EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES

Transcripción

1 º BACHILLERATO EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES 8 7 m + Ejercicio. Considera las matrices A m (a) [,5 puntos] Determina, si existen, los valores de m para los que A I A (b) [ punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A + A T no tiene inversa Ejercicio.- Sean A y B las matrices A 4 y B X Y A (a) [,5 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que X Y B. (b) [,5 puntos] Halla la matriz Z que verifica B +ZA+B T I (I denota la matriz identidad de orden ). Ejercicio. Dada las matrices A y B (a) [,5 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B A. (b) [ punto] Calcula B y B 6 a b c Ejercicio 4.- Sabiendo que A b d e, calcula, indicando las propiedades que utilices, los c e f siguientes determinantes: (a) [,5 punto] A, A + A T (b) [ punto] a b c b d e 4a c 4b e 4c f

2 º BACHILLERATO EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES 5 7 Ejercicio. Sea C la matriz, que depende de un parámetro m, dada por m C a) [,5 puntos] Para qué valores del parámetro m no tiene inversa la matriz C? b) [,5 puntos] Calcula la matriz inversa de C para m. Ejercicio. [,5 puntos] Resuelve AB t X - C, siendo B t la matriz transpuesta de B y A, B y 4 C Ejercicio. Considera las matrices A, B, C (a) [,5 puntos] Calcula A.B, A.C, A T.B T y C T.A T (b) [.5 puntos] Razona cuáles de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. Ejercicio 4. Se sabe que 5 d c b a A. Calcula, enunciando las propiedades de los determinantes que hayas usado, el valor de: (a) [ punto]. d c d c b a b a (b) ['75 puntos] T A A (c) ['75 puntos] A 4

3 º BACHILLERATO EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 7 Ejercicio. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + y + z x + my + z n x + y + z 5 (a) [ 5 puntos] Calcula m y n para que el sistema tenga más de una solución. (b) [punto] Resuélvelo en el caso en que sea compatible indeterminado Ejercicio. Considera el sistema de ecuaciones x + y k x y 4x + ky 7 (a) [ 75 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro k (b) [ 75 puntos] Resuelve para k Ejercicio. Considera el siguiente sistema de ecuaciones a 7 x a 8 y a z (a) [ 5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. (b) [ punto] Resuelve para a Ejercicio 4. ['5 puntos] Una tienda tiene tres tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las tres conservas es de.un cliente compra unidades de A, de B y de C, y abona 58. Otro compra unidades de A, y de C, y abona 5. Calcula el precio de cada unidad de A, B y C.

4 º BACHILLERATO EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 7 Ejercicio. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + my + z m mx + y + z x + y + mz (a) [ 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro m. (b) [punto] Resuélvelo en el caso en que m - Ejercicio. Considera el sistema de ecuaciones x + y z x + y + z 5 (a) [ puntos] Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma αx + y 7z el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. (b) [ 5 puntos] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4. Ejercicio. Considera el sistema de ecuaciones x + my m mx + y m mx + my (a) [ 75 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro m (b) [ 75 puntos] Resuelve cuando sea compatible Ejercicio 4. De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. a) ['5 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C. b) ['5 puntos] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido millones de euros.

5 º BACHILLERATO EXAMEN DE LA UNIDAD : VECTORES, RECTAS Y PLANOS Ejercicio Sean los vectores u (,, ), v (,, ) y w (m,, n) a) [ 5 puntos] Calcula los valores de m y n sabiendo que los vectores u, v y w son linealmente dependientes y que w es ortogonal a u b) [ 5 puntos] Para n, halla los valores de m para que el tetraedro determinado por u, v y w tenga volumen unidades cúbicas. Ejercicio Considera el punto P(,, ), el vector u (,, ) y el plano π de ecuación y. a) [,5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por P, está contenida en π y cuyo vector director es perpendicular a u. b) [,5 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por P, es perpendicular a π y del que u es un vector director. Ejercicio Los puntos A(,, ), B(,, ) y C(,, ) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD. a) [ punto] Calcula el área del paralelogramo. b) [ punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo. c) [,5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice D. Ejercicio 4 Considera los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) y D(, ). a) [ punto] Comprueba si los puntos A, B, C y D son coplanarios b) [,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C.

6 º BACHILLERATO RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD : VECTORES, RECTAS Y PLANOS Ejercicio. Sean A(, 4, ), B(, 6, ) y C (,, ) los vértices de un triángulo. (a) [ 75 puntos] Halla la ecuación del plano π que contiene al triangulo. (b) [ 75 puntos] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. (c) [ punto] Calcula el área del triángulo ABC. x + z Ejercicio.- Dados el punto P(,,-) y la recta r: y + z a) [,5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P. (b) [,5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z, que es perpendicular a r y pasa por P. Ejercicio.- Considera los puntos A(-,k,), B(k+,,), C(,,) y D(,,). (a) [,5 puntos] Existe algún valor de k para que A, B, C y D sean coplanarios? (b) [,5puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen. Ejercicio 4.- Considera los vectores u (,, m), v (,m, ) y w (, m,) a) [,5 puntos] Determina el valor de m para que los vectores u, v y w sean linealmente dependientes. b) [,5 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w como combinación lineal de los vectores u y v

7 º BACHILLERATO EXAMEN DE LA UNIDAD : PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Ejercicio.- Considera los puntos A(,,) y B(,, ). a) [,5 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos. b) [,5 puntos] Calcula la distancia de P(,, ) a la recta que pasa por A y B. Ejercicio.- Sea π el plano determinado por los puntos A(,, ), B(,, ) y C(,, λ), siendo y z λ un número real, y sea la recta r: x + y a) [,5 puntos] Estudia la posición relativa de r y π según los valores de λ. b) [,5 puntos] Para λ, calcula el ángulo que forman la recta y el plano x + t Ejercicio.- Sea r la recta que pasa por A(4,, 6) y B(,, ) y sea s la recta y t a) [,5 puntos] Determina la posición relativa de r y s. b) [,5 puntos] Calcula la distancia entre las dos rectas. x + t Ejercicio 4.- Considera el punto P(,, ) y la recta r dada por y z t a) [,5 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. b) [,5 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r. z t

8 º BACHILLERATO EXAMEN DE LA UNIDAD : PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Ejercicio.- ['5 puntos] Calcula el punto simétrico de A (,, ) respecto al plano π x z + Ejercicio. ['5 puntos] Considera el plano de ecuación π x + y z + y la recta de x 5 z 6 ecuación r y (a) ['5 puntos] Halla la posición relativa de π y r. (b) ['5 puntos] Calcula el ángulo que forman Ejercicio. Determina un punto P de la recta origen de coordenadas y del punto A(,, ). r x + y + 5 z + 4 que equidista del Ejercicio 4. [ 5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta x y 4 r : x y z

9 Colegio San Alberto Magno SEMINARIO DE MATEMÁTICAS BACHILLERATO II EXAMEN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA. Calcula los siguientes límites: a) [ 5 puntos] b) [ 5 puntos] x + x + x + lim x x + x + lim x ( x + x x). Calcula la derivada de las siguientes funciones: 4x a) [ 5 puntos] f(x) cos(x +) b) [ 5 puntos] y tg x x. [ 5 puntos] Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x. y ln (x x + ) 4. Sea la función f : (, ) R dada por f(x) x + ex si x a b x si < x < a) [ puntos] Determina a y b sabiendo que la función es derivable en todo su dominio. b) [,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x.

10 Colegio San Alberto Magno SEMINARIO DE MATEMÁTICAS BACHILLERATO II RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA. Calcula los siguientes límites: x + 5x a) [ 5 puntos] lim x x + 7x b) [ 5 puntos] lim x + x 9 + 5x 9 + x + x 4. calcula la derivada de las siguientes funciones: a) [ 5 puntos] f(x) sen(5x) cosx b) [ 5 puntos] f(x) log x 4 e x. Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x ( ) g( x) Ln x 4. Considera la función derivable f : R R definida por e x +e x f(x) si x x+ ax + b si x > (a) [ 75 puntos] Calcula las constantes a y b. (b) [ 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x.

11 º BACHILLERATO EXAMEN DE LA UNIDAD 6: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Ejercicio. ['5 puntos] Dada la función f : R R definida por f(x) ax + bx + cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (,), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y - x +. Ejercicio. [ 5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que el límite es finito. Calcula dicho límite ln( x + ) asenx + x cos(x) lim x x Ejercicio. ['5 puntos] Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente. Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima. x Ejercicio 4. Considera la función f ( x), para x y x - x (a) ['5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de las asíntotas con la gráfica de f(x) (b) ['5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (c) ['5 puntos] Esboza la gráfica de f.

12 º BACHILLERATO EXAMEN DE LA UNIDAD 7: INTEGRALES Ejercicio. ['5 puntos] Calcula x +x x+ x dx x Ejercicio. [ 5 puntos] Considera la función f : R R definida por f(x) (x ) e x Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, e ) Ejercicio. [ 5 puntos] Calcule el valor de α positivo, para que el área encerrada entre la curva y αx x y el eje de abscisas sea 6. Representa la curva que se obtiene para dicho valor de α. Ejercicio 4. (a) [ punto] Dibuja el recinto limitado por las curvas y e x+, y e x y el eje de ordenadas. (b) ['5 puntos] Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.