Fundamentos para la inferencia. Estadística Prof. Tamara Burdisso

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1 Fundamentos para la inferencia Estadística Prof. Tamara Burdisso 1

2 Distribución muestral de la varianza muestral Hasta aquí nos ocupamos de hacer inferencia sobre la media y/o la proporción de una población. Ahora nos enfocamos en la varianza poblacional. Supongamos que extraemos una muestra de tamaño n de una población con media y varianza. Sean 1,,..., n la muestra. La varianza poblacional es la esperanza de = E ( ) Claramente es desconocida, pero ya sabemos como estimarla. Y además sabemos como obtener una estimación de n 1 = ( ) s i n 1 s se denomina varianza muestral y el desvío típico ó desviación estándar muestral i= 1 s Estadística Prof. Tamara Burdisso

3 Distribución muestral de la varianza muestral n 1 Por qué en lugar de? n Podemos probar que la esperanza de la varianza muestral, i.e. la media de la distribución muestral de la varianza muestral, converge a la varianza poblacional. Matemáticamente Notar que sólo se afirma que la media de la varianza muestral converge a la varianza poblacional. Pero nada se dijo sobre la forma de la distribución muestral de la varianza muestral. Para poder caracterizar la distribución muestral de la varianza muestral se debe saber más acerca de la distribución poblacional,...,. 1, E n ( ) = s Estadística Prof. Tamara Burdisso 3

4 Distribución muestral de la varianza muestral Si la distribución poblacional subyacente es normal puede probarse que la variable aleatoria sigue una distribución (ji o chi cuadrado) con grados de libertad. Notar que la distribución sólo está definida para valores positivos, lo cual resulta adecuado para la varianza muestral, ya que no puede ser negativa. ( ) 1 1 1) ( = = = = n i i n i i s n n 1 Estadística Prof. Tamara Burdisso 4

5 Distribución muestral de la varianza muestral La familia de está caracterizada por un único parámetro: los grados de libertad a los que llamaremos y se lo anota como k k La media y la varianza de la son E k ( ) ( = k y Var ) = k k k En nuestro caso la variable aleatoria ( n 1) s sigue una distribución n 1 Esto quiere decir que ( n 1) s n 1 E = 1 n E ( s ) = n 1 E ( ) = s Estadística Prof. Tamara Burdisso 5

6 Distribución muestral de la varianza muestral Para hallar la varianza de usamos el hecho de que s Var ( n 1) Var ( s ) = ( n 1) ( n 1) s = ( 1) n 4 Var ( s ) = 4 ( n 1) Ejemplos de k Estadística Prof. Tamara Burdisso 6

7 Funciones de densidad de la distribución chi cuadrado Estadística Prof. Tamara Burdisso 7

8 Condiciones para el buen funcionamiento del TCL Unidad 3 Parte I Estadística Prof. Tamara Burdisso 8

9 Por lo tanto, la distribución muestral de la varianza muestral s Sea la varianza muestral de una muestra aleatoria de n observaciones i.i.d. extraídas de una población con media y varianza. Entonces se tiene que: i. La distribución muestral de tiene media, i.e E ( ) = ii. La varianza de la distribución muestral de depende de la distribución de la población. Si la distribución poblacional es normal entonces Var ( s ) s 4 = n ( 1) s s iii. Si las v.as. de la distribución subyacentes son normales i.i.d., entonces ( n 1) s sedistribuyesegún una Estadística Prof. Tamara Burdisso n 1 9

10 Aplicación para la varianza muestral Se quiere someter a todos los empleados de cierta institución a una evaluación de 100 preguntas de elección múltiple. Inicialmente en un estudio piloto se someten a este test a 0 empleados elegidos al azar. Supongamos que, para la población completa de todos los empleados, la distribución del número de respuestas correctas sigue una distribución normal con varianza Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea menor que 100?. Cuál es la probabilidad de que el desvío típico muestral sea mayor a que 1? Unidad 3 Parte II Estadística Prof. Tamara Burdisso 10

11 Propiedades de los estimadores puntuales Parámetro: es una medida numérica descriptiva de una población. Su valor es casi siempre desconocido Estadístico/estimador: un estadístico es cualquier función de una muestra de datos aleatoria proveniente de una población. Estimación: una estimación es el valor numérico del estimador cuando el mismo es evaluado utilizando los datos de una muestra específica. Un estimador es una variable aleatoria, ya que hereda la aleatoriedad de la muestra aleatoria, mientras que una estimación es un número no aleatorio. Estadística Prof. Tamara Burdisso 11

12 Propiedades de los estimadores puntuales Un estimador puntual de un parámetro poblacional es una función de la muestra que genera un único valor llamado estimación puntual. Por ejemplo, la media muestral es un estimador puntual de la media poblacional, y el valor que toma para un conjunto específico de datos se llama estimación puntual Cómo hacemos para saber cual es el mejor estimador puntual de un parámetro poblacional? Existe un conjunto de criterios con los que se puede evaluar a un estimador. Tres son las propiedades deseables que debería poseer un estimador: consistencia, ausencia de sesgo e eficiencia. x Estadística Prof. Tamara Burdisso 1

13 Insesgamiento Estimador insesgado: Un estimador puntual es un estimador insesgado de un parámetro poblacional si el valor esperado del estimador es igual al parámetro que se desea estimar E( ˆ ) = ˆ Notar que lo que se está afirmando es que en promedio el estimador estima correctamente al parámetro poblacional, y no que un determinado valor de tenga que ser exactamente el valor correcto de ˆ El valor esperado de debería ser la media de los valores de para todas las muestras posibles que se puedan obtener. ˆ ˆ Estadística Prof. Tamara Burdisso 13

14 Insesgamiento La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional: E ( ) = La proporción muestral es un estimador insesgado de la proporción poblacional: La varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional: Un estimador que no es insesgado es sesgado. ˆ E ( ) S = ( pˆ ) p E = Sesgo: Sea un estimador de. El sesgo de entre su valor esperado y ; i.e. sesgo es la diferencia Por lo tango el sesgo de un estimador insesgado es cero. ˆ ( ˆ ) = E( ˆ ) Estadística Prof. Tamara Burdisso 14

15 Insesgamiento Estadística Prof. Tamara Burdisso 15

16 Eficiencia Es deseable que un estimador sea insesgado, pero puede ocurrir que se disponga de más de un estimador insesgado para un mismo parámetro (p.ej. la media y la mediana bajo distribución normal, ambos son estimadores inesgados de ). Cómo elijo en este tipo de situaciones? Lo lógico sería quedarse con aquel estimador que este más concentrado alrededor del parámetro poblacional que se desea estimar. Surge entonces la eficiencia de un estimador de la mano de la varianza como medida de concentración Estadística Prof. Tamara Burdisso 16

17 Eficiencia Si existen varios estimadores insesgados de un mismo parámetro, el estimador insesgado que tiene la mínima varianza, es el estimador más eficiente, o el estimador insesgado de mínima varianza. Sean 1 dos estimadores insesgados de, basados en el mismo tamaño de muestra. Se dice entonces que ˆ ˆ 1. es más eficiente que si 1 ˆ y ˆ ˆ var. La eficiencia relativa de con respecto a es el cociente entre sus varianzas; i.e. var( ˆ ) 1 eficiencia relativa = var ˆ 1 ( ˆ ) var( ˆ ) 1 ˆ ( ) Estadística Prof. Tamara Burdisso 17

18 Ejemplo: estimadores insesgados rivales x x,..., x n Sea 1, una muestra aleatoria estraída de una población normal con media y varianza Se debe utilizar la media muestral o la mediana muestral para estimar la media poblacional? Asumimos que la población sigue distribución normal y es de gran tamaño en comparación con el tamaño de la muestra, n. La media muestral es un estimador insesgado de, y la mediana muestral también es insesgada. Sus varianzas son: var ( ) = n eficiencia var relativa = ( mediana ) Estadística Prof. Tamara Burdisso ( mediana ) var var ( ) = n = 1,57 = 1,57 n 18

19 Sesgo e eficiencia Unidad 3 Parte II 19 Estadística Estadísca Prof. Tamara Burdisso

20 Propiedades de algunos estimadores Parámetro poblacional Media µ Estimador puntual Propiedades Insesgado, de máxima eficiencia (suponiendo la existencia de normalidad) Media µ Mediana Proporción P pˆ Insesgado (suponiendo la existencia de normalidad) pero no de máxima eficiencia Insesgado de máxima eficiencia Varianza σ S Insesgado, de máxima eficiencia (suponiendo la existencia de normalidad) Estadística Prof. Tamara Burdisso 0