Aplicaciones de las derivadas

Transcripción

1 Aplicaciones de las derivadas. Recta tangente a una curva en un punto La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto ( 0, f( 0 )) viene dada por f ( 0 ) siempre que la función sea derivable en ese punto. A partir de aquí se tiene que la ecuación de la recta tangente en el punto anterior es y f( 0 ) = f ( 0 ) ( 0 ) En el caso en que la función venga dada en forma implícita, procedemos a derivar de forma implícita y aplicamos la formula anterior. Calcular las rectas tangentes a la circunferencia 2 + y y 24 = 0 en los puntos de abscisa 0 = Figura : Circunferencia de ecuación 2 + y y 24 = 0 En primer lugar calculamos los puntos de tangencia. Para ello sustituimos en la ecuación de la circunferencia la variable por 3 y hallamos el valor de y: 9 + y y 24 = 0 y 2 + 4y 2 = 0 y = 3, y = 7 Las pendientes de las rectas tangentes en los puntos (3, 3) y (3, 7) se calculan derivando implícitamente: 2 + 2yy 2 + 4y = 0 y (2y + 4) = 2 2 y = 2 2 2y + 4

2 La pendiente de la recta tangente en el punto (3, 3) es: 4 0 = 2 y la pendiente de la recta tangente en el punto (3, 7) es 4 0 = 2 Recta tangente en (3, 3): y 3 = 2 ( 3) Recta tangente en (3, 7): y + 7 = 2 ( 3) Figura 2: Tangentes a la circunferencia en los puntos de abscisa 3 2. Derivadas y cálculo de ites Una de las más importantes aplicaciones de las derivadas es el cálculo de ites. Para ello vamos a utilizar el siguiente resultado: Teorema 2. (Regla de L Hopital) Sea δ > 0 y sean dos funciones f, g : ] 0 δ, 0 + δ[ IR, continuas en ] 0 δ, 0 + δ[ y derivables en ] 0 δ, 0 + δ[. Además 0 f() 0 g() = 0. Si g () 0 ] 0 δ, 0 + δ[ y si eiste ln sen = 0 f () g (), entonces eiste 0 ] = e 0 2 = [ 0 0 [ ] 0 cos 0 0 ] [ 0 0 f() g() 2 2 = 0 = 0 = = e = 0 2 y ambos coinciden. [ ] 0 e 0 2 = 2 Este teorema se utiliza para el cálculo de ites funcionales no sólo del tipo 0 0 sino también del tipo 0, 0 0, y 0, tras realizar algunas transformaciones. 2

3 ln ln = [0 ] 0 0 = O este otro: ( + 0 )ln = [ ] = e 0 = e 2 [ ] ( ) = 0 ln ( + ) 0 = e [ 0] 0 = e = e 0 ( ) = e 0 = 3. Crecimiento y Decrecimiento de una función La derivada se utiliza también para el estudio de la monotonía de una función. Veamos alguna definiciones previas sobre crecimiento y decrecimiento de una función. Definición 3. Sea f :]a, b[ IR y sea 0 ]a, b[. Decimos que f es creciente en 0 si eiste un entorno de 0, ] 0 h, 0 + h[ ]a, b[ tal que: * si 0 h < < 0 entonces f() < f( 0 ) * si 0 < < 0 + h entonces f() > f( 0 ) Decimos que f es decreciente en 0 si eiste un entorno de 0, ] 0 h, 0 + h[ ]a, b[ tal que: * si 0 h < < 0 entonces f() > f( 0 ) * si 0 < < 0 + h entonces f() < f( 0 ) Teorema 3. Sea f :]a, b[ IR que es derivable en 0 ]a, b[.. Si f ( 0 ) > 0, entonces f es creciente en 0 2. Si f ( 0 ) < 0, entonces f es decreciente en 0 Demostración.-. Como f f() f( 0 ) ( 0 ) > 0, entonces 0 > 0. Por las propiedades 0 de los ites eiste un entorno de 0 donde f() f( 0) > Análogo al anterior. si > 0 f() > f( 0 ) si < 0 f() < f( 0 ) } luego f es creciente en 0 Definición 3.2 Sea f :]a, b[ IR una función. Se dice que f tiene un máimo relativo en 0 ]a, b[ si eiste un entorno de 0, ] 0 δ, 0 + δ[, contenido en ]a, b[ tal que f() f( 0 ) ] 0 δ, 0 + δ[. Se dice que f tiene un mínimo relativo en 0 ]a, b[ si eiste un entorno de 0, ] 0 δ, 0 + δ[, contenido en ]a, b[ tal que f() f( 0 ) ] 0 δ, 0 + δ[. Se entiende por monotonía de una función al crecimiento y decrecimiento de la misma. ln 3

4 Teorema 3.2 Sea f :]a, b[ IR que es derivable en 0 ]a, b[. Si 0 es un máimo o mínimo de f, entonces f ( 0 ) = 0. Demostración.- En esta demostración vamos a suponer que 0 es un máimo de f, aunque si fuese un mínimo el proceso sería totalmente análogo. Como 0 es un máimo de f eiste un entorno de 0, ] 0 δ, 0 + δ[, contenido en ]a, b[ tal que f() f( 0 ) 0 ] 0 δ, 0 + δ[. Al ser f una función derivable en 0, las derivadas laterales en 0 eisten y son iguales: Luego f ( 0 ) = 0. f +( f( 0 + h) f( 0 ) 0 ) 0 h 0 + h f ( f( 0 + h) f( 0 ) 0 ) 0 h 0 h Este teorema, al igual que el anterior, proporciona una condición necesaria para los etremos de una función, aunque no es un condición suficiente. Así la función f : IR IR dada por f() = 3 verifica que f (0) = 0 y sin embargo no alcanza un etremo en el punto 0. Una vez localizados los posibles etremos relativos, veamos como podemos saber si son máimos o mínimos. Teorema 3.3 Sea f :]a, b[ IR una función que posee derivada segunda en ]a, b[. Si f ( 0 ) = 0 se verifica:. Si f ( 0 ) > 0, f tiene un mínimo en 0 2. Si f ( 0 ) < 0, f tiene un máimo en 0 Demostración.-. Sabemos que f ( 0 ) > 0, luego: f ( 0 + h) f ( 0 ) f ( 0 + h) > 0 h 0 h h 0 h Como eiste este ite, eisten los ites laterales: f ( 0 + h) a) > 0 f ( 0 + h) < 0 f es decreciente para h 0 h los valores menores de 0, luego ] 0 δ, 0 [ f() f( 0 ). f ( 0 + h) b) > 0 f ( 0 + h) > 0 f es creciente para los h 0 + h valores mayores de 0, luego ] 0, 0 + δ[ f() f( 0 ). Así pues f tiene un mínimo en Análogo al anterior. Todos estos resultados se utilizan en el estudio de las funciones y en la optimización de las mismas. 4

5 4. Curvatura de la gráfica de una función Para el estudio y representación de la gráfica de una función es muy importante conocer la curvatura de la misma, es decir, si es cóncava o convea. En este aspecto puede haber confusión pues la curvatura depende del punto de vista desde el que se observe la gráfica. Para evitar esta confusión entre cóncava o convea vamos a realizar la siguiente definición: Definición 4. Sea f : [a, b] IR. Se dice que f es cóncava hacia el eje Y positivo si, y [a, b] el segmento que une los puntos (, f()) e (y, f(y)) se encuentra por encima de la gráfica de f y diremos que f es cóncava hacia el eje Y negativo si, y [a, b] el segmento que une los puntos (, f()) e (y, f(y)) se encuentra por debajo de la gráfica de f Figura 3: Función cóncava hacia al eje Y positivo a la izquierda de 0 y cóncava hacia el eje Y negativo a la derecha de 0 Observamos también que si la función es derivable y cóncava hacia el eje Y positivo, la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente. Si la función es derivable y cóncava hacia el eje Y negativo, la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente. Veamos cómo determinamos analíticamente los intervalos en que una función es cóncava hacia el eje Y positivo o negativo. Al igual que ocurría con la monotonía de una función, la derivada juega un papel muy importante en el estudio de la curvatura de la gráfica de la función. Teorema 4. Sea f :]a, b[ IR una función que posee derivada segunda en ]a, b[.. Si f ( 0 ) > 0, f es cóncava hacia el eje Y positivo en 0 2. Si f ( 0 ) < 0, f es cóncava hacia el eje Y negativo en 0 Y qué ocurre si la segunda derivada se anula en el punto 0? En este caso estudiamos qué ocurre con la tercera derivada en ese punto. Si no es nula, el punto 0 es un punto de infleión (puntos donde la función cambia de curvatura) y si la tercera derivada se anula en 0 podemos tener un etremo relativo en ese punto, con lo cual hay que volver a derivar y estudiar qué ocurre en ese punto.

6 2 2 Figura 4: La función f() = 3 presenta un punto de infleión en = 0. Propiedades de las funciones derivables Teorema. (Teorema de Rolle) Sean a, b IR tal que a < b. Sea una función f : [a, b] IR continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, verificando que f(a) = f(b). Entonces eiste un c ]a, b[ tal que f (c) = 0. El teorema de Rolle tiene una sencilla interpretación geométrica: en algún punto de la curva y = f() la tangente a la curva es paralela al eje OX. Además tal punto no tiene que ser único Figura : Interpretación geométrica del Teorema de Rolle Teorema.2 (Teorema del Valor Medio) Sean a, b IR tal que a < b. Sea una función f : [a, b] IR continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces eiste c ]a, b[ tal que f(b) f(a) = f (c)(b a). El teorema del valor medio tiene también una clara interpretación geométrica: en algún punto de la curva y = f() la recta tangente a esa curva tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), pues la tesis del teorema se puede epresar f (c) = f(b) f(a) b a 6