b) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números naturales consecutivos. Halla dichos lados.

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1 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones: + ; y Común denominador: ( + )( ) MCM + ( )( ) ( )( + )( ) ( ) ( )( + )( ) ( )( + ) ( )( + )( ) + ; ; Simplifica las siguientes fracciones, factorizando previamente: a) a) y y + 6 y y y+ 6 y y y y 5 y + 5 y ( ) ( ) ( ) ( y )( + y ) 5( + y ) 5 b) 5 y + 5y ( )( y ) ( y ) y ( + ) ( )( + )( ) b) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números naturales consecutivos. Halla dichos lados. Tomando como medidas de los lados: -, y + Aplicando el teorema de Pitágoras: ( ) + (+ ) Operando: Pasando al primer miembro y simplificando: 0 ( ) 0 Se obtienen como soluciones; 0 (imposible) y cm Las dimensiones de los lados son cm, cm y 5 cm. Una pieza rectangular de cinc es cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 80 cm cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

2 Si es la medida de la anchura, entonces + es la medida de la largura. Sabiendo que el volumen de la caja es Vabc, se tiene: Ecuación: 6( )(+ ) 80 Simplificando por 6: ( )( 8) 0 Operando: 0 0 Resolviendo: cm o -cm (que descartamos) Las dimensiones de la pieza rectangular son cm y 6 cm. Resuelve la ecuación: Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz La ecuación: Resolvemos en : 6 ± , 8 De 8, se sigue De -/8, se sigue -/ Las dos cifras de un número suman y el producto de dicho número por el que se obtiene de invertir el orden de sus cifras es 5. Halla dicho número. ab b+ 0 a Sea ab el número que queremos calcular, se sabe por el valor relativo de las cifras que ba a+ 0 b El número ba que se obtiene al invertir el orden de las cifras es Si b, entonces a - y como sabemos que (ab)(ba)5, se tiene la siguiente ecuación: ( + 0)( )( + 0 ) 5 (0 9 )(+ 9 ) 5 Operando: div. por 8 Que tiene como soluciones:, 8 El número puede ser el 8 o el 8 + 0

3 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Dentro de años, la edad de una persona será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace años. Calcula la edad actual de esa persona. Si es la edad actual de la persona, entonces, hace años tenía - años y dentro de años, tendrá + años La ecuación para hallar la edad actual es: ( ) + Operando: (+ ) Resolviendo obtenemos: años; 7 años La solución 7 años no es admisible, puesto que hace años no habría nacido la edad de esa persona es años. (m + ) 0 Dada la ecuación, halla los valores de m para que las dos raíces de la ecuación se diferencien en unidades. a + b+ c 0 Las raíces de la ecuación de segundo grado Su suma es + b a y su producto es c a verifican: Como la ecuación De la suma de raíces: (m+ ) 0 tiene como raíces m + + m+ y + se tiene: Del producto de raíces: m m +, que es la ecuación que resuelve el problema. Operando y simplificando se tiene: m + m+ 0 que tiene por soluciones m - y m -.

4 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales: + + Ecuación: + + Aislando un radical: Aislando el radical: Operando: Resolviendo: 0, 5 Solución válida: 5 Encuentra las soluciones, si eisten, de la ecuación: Ecuación: Igualando productos cruzados: ( + ) (6 )( + ) Pasando términos al primer miembro y operando: Resolviendo: 7 ± ± 0

5 Las soluciones son: Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz 0 0 ; Al etraer la raíz cuadrada de un número se obtiene de resto. Si a dicho número se le suman 7 unidades, la raíz cuadrada del número obtenido aumenta en una unidad y se obtiene 6 de resto. Halla dicho número. Sea el número. Resulta evidente que - es un cuadrado perfecto. Resulta evidente que (+7)-6 es un cuadrado perfecto que supera en una unidad al anterior. Podemos plantear la ecuación: Aislando el radical: Resolviendo: Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales: Ecuación: Aislando un radical: Aislando el radical: Operando:

6 + 0 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Resolviendo: -, Solución válida: las dos 5 Halla un número de dos cifras, sabiendo que éstas suman 7 unidades y que si sumamos unidades al número que resulta de intercambiar el orden de las cifras, su raíz cuadrada es el doble de la raíz del número inicial. Sea N ab el número que queremos calcular, se puede plantear el siguiente sistema: a+ b 7 ba+ ab Considerando el valor relativo de las cifras, el sistema anterior se puede epresar según: a+ b 7 a+ b 7 a+ 0b+ b+ 0a a+ 0b+ (b+ 0a) a 7 b 7 b+ 0b+ (b+ 70 0b) Operando la última ecuación, se tiene: 70 5 b 70 b 6 a El número es N 6 6 Las dos cifras de un número suman 8. Calcula dicho número, sabiendo que su raíz cuadrada da de resto y que la raíz cuadrada del número que resulta de invertir el orden de las cifras es unidades menor y da como resto 0. Sea (ab) el número, tal que a+b8. La ecuación a plantear es: (ab) + (ba) 0 Por el valor relativo de las cifras, dicha ecuación, se puede escribir según: b+ 0 a + a+ 0 b 0 Teniendo en cuenta que a8-b, tendremos: 76 9b + 9b 76 9b + 9b + 9b Aislando el radical:

7 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz 7 8 b 9b 7 9b 9b b+ 8b 6 b 8 Simplificando: 8b 70b : 7 Resolviendo: b, b 7/ b 6b+ 5 0 La segunda solución no es válida por no ser entera El número buscado es 5 7 Halla dos números naturales, tales que la diferencia entre el doble del primero y el segundo sea la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dichos números; y la diferencia entre el segundo y la raíz cuadrada del primero sea igual a la unidad. Sea el primer número e y el segundo, del enunciado, se puede establecer el sistema: y + y y Operando se tiene: y+ y y y+ + y ( y) 0 y y+ De la primera ecuación se tienen dos posibilidades: ª solución : ª solución : 0 y y+ 0 y, no válida por no verificar el sistema inicial y y y+ y y y 0 y+ 0 y N La única solución válida es e y 8 Resuelve la ecuación siguiente: + Ecuación: +

8 + + ( + ) Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Aislando el radical: + ( + ) Simplificando por : + ( + ) + + Simplificando: 0 + Resolviendo: -, La primera solución no es válida Solución 9 La raíz cuadrada de la edad de un padre, da la edad de su hijo. Al cabo de años la edad del padre será doble que la del hijo. Cuántos años tiene cada uno? Si es la edad en años del padre, la del hijo, es La ecuación es: ( ) + + Operando y aislando el radical: Operando: Resolviendo: 6 años o 6 años Solución válida la primera Las edades del padre y del hijo son respectivamente: 6 años y 6 años 0 Encuentra las soluciones, si eisten, de la ecuación: Ecuación:

9 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Multiplicando por el MCM6(5-)(5+) se tiene: 6(5 + ) + 6(5 ) (5 + )(5 ) Operando: Pasando términos al primer miembro y simplificando, se tiene: ± Las soluciones son -;. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 6 metros y la suma de sus catetos es metros. Hallar los catetos. + y + y m, y m; m, y 0 m Resuelve el siguiente sistema: + y 5 y 55 5,y-;-5,y El producto de dos números es 5 y la diferencia de sus cuadrados es 6. Averigua cuáles son dichos números. Se trata de resolver el sistema de ecuaciones no lineales. y 5 y 6 Despejando y en la primera ecuación:

10 5 y Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz y sustituyendo su valor en la segunda, se tiene: 5 Haciendo el cambio: z se trata de resolver la ecuación: z 6 z 05 0 cuyas soluciones son. z 5, z 9 Con lo cual, 5, y; -5, y- En la actualidad, la edad de un padre es el cuadrado de la edad de su hijo menos dos años. El año que viene, la edad del padre será cinco veces la edad de su hijo. Calcula la edad de ambos. Si llamamos a la edad del padre e y a la del hijo, se trata de resolver el sistema de ecuaciones no lineales: y + 5(y+ ) Restando ambas ecuaciones, obtenemos: 5(y+ ) y + y 5 y 6 0 y 6, La solución: y y la descartamos en el conteto del problema, entonces la solución del sistema es: y6; 5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: y 6 y + 6, y

11 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz 6 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + 7 y y, y ;, y 7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + y y 0-5, y -; 5, y ; -, y -5;, y 5 Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema compatible indeterminado: + 5y + z + y z z ; 9 y z+ 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y z 6 + y + z + y + z Eliminamos la incógnita y multiplicando la primera ecuación por y sumándola con la segunda y sumando la tercera ecuación con la primera, obteniendo el sistema:

12 5 + z 5 + z 9 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz que no tiene solución. El sistema propuesto es incompatible. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 8. Si al número se le añaden 8 unidades, resultan las mismas cifras pero en orden inverso. Plantea un sistema para hallar dicho número y resuélvelo por el método de Gauss. + y y+ 8 0 y+ ; y 5. El número 5. Un granjero compra en una feria 60 animales entre pollos, conejos y patos y paga, en total, una factura de 55 euros. Cada pollo le ha costado euros, cada conejo euros y cada pato,5 euros. Si el número de pollos representa los 7/9 del total de conejos y patos comprados. Cuántos animales compró de cada clase? Si llamamos al número de pollos comprados, y al de los conejos y z al de los patos, se trata de resolver el sistema: + y+ z 60 + y+,5 z 55 7 (y+ z) 9 Ordenando el sistema se obtiene: + y+ z 60 + y+,5 z y 7 z 0 resolviéndolo resulta: 80, y50, z0 5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: + y + z + y + az y z en función del valor del parámetro a

13 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Sumando la primera ecuación con la tercera y la segunda con la tercera, obtenemos el sistema: + (a ) z De donde se deduce que:, (a ) z 0 Si a, z tiene cualquier valor e y-z. Sistema compatible indeterminado En caso contrario z0, y0. Sistema compatible determinado 6 Se quiere obtener un lingote de oro de kg de peso y ley 900 milésimas, fundiendo oro de 975 milésimas, oro de 95 milésimas y oro de 850 milésimas. Sabiendo que del segundo tipo hemos usado 00 g más que del primero, averigua qué cantidad hay que fundir de cada clase. Llamando a los gramos del primer tipo de oro, y a los del segundo y z a los del tercero, se trata de resolver el sistema: + y+ z y+ 850 z y + 00 Ordenando el sistema y resolviéndolo, se obtiene: 75, y75, z50 7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y + z 8 y + z 5 + z a en función del valor del parámetro a Eliminamos la incógnita y sumando la primera ecuación con la segunda, obteniendo el sistema: + z + z a De donde se deduce que: Si a-, el sistema es compatible indeterminado y-5-z, (z+)/- Para otro valor de a el sistema es incompatible 8 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

14 y + y + z a + y z 7 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz en función del valor del parámetro a Eliminamos la incógnita z sumando la segunda ecuación con la tercera, obteniendo el sistema. y + y 7 + a Multiplicando la primera por - y sumándole a la segunda, se obtiene y(a+)/ de donde (a+5)/, z(9a-9)/ El sistema es siempre compatible determinado, para cualquier valor de a. 9 Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema compatible indeterminado: + y z + y + z 7 z+ ; y 5 z 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y + z + y + z y + z 5 Eliminamos la incógnita y multiplicando la segunda ecuación por y sumándola con la primera y sumando la tercera ecuación con la segunda, obteniendo el sistema: + z 9 + z 9 que tiene infinitas soluciones, siempre que z-, y. El sistema es compatible indeterminado Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss:

15 y y Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz ; y - Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss: y 0 y ; y Epresa la solución del siguiente sistema en función del parámetro + y a a + ay a 0 utilizando el método de Gauss: a ; a a + y a Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: + y z y + z + y z Eliminamos la incógnita z sumando la primera ecuación y la segunda y restando la tercera ecuación a la primera, obteniendo el sistema:

16 5 y 5 y Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Dividiendo la segunda ecuación por - y sumándola con la primera, resulta, de donde y0, z0. 5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: + y z + y + z 5 + y + z Eliminamos la incógnita z sumando la primera ecuación con la segunda y multiplicando la primera ecuación por y sumándola con la tercera, obteniendo el sistema: + y y 6 Multiplicando la primera por 7 y la segunda por - y sumando ambas, resulta -, de donde y6, z 6 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: + y + z y + z + y + 6z Eliminamos la incógnita z multiplicando la primera ecuación por - y sumándola con la segunda y multiplicando la primera ecuación por 6 y restándole la tercera, obteniendo el sistema: y + y 5 Multiplicando la primera por - y sumándola con la segunda, y, de donde, z- 7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y + z 7 + y + z + y z 5

17 Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Eliminamos la incógnita y sumando la primera ecuación con la segunda y la primera con la tercera, obteniendo el sistema: + z 8 De donde resulta: 6, z, y 8 La suma de tres números es 7. Dos veces el primero menos tres veces el segundo es igual a y el primero más el doble del segundo menos tres veces el tercero es igual a 6. Averigua cuáles son estos números. Llamando al primero, y al segundo y z al tercero, se trata de resolver el sistema: + y+ z 7 y + y z 6 Eliminando z entre la primera y la tercera ecuaciones, se tiene: + 5 y 57 y Resolviéndolo, se obtiene: 8,y 5, z