Circunferencia y elipse

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1 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn de un punto fijo llmdo centro (Ruiz, 008, p. 308). El punto fijo es llmdo centro de l circunferenci y l distnci constnte se llm rdio. Figur 1. Elementos de l circunferenci. Con bse en est definición se puede decir que se tiene un punto fijo llmdo centro con coordends C(h, k) y un punto P(, y), que gir lrededor de este siempre l mism distnci. Clro! con l fórmul de distnci entre dos puntos. Si se conocen ls coordends de un punto de l circunferenci y ls coordends del centro de l circunferenci, cómo se puede determinr el vlor del rdio? Pr plicr l fórmul de l distnci, recuerd que primero debes decidir el orden de los puntos; en este cso el centro C(h, k) será el punto P1 y el punto que gir lrededor P(, y) será el punto P. Aplicndo l fórmul de l distnci, tienes: 1

2 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse d = ( h) ( y k ) Como en este cso l distnci es el rdio (r) de l circunferenci, l ecución se puede reescribir como: r = ( h) ( y k ) Elevndo l cudrdo l ecución pr eliminr l ríz, se obtiene: r = ( h) ( y k ) Recomodndo, A est ecución se le conoce como ecución de l circunferenci en su form ordinri, en donde h y k son ls coordends del centro de l circunferenci y r es el rdio de l mism. A continución se presentn lgunos ejemplos: Ejemplo 1 Encuentr l ecución de l circunferenci que tiene centro en (,3) y rdio igul 4. Dtos que proporcion el problem Centro (,3) Por lo tnto h = y k = 3 Rdio=4 r = 4 L ecución Ecución que involucr los dtos del problem ( h) ( y k) = r Tbl 1. del ejemplo 1. ( ) ( y 3) 6 Sustituyendo los vlores h = k = 3 r = 4 ( ) ( y 3) = ( ) ( y 3) 4 6 Represent l ecución de un circunferenci con centro (,3) y rdio=4 en su form ordinri.

3 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Tl vez te estés preguntndo, por qué est ecución no se prece ls que vimos en l primer lectur?, qué relción tienen l ecución generl de segundo grdo con l ecución en form ordinri? En relidd, l ecución ordinri y l ecución generl de l circunferenci son equivlentes. Con yud del álgebr puedes trnsformr l ecución de su form ordinri su form generl. Quieres ver cómo? Observ que l ecución está formd por l sum de dos binomios l cudrdo, los cules puedes desrrollr. ( ) Desrrollndo los binomios l cudrdo tienes: 4 4 y Recomodndo términos pr dejrlo de l form: A ( y 3) 6 6y 9 6 By Cy D Ey F = 0 Tienes: y 4 6y = 0 y 4 6y 3 = 0 Est ecución represent l circunferenci con centro (,3) y rdio=4 en su form generl. L figur muestr su gráfic. Figur. Circunferenci con centro (,3) y rdio=4. 3

4 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Ejemplo Encuentr l ecución de l circunferenci en su form generl que tiene centro en (-3,-1) y ps por el punto (,1) Dtos que proporcion el problem Centro (-3,-1) Por lo tnto h = 3 y k = 1 El punto por donde ps l circunferenci es (,1) Ecución que involucr los dtos del problem L ecución de l circunferenci requiere del vlor del rdio, por lo que es necesrio clculrlo. Se puede utilizr l mism fórmul: ( h) ( y k) = r Sustituyendo los vlores h = 3 k = 1 = y =1 ( ( 3)) (1 ( 1)) = r ( 3) (5) () (1 1) 9 = r = r = r Un vez que conoces el centro (- 3,-1) y el rdio l cudrdo r = 9 Sustituyes en l ecución de l circunferenci ( ( 3)) ( y ( 1)) ( 3) ( y 1) = 9 Ecución en form ordinri = 9 Pr obtener l ecución en su form generl Se desrrolln los binomios l cudrdo. ( 3) ( y 1) = y y 1= 9 y 6 y = 0 y 6 y 19 = 0 Ecución de l circunferenci en form generl Tbl. l ejemplo. Ejemplo 3 Encuentr l ecución de l circunferenci que se encuentr centrd en el origen y tiene diámetro igul 1. Dtos que proporcion el problem Centro en el origen Implic que ls coordends del centro son (0,0) Por lo tnto h = 0 y k = 0 El diámetro es el Ecución que involucr los dtos del problem ( h) ( y k) = r Sustituyendo los vlores. h = 0 k = 0 r = 6 Pr obtener l ecución en su form generl. Sustituye en l ecución de l circunferenci: ( 0) ( y 0) = y = 36 6 En este cso no hy binomios que desrrollr, sí que sólo se igul cero. y = 36 4

5 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse doble del rdio, por lo tnto si el diámetro=1, el rdio será 6. Ecución de l circunferenci centrd en el origen en su form ordinri Tbl 3. l ejemplo 3. y 36 = 0 Ecución de l circunferenci centrd en el origen en su form generl Hst el momento, hs encontrdo l ecución de l circunferenci, prtir de sus crcterístics principles que son centro y rdio, en su form ordinri y en su form generl. Se podrán determinr ls crcterístics principles de l circunferenci prtir de sus ecuciones? L respuest es sí, y que si observs l ecución en su form ordinri es sencillo determinr ls coordends del centro y del rdio. A continución se presentn lgunos ejemplos: Ejemplo 1 Si l ecución de un circunferenci es ( 1) ( y 5) = 9 el vlor del rdio., determin ls coordends de su centro y 5

6 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse 1 De l ecución ( ) ( y 5) = 9 determins ls ecuciones del centro C(1,-5); observ cómo los vlores de ls coordends tienen el signo contrrio l de l ecución. Como r = 9, entonces el vlor del rdio será r = 9 = 3. Por lo tnto, el centro de l circunferenci se encuentr en C(1,-5) y su rdio es Figur 3. Circunferenci con centro (1,-5) y rdio=3 Ejemplo Si l ecución de un circunferenci es ( 3) ( y ) = 5 rdio y su ecución en form generl. De l ecución ( 3) ( y ) = 5 determins ls ecuciones del centro C(-3,-); observ cómo los vlores de ls coordends tienen el signo contrrio., determin ls coordends del centro, el Como r = 5 entonces el vlor del rdio será r = 5 = 5. Figur 4. Circunferenci con centro (-3,-) y rdio=5. Pr obtener l ecución en form generl se tienen que desrrollr los binomios l cudrdo. 3 y = ( ) ( ) y 4y 4 = 5 y 6 4y = 0 y 6 4y 1 = 0 Por lo tnto, l ecución generl de l circunferenci con centro C(-3,-) y el rdio de 5 es: y 6 4y 1 = 0 6

7 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Recuerds que l circunferenci es un cso especil de l elipse? Continú con el estudio de l elipse pr que pueds encontrr l relción que eiste entre l circunferenci y l elipse. Elipse Comienz por nlizr l definición de elipse y determinr sus crcterístics principles. Un elipse es un curv formd por puntos del plno pr los cules es constnte l sum de sus distncis dos puntos fijos llmdos focos (Ruiz, 008, p. 308). Figur 5. Elementos de l elipse. es l distnci del centro l vértice. b es l distnci del centro l etremo del eje menor. c es l distnci del centro l foco. Figur 6. Distncis, b y c en un elipse. Si observs en l figur 6 cundo el punto P(,y) se coloc sobre el eje de ls y, se form un triángulo rectángulo donde el vlor de que represent l distnci que eiste del centro l vértice, es l hipotenus y los vlores de b y c son los ctetos del triángulo. Al plicr el Teorem de Pitágors, se cumple que = b c. 7

8 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Est relción te permite clculr l posición de los focos, cundo conoces l gráfic o l ecución de l elipse en su form ordinri. Elementos de l elipse Nombre Eje Focl Eje Myor Eje Norml Eje menor Centro Ldo Recto Ecentricidd Descripción Es l rect que ps por los focos. Es el segmento del eje focl y que une los vértices de l elipse. Es l rect perpendiculr l eje focl que ps por el centro. Es el segmento del eje norml y que une dos puntos de l elipse, llmdos etremos del eje menor. Es el punto de intersección del eje focl y del eje norml. Es un segmento de rect que es perpendiculr l eje focl, ps por el foco y cort en dos puntos l elipse. L ecentricidd nos indic el ensnchmiento de un elipse, es decir, que tn delgd o que tn nch es l elipse. Un elipse delgd tiene ecentricidd muy cerc de 1 Un elipse nch tiene ecentricidd muy cerc de 0. Epresión en form mtemátic Longitud del Eje Myor V V 1 = Longitud del Eje Menor B B b 1 = C ( h, k) Longitud del ldo recto Ecentricidd c e = b vlores que puede tomr l ecentricidd en un elipse: 0 < e < 1 Tbl 4. Elementos de un elipse. 8

9 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Ls elipses se pueden presentr en form horizontl, verticl o inclind. Se encuentr en form horizontl si su eje focl es prlelo l eje de ls ; en form verticl si su eje focl es prlelo l eje de ls y; en form inclind si su eje focl tiene un ángulo de inclinción. De l mism form l elipse puede estr centrd en el origen o fuer de este con centro c(h,k) y dependiendo de cómo se encuentren ubicds cd un de ells, tendrá un ecución que l identifique. En l tbl 5 se presentn ls ecuciones correspondientes de l elipse dependiendo de su ubicción: Elipse horizontl centro en el origen Elipse verticl centro en el origen Ordinri Ecución Ecución Ordinri b y b y 9

10 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Elipse horizontl centro (h,k) Elipse verticl centro (h,k) Ecución Ordinri ( h) ( y k) b Tbl 5. Gráfics de los tipos de elipse con sus respectivs ecuciones. Ecución Ordinri ( h) ( y k) b Observ como en ls elipses horizontles el vlor de que represent el vlor del semieje myor se encuentr debjo de l, lo que indic que el eje myor es prlelo l eje de ls y el vlor de que represent el semieje menor, se encuentr debjo de l y, lo que indic que el eje menor es prlelo l eje de ls y. En cmbio, en ls elipses verticles el vlor de que represent el vlor del semieje myor se encuentr debjo de l y, lo que indic que el eje myor es prlelo l eje de ls y y el vlor de que represent el semieje menor se encuentr debjo de l, lo que indic que el eje menor es prlelo l eje de ls. 10

11 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse A continución se presentn lgunos ejemplos: Ejemplo 1 Encuentr l ecución de l elipse con vértices V1 ( 5,0) y V ( 5,0) F 3,0) y F ( 3,0) 1( y focos Comencemos por nlizr l informción, si grficmos los focos y los vértices en un plno crtesino nos dremos cuent que los focos están sobre el eje de ls y que l distnci que hy del origen los focos son igules por lo que estmos hblndo de un elipse horizontl con centro en el origen cuy ecución es b y Figur 7. Gráfic de puntos conocidos en el problem V y focos F 3,0) y F ( 3, 0 vértices 1( 5,0) y V ( 5,0) 1( Qué vlores conoces? El vlor de = 5 y que es distnci que hy del centro cd uno de los vértices. El vlor de c = 3 y que es l distnci que hy del centro cd uno de los focos. Por lo tnto, hce flt el vlor de b, pero de l relción el vlor de b = c = b c, lo puedes clculr despejndo Sustituyendo vlores b = ( 5) ( 3) = Como en l ecución se necesit el vlor de b 6 y = 5, lo sustituyes en l ecución: 11

12 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse b y y 5 16 Como 6 y y 5 16 Est ecución represent un elipse horizontl con centro en el origen con vértices V1 ( 5,0) y V ( 5,0) y focos F 3,0) y F ( 3,0) 1( y 5 16 Figur 8. Gráfic de l elipse Ejemplo Encuentr l ecución de l elipse de l gráfic que se muestr en l figur 9. Comienz por nlizr que l gráfic es un elipse horizontl con centro (h,k) y por lo tnto, l ecución es: ( h) ( y k) b De l gráfic puedes observr que el centro tiene coordends C(,-1), por lo tnto, h = y k = 1. L distnci que hy del centro l vértice es 5 por lo tnto = 5 L distnci que hy del centro l punto B1 es, por lo tnto b = Sustituyendo los vlores en l ecución tienes: 1

13 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Figur 9. Gráfic de l elipse ( ) ( y 1) 5 4 ( ) ( y ( 1) ) (5) () Relizndo operciones ( ) ( y 1) 5 4 ( ) ( y 1) 5 4 Ecución de un elipse horizontl con centro (,-1) Ejemplo 3 1 y Encuentr l gráfic de l siguiente ecución ( ) ( ) y eprésl en su form generl. Comienz por nlizr l ecución: ( 1) ( y 3) 4 9 De inicio l elipse tiene centro (h,k) y de los dos denomindores el más grnde está debjo de l y, lo que indic que el eje myor es prlelo l eje de ls y. Por lo tnto l ecución de l elipse es verticl con centro (h,k), l cul está representd por l ecución. ( h) ( y k) b Pr grficr es conveniente loclizr los puntos principles como son el centro y los vlores de y b pr después trzr l gráfic de l elipse. De est ecución puedes determinr los vlores de: h = 1, k = 3, b = 4 y = 9 Así b = 4 = y Figur 10. Gráfic de l elipse ( 1) ( y 3)

14 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse = 9 = 3 Pr poder epresr l ecución de l elipse en su form generl se tiene que relizr l sum de ( 1) ( y 3) frcciones 4 9 El m.c.d de 9 y 4 es 36, por lo tnto: 9( 1) 4( y 3) 36 Desrrollndo los binomios l cudrdo: 9( 1) 4( y 6y 9) 36 9( 9 9 1) y 4y 4( y 6y 9) 4 y 36 = y 9 = 0 (36) 9 4y 18 4 y 9 = 0 Ecución generl de l elipse con centro C(-1,3) Ahor que y sbes ls propieddes de l elipse y sus elementos puedes decir por qué l circunferenci es un cso especil de l elipse? Qué le ps l elipse cundo su eje myor es igul su eje menor? En culquier de ls elipses si su eje menor es igul l eje myor, tendrás como resultdo un circunferenci. Dónde quedn los focos de l elipse en l circunferenci? Los focos de l elipse se recorren l centro de l circunferenci. 14

15 GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Bibliogrfí Fuller, G. & Trwter, D. (1999). Geometrí Anlític (R. Mrtínez y A. Ross, Trds.). Méico: Person Educción. Kindle, J. H. (1999). Geometrí Anlític (L. Gutiérrez y A. Gutiérrez, Trds.). Méico: Mc Grw Hill. Mrtínez, M. A. (1996). Geometrí Anlític. Méico: Mc Grw Hill. Referenci Ruiz, J. (008). Geometrí Anlític. Méico: Grupo Editoril Ptri. 15

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