Prova d accés a la Universitat (2013) Matemàtiques II Model 1. (b) Suposant que a = 1, trobau totes les matrius X que satisfan AX + Id = A, on Id

Transcripción

1 UIB Prova d accés a la Universitat () Matemàtiques II Model Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 9 minuts. Cada qüestió es puntua sobre punts. La qualificació final s obté de dividir el total entre. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l alumne. Es valoraran negativament els errors de càlcul. Podeu utilitzar calculadora de qualsevol tipus, científica, gràfica o programable, però no s autoritzarà l ús de les que portin informació emmagatzemada o puguin transmetre-la. OPCIÓ A ( a + a (a) Donada la matriu A = a matriu A A no tingui inversa. ), calculau els valors de a per als quals la (6 punts) (b) Suposant que a =, trobau totes les matrius X que satisfan AX + Id = A, on Id és la matriu identitat. ( punts) (a) Si calculam A A obtenim: A A = ( a(a + ) + (a )(a + ) a + a ). Perquè la matriu anterior no tingui inversa, el seu determinant ha d ésser nul. Si calculam el seu determinant, obtenim: det(a A) = a a. Resolent l equació a a =, obtenim que a pot ésser: a =,. ( ) x y (b) Suposem que a =. Diem a la matriu X de la forma següent: X =. Si fem ( ) z t x + y AX + Id, obtenim. Igualant la matriu anterior a la matriu A ( ) x + z y + t + quan a =,, obtenim que x =, y =, z =, t =. Per tant, les ( ) matrius X seran de la forma: X =. (a) Discutiu per a quins valors de a i b el sistema següent és compatible: ax + (a + )y az =, ax + y az = b, ay + ( a)z = b. (7 punts)

2 (b) Resoleu-lo en el cas (o els casos) en què sigui compatible indeterminat. ( punts) (a) La matriu del sistema A i la matriu ampliada A només depenen d un paràmetre (el paràmetre a) i són les següents: a a + a a a + a A = a a, A = a a b. a a a a b El determinant de la matriu del sistema A val: det(a) = a a. Si resolem l equació a a =, obtenim que a =,. Per tant, tenim que si a,, el rang de les matrius A i A serà i el sistema serà compatible determinat. Falta estudiar els casos a = i a =. Per estudiar aquests dos casos i fixat el paràmetre a, estudiarem el rang de la matriu ampliada que és on intervé el paràmetre b. Per a =, la matriu del sistema és:. La matriu ampliada és: b. El rang de la matriu A val clarament. b Per calcular el rang de la matriu ampliada fem el determinant següent: b = b +. b Per tant, si b, el rang de la matriu A serà i el sistema serà incompatible. Per a b = el rang de la matriu A serà i el sistema serà compatible indeterminat. Si a =, la matriu del sistema serà:. La matriu ampliada és: b. El rang de la matriu A val clarament. b Per calcular el rang de la matriu ampliada fem el determinant següent: b b =. Com que el determinant val, el rang de la matriu ampliada serà i el sistema serà incompatible. Com es pot veure, de cara a la discussió de la compatibilitat del sistema, només intervé un sol paràmetre. (b) Hem de solucionar el sistema per a a = i b =. El sistema a resoldre és: y =, y =, z =. Les solucions són: y =, z = i la x lliure.

3 Considerem la funció f(x) = sin x +cos x. (a) Verificau que f() = f(π) =. (b) Comprovau que l equació f (x) = no té cap solució a l interval (, π). (c) Explicau per què no es pot aplicar el teorema de Rolle en aquest cas. ( punt) ( punts) (5 punts) (a) f() = f(π) =, ja que sin = sin π =. (b) La derivada f (x) val: f (x) = (cos(x)+) ( cos(x)+). Per trobar x tal que f (x) =, hem de resoldre: + cos x =, o si es vol cos x =. Com que la funció cos x està entre i, l equació anterior no té solució. (c) Per poder aplicar el teorema de Rolle, necessitam que la funció f(x) sigui derivable a l interval d aplicació; en el nostre cas, (, π). Ara bé, veiem que la funció f(x) no és contínua i, per tant, no és derivable quan + cos x =, o x = π, valor que està a l interval (, π). En resum, no podem aplicar el teorema de Rolle en aquest cas. Feu un dibuix del recinte limitat per les corbes y (x) =, y x (x) = x i y (x) = x, per als valors de x positius. ( punts) Calculau l àrea d aquest recinte. (6 punts) Primer de tot calculam els punts d intersecció de les corbes: Corbes y (x) i y (x): es tallen en el punt (, ) (consideram només el cas en què l abscissa x és positiva.) Corbes y (x) i y (x): es tallen en el punt (, ) (consideram només el cas en què l abscissa x és positiva.) Corbes y (x) i y (x): es tallen en el punt (, ). El gràfic del recinte es pot veure a la figura següent:

4 y x x x x Per calcular l àrea demanada A, ho farem en dues parts: primer calcularem l àrea entre les corbes y (x) = x i y (x) = x entre x = i x = i després l àrea entre les corbes y (x) = x i y (x) = x entre x = i x = : ( A = x x ) ( dx + x x ) dx = = + ln ( ) ln + = ln. ] [x x + 8 ] [ln x x 8

5 UIB Prova d accés a la Universitat () Matemàtiques II Model OPCIÓ B Donat el punt P (,, ) i el pla π : x y + z = 5. (a) Calculau les equacions contínues de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P. ( punts) (b) Calculau el simètric del punt P respecte del pla π. (6 punts) (a) El vector director de la recta buscada serà el perpendicular al pla: v = (,, ). Les equacions contínues de la recta seran: x = y = z. (b) Diem P = (x, y, z) al simètric respecte del punt P. Tindrem que el punt mitjà de P i P, ( x+, y+, ) z+, ha d estar damunt la recta de l apartat anterior i ha d estar també al pla π: x+ = y+, x+ = z+, x+ y+ + x+ = 5. El sistema anterior es pot posar com a: x + y =, x z =, x y + z = 9. Si resolem el sistema anterior obtenim: x =, y = 5 i z =. El punt P serà: P = (, 5, ). (a) Discutiu per a quins valors de a el sistema següent és compatible: ax + (a + )y + ( a)z =, ax + az = a, ax + ay + ( a)z =. (b) Resoleu-lo en el cas (o els casos) en què sigui compatible indeterminat. (7 punts) ( punts)

6 (a) La matriu del sistema A i la matriu ampliada A del mateix són les següents: a a + a a a + a A = a a, A = a a a. a a a a a a El determinant de la matriu del sistema A val: det(a) = a + a a. Si resolem l equació a + a a =, obtenim que a =,,. Per tant, tenim que si a,,, el rang de les matrius A i A serà i el sistema serà compatible determinat. Falta estudiar els casos a = a = i a =. Per a =, la matriu del sistema és:. La matriu ampliada és:. El rang de les matrius A i A val clarament i el sistema serà compatible indeterminat. Si a =, la matriu del sistema serà:. La matriu ampliada és:. El rang de les matrius A i A val clarament i el sistema serà compatible indeterminat. Si a =, la matriu del sistema serà: La matriu ampliada és: El rang de la matriu A val clarament. Per calcular el rang de la matriu ampliada fem el determinant següent: 5 = 6. Com que el determinant és diferent de, el rang de la matriu ampliada serà i el sistema serà incompatible. (b) Hem de solucionar el sistema per a a = i a =. Per a a = el sistema a resoldre és: x y + z =, x z =, x y + z =. Les solucions són: y = 7x, z = x i la x lliure. Per a a = el sistema a resoldre és: } y + z =, z =. Les solucions són y = z = i la x lliure.

7 Sigui la funció f(x) = x +x+ x +. (a) Calculau les asímptotes de la funció f(x). (b) Calculau els extrems de la funció f(x). ( punts) (7 punts) (a) La funció f(x) no té asímptotes verticals, ja que el denominador no s anul la mai ni té f(x) asímptotes obliqües, ja que lim x =. Calculam les asímptotes horitzontals de x la forma y = k. Per calcular k, fem el ĺımit següent: x + x + lim f(x) = lim x x x + Per tant, només té l asímptota horitzontal y =. (b) Per calcular els extrems, primer fem la derivada: f (x) = x ( + x ). =. Si igualam la derivada a, ens surten dos valors de x: x = ±. Ara fem la taula següent per veure si els valors obtinguts són màxims, mínims o punts de sella. x + f (x) + f(x) Per tant, el punt (, ) és un mínim i el punt (, ) és un màxim. Calculau la següent integral indefinida x x 5x+6 dx. ( punts) Primer de tot, dividim ja que el grau del numerador és major que el grau del denominador: La integral demanada serà: (x + 5) dx + x = (x 5x + 6)(x + 5) + (9x ). ( ) 9x x x 5x + 6 dx = + 5x + 9x x 5x + 6 dx. Per fer la integral restant, descomponem la funció racional de la forma següent: 9x x 5x + 6 = Les constants A i B han de complir: A x + B x A(x ) + B(x ) =. (x )(x ) A(x ) + B(x ) = 9x. Les constants A i B valen: A = 8 i B = 7. La integral serà: 9x dx = 8 x 5x + 6 La integral demanada serà: x x 5x + 6 dx + 7 x dx = x dx = 8 ln x + 7 ln x + C. x + 5x 8 ln x + 7 ln x + C.