Estimación no lineal del estado y los parámetros

Transcripción

1 Parte III Estmacón no lneal del estado y los parámetros 1. Estmacón recursva El ltro de Kalman extenddo 12 es una técnca muy utlzada para la la estmacón recursva del estado de sstemas no lneales en presenca de rudos en las meddas. Dadas sus característcas y que se puede mplementar en línea, tambén es posble utlzar el EKF para la dentcacón tanto en bucle aberto como en bucle cerrado de sstemas no lneales nestables, como es el caso de un helcóptero. El algortmo EKF, no obstante, proporcona solamente una aproxmacón a la estmacón óptma. Una alternatva que mejora el desempeño de esta estmacón se conoce como unscented Kalman lter 13. El algortmo fue propuesto por prmera vez por Juler et al. 8] y posterormente fue desarrollado en profunddad por Wan y Van der Merwe 9]. La dferenca básca entre EKF y UKF está en la manera en la que las varables aleatoras gaussanas 14 que modelan el rudo son representadas y propagadas a través de la dnámca del sstema. En el EKF, la dstrbucón del estado es aproxmada por una VAG, la cual es propagada analítcamente a través de la lnealzacón de prmer orden del sstema no lneal. Esto puede llegar a ntroducr errores grandes en la meda y la covaranza reales de la VAG transformada, lo que lleva a un comportamento subóptmo del ltro y algunas veces a la dvergenca del msmo. El UKF resuelve este problema medante un muestreo determnsta. La dstrbucón del estado se aproxma de nuevo por una VAG, pero esta vez se representa usando un conjunto mínmo de puntos muestreados escogdos cudadosamente. Estas muestras capturan completamente la meda y la covaranza reales de la VAG y cuando se propagan a través del verdadero sstema no lneal, capturan la meda y la covaranza posteror con una precsón de segundo orden (En el sentdo de la expansón en seres de Taylor) para cualquer no lnealdad. El EKF, en contraste, sólo consgue una precsón de prmer orden. Además, no es necesaro calcular explíctamente el Jacobano y el Hessano para el UKF. Asmsmo, un hecho destacable es que la complejdad computaconal del UKF es aproxmadamente del msmo orden que para e EKF. Las aplcacones del EKF/UKF se pueden dvdr en tres grupos: Estmacón recursva del estado. Es el marco de trabajo básco que nvolucra estmar el estado 12 En adelante EKF (Extended Kalman Flter). 13 En adelante UKF. 14 En adelante VAG. 21

2 del sstema dnámco no lneal en tempo dscreto: x(k + 1) = F(x(k), u(k), v(k)) y(k) = H(x(k), n(k)) donde x(k) representa el estado desconocdo del sstema, u(k) es la entrada exógena conocda, y(k) es la medda observada, v(k) representa el rudo del proceso y n(k) es el rudo en las meddas en el nstante k. Las funcones F y H se suponen conocdas. Estmacón recursva de parámetros. La estmacón de parámetros, a veces referda como dentcacón del sstema o entrenamento nvolucra determnar la funcón no lneal: y(k) = G(x(k), w) donde x(k) es la entrada, y(k) es la salda en el nstante k y G( ) está parametrzada por el vector w. Para esto se escrbe la representacón en el espaco de estados: w(k + 1) = w(k) + r(k) d(k) = G(x(k), w(k)) + e(k) donde los parámetros w(k) se corresponden con un proceso estaconaro de matrz de transcón de estado dentdad y rudo r(k). El error se dene como e(k) = d(k) G(x(k), w(k)) sendo d(k) la salda deseada corresponde a la entrada x(k) conocda en el nstante k. Estmacón dual o smultánea Se trata de un caso especal de dentcacón donde el estado es desconocdo que requere acoplar los dos problemas anterores. Para este caso se consdera el sstema dnámco no lneal en tempo dscreto: x(k + 1) = F(x(k), u(k), v(k), w) y(k) = H(x(k), n(k), w) donde el estado desconocdo x(k) y el vector de parámetros w deben ser estmados smultáneamente conocendo la entrada u(k), la observacón y(k) el rudo en el proceso v(k) y el rudo en las meddas n(k) en el nstante k. 2. Unscented Kalman Flter La técnca del UKF se basa en la transformacón unscented, un método para calcular la estadístca de una varable aleatora que sufre una transformacón no lneal, el cual se descrbe a contnuacón. 22

3 Se consdera la propagacón de una varable aleatora x de dmensón L a través de una funcón no lneal y = f(x). Se asume que x tene meda x y covaranza P x. Para calcular la estadístca de y, se forma la matrz χ de dmensón L (2L + 1), cuyas columnas son los vectores X (conocdos como vectores sgma), que se calculan de acuerdo a: X 0 = x ( ) X = x + (L + λ)px, = 1,, L ( ) X = x (L + λ)px, = L + 1,, 2L (2.1) L donde λ = α 2 (L+κ) L es un parámetro de escalado. La constante α determna la extensón de las muestras, o puntos sgma, alrededor de x, y es usualmente un valor postvo pequeño (10 4 α 1). La constante κ es un parámetro secundaro de escalado, que generalmente se ja con valor ( ) 3 L (Para conocer detallas ver 8]). ( ) es la columna de la matrz raíz cuadrada. Estos vectores sgma se propagan a través de la funcón no lneal para obtener: Y = f(x ) = 0,, 2L (2.2) La meda y la covaranza de y se aproxman entonces medante la meda y la covaranza ponderadas de los puntos sgma transformados, es decr: con los pesos W dados por: y P y W (m) Y (Y y)(y y) T (2.3) W (m) 0 = λ L + λ 0 = λ L + λ + 1 α2 + β W (m) = 1 = 2(L + λ) = 1,, 2L (2.4) donde β se usa para ncorporar el conocmento prevo de la dstrbucón de x (para dstrbucones gaussanas, β = 2 es el valor óptmo). La Fg. 13 lustra con un ejemplo sencllo las dferentes formas de propagacón de la meda y la covaranza para un sstema de dos dmensones. En el lado zquerdo se observan la meda y la covaranza verdaderas usando el muestreo de Monte Carlo. En el centro se muestra el resultado 23

4 medante la lnealzacón, como se haría aplcando el EKF. El el lado derecho se observa el resultado de la transformacón unscented. Nótese que, en este caso, sólo cnco puntos sgma son necesaros. Fgura 13: Ejemplo de propagacón de la meda y la covaranza. El UKF es una extensón de esta transformacón para su aplcacón a la estmacón recursva. Para el caso especal (pero muy frecuente) en el que los rudos en el proceso y las meddas son adtvos, la complejdad del algortmo UKF se reduce. A contnuacón se descrbe el algortmo UKF para el caso de rudos adtvos de meda cero (rudo blanco) : Se comenza con: ˆx 0 = Ex 0 ] (2.5) P 0 = E(x 0 ˆx 0 )(x 0 ˆx 0 ) T ] (2.6) Para cada paso k {1,, }: se calcula la matrz: X k 1 = ˆx k 1 ˆx k 1 + γ P k 1 ˆx k 1 γ P k 1 ] (2.7) 24

5 Etapa de predccón: X k k 1 = F(X k 1, u k 1 ) (2.8) ˆx k P k = W (m) = X,k k 1 (2.9) (X,k k 1 ˆx k )(X,k k 1 ˆx k )T + R v (2.10) Obtencón de un nuevo conjunto de vectores sgma: X k k 1 = ˆx k ˆx k + γ P k ˆx k γ P k ] (2.11) Etapa de correccón de las meddas: Y k k 1 = H(X k k 1 ) (2.12) ŷ k P yk y k = P xk y k = = W (m) Y,k k 1 (2.13) (Y,k k 1 ŷ k )(Y,k k 1 ŷ k )T + R n (2.14) (X,k k 1 ˆx k )(Y,k k 1 ŷ k )T (2.15) K k = P xk y k P 1 y k y k (2.16) ˆx k = ˆx k + K k(y k ŷ k ) (2.17) P k = P k K kp yk y k K T k (2.18) donde γ = L + λ, R v y R n son las matrces de covaranza del rudo en el proceso y en las meddas respectvamente. La complejdad computaconal de este algortmo es del orden del cubo de la dmensón del estado, es decr L 3. Esta es la msma complejdad del EKF. Exsten algunas varacones del algortmo basadas en algunas propedades algebracas como la factorzacón QR o la factorzacón de Cholesky que reducen la complejdad. 10]. 3. Estmacón smultanea medante UKF Como se mencona anterormente, se trata de un caso especal de dentcacón donde el estado es desconocdo que requere acoplar los problemas de estmacón del estado y estmacón de los parámetros. Hay dos posbles solucones. La prmera de ellas consste en usar dos representacones en el espaco de estados separadas, una 25

6 para el estado y la otra para los parámetros. Se ejecutan dos UKF smultáneamente, en cada tempo de muestreo la estmacón actual de los parámetros se usa en el ltro del estado y la estmacón actual del estado se usa en el ltro de parámetros. La otra solucón consste en consderar los parámetros como un estado más y denr un nuevo vector de estados aumentado z(k) = x(k) T w(k) T. La estmacón se realza sobre este nuevo vector, tenendo en cuenta la sguente representacón en el espaco de estados: x(k + 1) F(x(k), u(k), w(k)) z(k + 1) = = + v(k) w(k + 1) Iw(k) r(k) ] y(k) = 1 0 x(k) + n(k) (3.1) w(k) 3.1. Estmacón del estado y los parámetros La Fg. 14 muestra la mplementacón en Smulnk del UKF, medante una Funcón-S. Se añade un bloque a la salda del modelo que representa el rudo de los sensores. Se trata de rudo blanco adtvo de meda cero y desvacón típca: σ n = 0,01 0,01 0,01 0,04 0,04 0,04 0,02 0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 ] Fgura 14: Implementacón del UKF. Para probar la utldad y ecaca del UKF, en adelante se supone que el conjunto controladorplanta con el rudo añaddo anterormente se corresponde con el sstema real. Se supone que en el modelo del helcóptero se desconocen todos los parámetros aerodnámcos (c m1, c m2, k m1, k m2, c t1, c t2, k t1 y k t2 ). De esta forma, el vector de estado a estmar a partr de las meddas con rudo es: 26

7 z(k) = x(k) T w(k) T = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 c m1 c m2 k m1 k m2 c t1 c t2 k t1 k t2 Para ncar el algortmo se toma como valor ncal del estado el valor de equlbro: x 0 = q y como valor ncal de los parámetros: w 0 = La matrz de covaranza ncal se ja como la matrz dentdad. Se supone tambén que R v es un matrz de ceros (no exste rudo en el proceso n en los parámetros) y que R n = dag ( σ 2 n). 27