizar el estudio completo de la existencia de asíntotas. Debes escoger los comentarios y conclusiones que se adapten a cada caso. Utiliza el ejercicio anterior como patrón para la resolución. 1. Dada la función: f(x) = x x + 6 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio 2. (PAU Septiembre 2012) Dada la función: f(x) = 2x x 2 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio 3. (Acceso a la universidad mayores de 25 años, 2011) Dada la función: f(x) = 2x x 4 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio 4. (PAU Septiembre 2010) Dada la función: f(x) = 3x2 5x 6 x 2 x 2 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio

21 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I (PAU Junio 2010) Dada la función: x 2 f(x) = x 2 + 2x 3 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio 6. (PAU Septiembre 2011) Dada la función: f(x) = 3x2 + 4 x 2 3x + 2 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio 7. (PAU Junio 2011) Dada la función: x 2 f(x) = x 2 x 6 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio 8. (Acceso a la universidad mayores de 25 años, 2012) Dada la función: x2 f(x) = 9 x 2 a) Determinar su dominio de definición b) Estudiar la existencia de asíntotas y realizar un gráfico que exprese las conclusiones del estudio

22 22 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Ejercicio 4: En este ejercicio y en el siguiente vamos a repasar el concepto de continuidad de una función. Recuerda que una función es continua en un punto x 0 si está definida en dicho punto y los límites laterales coinciden con el valor de la función en dicho punto. En caso de no ser continua se pueden presentar discontinuidades de tipo evitable o inevitable de salto finito o infinito. Además, cuando una función es continua en todos los puntos se dice que es continua (o globalmente continua). Fíjate en el ejemplo siguiente y completa los ejemplos guiados: 1. Dada la función: 2x 1 si x < 0 f(x) = x 1 si 0 x 2 2x 5 si x > 2 a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 0 y x = 2. b) Estudiar su continuidad en todo R. SOLUCIÓN: a) Una función f(x) es continua en un punto x 0 si se cumplen las siguientes condiciones: i) f(x) está definida en x 0 (x 0 pertenece al dominio de f) ii) Se cumplen las igualdades: f(x 0 ) = lím x x 0 f(x) = f(x 0 ) = lím f(x) = f(x + x x + 0 ) 0 En este ejercicio se nos pide que estudiemos la continuidad en dos puntos x = 0 y x = 2. Analizaremos cada caso por separado: Continuidad en x = 0: En primer lugar observamos que la función está definida en x = 0 ya que la segunda de las condiciones contiene el valor 0. Veamos si los límites laterales coinciden con el valor de la función en dicho punto: Límite por la izquierda: f(0 ) = lím f(x) = lím x 0 ( 2x 1) = 1 x 0 Límite por la derecha: f(0 + ) = lím f(x) = lím x 0 + x 0 +(x 1) = 1 Valor de la función en el punto: f(0) = = 1 A la vista de estos cálculos tenemos que f(0 ) = f(0 + ) = f(0) = 1, por lo tanto concluimos que f(x) es continua en x = 0.

23 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 23 Continuidad en x = 2: En primer lugar observamos que la función está definida en x = 2 ya que la segunda de las condiciones contiene el valor 2. Veamos si los límites laterales coinciden con el valor de la función en dicho punto: Límite por la izquierda: f(2 ) = lím f(x) = lím x 1 = 1 x 2 x 2 Límite por la derecha: f(2 + ) = lím f(x) = lím 2x 5 = 1 x 2 + x 2 + Valor de la función en el punto: f(2) = 2 1 = 1 En este caso se tiene que f(2 ) f(2 + ) y ambos límites son finitos por lo tanto f(x) presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en el punto x = 2. b) Estudiar la continuidad global en todo R es analizar los puntos donde la función es continua e indicar las localizaciones de las discontinuidades y analizar su tipo. En el apretado anterior hemos analizado la continuidad en los puntos x = 0 y x = 2, veamos que ocurre en el resto de puntos: Qué ocurre cuando x < 0?: Tal y como está definida la función, si x < 0 tenemos que f(x) = 2x 1 que se trata de un polinomio y por lo tanto de una función continua (los polinomios siempre lo son) Qué ocurre cuando 0 < x < 2?: En este caso la función está definida como f(x) = x 1, de nuevo una expresión polinónica y por lo tanto continua. Qué ocurre cuando x > 2?: La función, para este rango de valores, vuelve a estar definida como un polinomio, f(x) = 2x 5, por lo que concluimos que se trata de una función continua. A la vista de este análisis y el realizado en el apartado anterior podemos concluir que: f(x) es continua en el conjunto R \ {2} f(x) es discontinua en x = 2, donde se presenta una discontinuidad inevitable de salto finito

24 24 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 2. Dada la función: x si x < 1 f(x) = x + 2 si 1 x 1 x 2 1 si x > 1 a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 0 y x = 2. b) Estudiar su continuidad en todo R. SOLUCIÓN: a) (Completa la introducción) Una función f(x) es continua en un punto x 0 si... En este ejercicio se nos pide que estudiemos la continuidad en... Continuidad en x = 1: (Completa la introducción) En primer lugar observamos que... Límite por la izquierda: (Completa los cálculos) f( 1 ) = Límite por la derecha: (Completa los cálculos) f( 1 + ) =

25 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 25 Valor de la función en el punto: (Completa los cálculos) f( 1) = (Completa la conclusión) A la vista de estos cálculos tenemos que... Continuidad en x = 1: (Completa la introducción) En primer lugar observamos que... Límite por la izquierda: (Completa los cálculos) f(1 ) = Límite por la derecha: (Completa los cálculos) f(1 + ) = Valor de la función en el punto: (Completa los cálculos) f(1) = (Completa la conclusión) A la vista de estos cálculos tenemos que...

26 26 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I b) (Completa la introducción) Estudiar la continuidad global en todo R es... Qué ocurre cuando x < 1?: (Completa el análisis) Tal y como está definida la función, si x < 1... Qué ocurre cuando 1 < x < 1?: (Completa el análisis) En este caso... Qué ocurre cuando x > 1?: (Completa el análisis) La función, para este rango de valores... (Completa la conclusión) A la vista de este análisis... f(x) es continua en... f(x) es discontinua en...

27 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Dada la función: 8 si x < 1 x+3 f(x) = x 2 + 3x si 1 x 3 x 2 si x > 3 x 2 a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 1 y x = 3. b) Estudiar su continuidad en todo R. SOLUCIÓN: Ojo en este ejercicio con los puntos que no están en el dominio a) (Completa la introducción) Una función f(x) es continua en un punto x 0 si... En este ejercicio se nos pide que estudiemos la continuidad en... Continuidad en x = 1: (Completa la introducción) En primer lugar observamos que... Límite por la izquierda: (Completa los cálculos) f(1 ) = Límite por la derecha: (Completa los cálculos) f(1 + ) =

28 28 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Valor de la función en el punto: (Completa los cálculos) f(1) = (Completa la conclusión) A la vista de estos cálculos tenemos que... Continuidad en x = 3: (Completa la introducción) En primer lugar observamos que... Límite por la izquierda: (Completa los cálculos) f(3 ) = Límite por la derecha: (Completa los cálculos) f(3 + ) = Valor de la función en el punto: (Completa los cálculos) f(3) = (Completa la conclusión) A la vista de estos cálculos tenemos que...

29 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I 29 b) (Completa la introducción) Estudiar la continuidad global en todo R es... Qué ocurre cuando x < 1?: (Completa el análisis) Tal y como está definida la función, si x < 1... Qué ocurre cuando 1 < x < 3?: (Completa el análisis) En este caso... Qué ocurre cuando x > 3?: (Completa el análisis) La función, para este rango de valores... (Completa la conclusión) A la vista de este análisis... f(x) es continua en... f(x) es discontinua en...

30 30 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Ejercicio 5: Ya has visto un ejemplo completo y dos ejemplos guiados del estudio de la continuidad local y global. Si no has entendido algo o no te queda claro algún comentario o conclusión debes repasar la teoría y/o preguntar a tu profesor. Ahora llega el momento de sistematizar el proceso. Debes ser metódico/a en la resolución de ejercicios de este tipo, los comentarios marcan la diferencia entre un ejercicio mediocre y un ejercicio perfecto, la práctica y el esfuerzo te ayudarán a reducir el tiempo de la resolución. Ten presente que lo que nunca debe faltar en tu solución es la conclusión de tu análisis. 1. Dada la función: { x 2 1 si x 2 f(x) = x + 1 si x > 2 a) Estudiar la continuidad en el punto x = 2. b) Estudiar su continuidad en todo R. 2. Dada la función: x si x < 2 f(x) = 2x 1 si 2 x < 4 5 si x 4 a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 2 y x = 4. b) Estudiar su continuidad en todo R. 3. Dada la función: f(x) = { x+2 x 1 si x 2 3x 2 2x x+2 si x > 2 a) Estudiar la continuidad en el punto x = 2. b) Estudiar su continuidad en todo R. 4. Dada la función: x 2 si x < 2 f(x) = x + 1 si 2 x 5 x 2 + 5x + 6 si x > 5 a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 2 y x = 5. b) Estudiar su continuidad en todo R.

31 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD I Dada la función: 2x + 24 si x 3 f(x) = x si 3 < x 2 x + 15 si x > 2 a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 3 y x = 2. b) Estudiar su continuidad en todo R. 6. Dada la función: { x 2 x + 6 si x < 1 f(x) = 4 si x 1 x a) Estudiar la continuidad en el punto x = 1. b) Estudiar su continuidad en todo R. 7. Dada la función: 2x 2 si x 1 f(x) = 3x si 1 < x < 1 x (x 1)2 1 si x 1 2 a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 1 y x = 1. b) Estudiar su continuidad en todo R.