Propiedades de la funcion de distribucion empirica. Propiedades de la Función de distribución Empírica:

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Carolina Alarcón Guzmán
hace 5 años
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1 Propiedades de la fucio de distribucio empirica Propiedades de la Fució de distribució Empírica: a. Fˆ es creciete de 0 hasta 1. b. Fˆ es ua fució escaloada co saltos e los distitos valores de X 1, X,..., X. c. E[ Fˆ (t)] = F(t). d. var[ Fˆ (t)] = F(t) [1 - F(t)] /. e. F (x) F(x) as (co probabilidad 1 ). (Ley de los grades úmeros). La Ley debil de los grades umeros es similar a covergecia e probabilidad. La ley fuerte de los grades umeros es similar a covergecia casi e todas partes. Segú el teorema de Givleko-Catelli la covergecia es uiforme. F ( x) F( x) f. se distribuye aproximadamete como ua ormal estádar F( x)(1 F( x)) cuado es grade (Teorema del Limite Cetral). Para las pruebas ver Rohatgi. A itroductio to probability ad Mathematical Statistics. Propiedad: Sea g cualquier fució de valor real y Fˆ la fució de distribució empírica basada e la muestra x 1,x,.x. Etoces g( x) dfˆ g( xi ) i= ( x) = 1 El método de estimació plug-i (por sustitució) El estimador plug-i del parámetro θ=t(f) es defiido por ˆ θ = T ( Fˆ ) e otras palabras el estimador de la fució θ=t(f) de la fució de distribució F es la misma fució evaluada e la distribució empírica. Ejemplo. Probar que el estimador plug-i de θ = E F (X ) es X. Puesto que θ = ( X ) = xdf( x) etoces el estimador plug-i será E F X i i θ ˆ =1 = E x = xdf x = = X Fˆ ( ) ˆ ( )

2 El estimador plug-i es bueo si la úica iformació que se tiee de la distribució F es la muestra tomada. Si se tiee iformació adicioal acerca de F, como por ejemplo que es Biomial, Poisso, Normal etc. etoces el estimador plug-i pierde algo su importacia. El error estádar de la media muestral Asumamos que la variable aleatoria X tiee ua distribució F co valor esperado µ F =E F (X) y co variaza σ F = VAR F ( X ) = EF [( x µ F ) ] Si se toma la muestra aleatoria X 1,..X, etoces la media de la muestra X i i= X = 1 σ F tiee media E (X ) =µ F y variaza VAR (X ) =. La prueba se basa e la liealidad del valor esperado y e la idepedecia de las variables aleatorias X i s El error estádar de la media muestral represetado por se F (X ), o simplemete se (X ), es la raíz cuadrada de la variaza de X. Esto es, sef ( X ) = σ F / E muchos textos el térmio error estádar es usado para represetar u estimado de la desviació estádar de u estadístico. El Teorema del Limite Cetral (TLC). Asumiedo ciertas codicioes bie geerales acerca de la distribució F etoces la distribució de la media muestral X será aproximadamete ormal cuado el tamaño de muestra es bastate grade. Es decir, X N( µ F, σ F / ) Usado ua tabla de la ormal estádar se obtiee Pr ob( X σ F σ F µ F < ).683 y Pr ob( X µ F < ). 954 Así que aproximadamete se espera que X se desvíe de la media poblacioal µ F a ua distacia meor de ua desviació estádar u 68.3% de las veces y se desvíe e meos de dos desviacioes estádar u 95.4% del tiempo. El error estádar de la media y de u estimado e geeral da ua buea idea de su precisió. Ejemplo: El siguiete programa e R ilustra el Teorema del limite cetral usado muestras de tamaño 9 de ua població cosistete de 0 elemetos > pob=c(,5,9,1,17,1,4,33,37,45,39,34,7,3,15,13,1,8,4,) > mea(pob)

3 [1] 19.1 > var(pob) [1] > muestras=matrix(0,10000,9) > for(i i 1:10000){muestras[i,]=sample(pob,9,replace=T)} > xbars=apply(muestras,1,mea) > mea(xbars) [1] > var(xbars) [1] > var(pob)/9 [1] > # Haciedo los histogramas de la poblacio y de las medias muestrales > par(mfrow=c(1,)) > hist(pob,mai="histograma de la poblacio") > hist(xbars,mai="histograma de las medias") > pob=c(,5,9,1,17,1,4,33,37,45,39,34,7,3,15,13,1,8,4,) > mea(pob) [1] 19.1 > var(pob) [1] > muestras=matrix(0,1000,9) > for(i i 1:1000){muestras[i,]=sample(pob,9,replace=T)} > xbars=apply(muestras,1,mea) > hist(xbars) > meas(xbars) [1] > var(xbars) [1] > var(pob)/9 [1] > # Haciedo los histogramas de la poblacio y de las medias muestrales > par(mfrow=c(1,)) > hist(pob,mai="histograma de la poblacio") > hist(xbars,mai="histograma de las medias") Los histogramas aparece e la siguiete figura

4 Ejemplo. El TLC aplicado a experimetos de Beroulli, es decir experimetos co solo dos resultados posibles: Éxito (1) y fracaso (0) puede dar malos resultados si la probabilidad de éxito está cerca de 0 o cerca de 1. E este caso Pr ob ( X = 1) = p y Pr ob( X = 0) = 1 p. Luego, µ F = p y σ F = p(1 p). Así X i i que por el TLC pˆ = = 1 se distribuye aproximadamete como ua ormal co media p y variaza p(1-p)/. > seqx=0:5 > dbiom(seqx,5,.9) [1] e e e e e-18 [6] e e e e e-11

5 [11] e e e e e-05 [16] e e e e e-0 [1] e e e e e-01 [6] e-0 > zseq=(seqx-.5)/1.5 > zseq [1] [7] [13] [19] [5] > plot(zseq,dorm(zseq),type="l") > poits(zseq,dbiom(seqx,5,.9)) > plot(zseq,dorm(zseq),type="l") > title("teorema del limite cetral para ua biomial") > poits(zseq,dbiom(seqx,5,.9)) >

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