1) (1,6p) Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: x+4-3 x-5. f(x)=

Transcripción

1 2 de diciembre de ) (,6p) Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: f()= ) (,6p) Halla las ecuaciones de las asíntotas de la siguiente función y estudia la posición relativa: ln f()= ln(+) 3) (2p) Encuentra el valor de los parámetros a y b para que la siguiente función sea continua y derivable en =0: 2 sen(/) si f()= +sen(a)+b si 0 4) (,6p) De la siguiente función, se pide: a) La derivada simplificada. b) La ecuación eplícita de la recta tangente en el punto de abscisa. f()= / 5) (,6p) Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). El punto (a,b) tiene coordenadas positivas y está situado en la curva de ecuación y=/ De todos esos rectángulos, halla el de área mínima. 6) (,6p) Dada la función y=-2 arc tg, estudia: a) La monotonía y los etremos. b) La concavidad, la conveidad y los puntos de infleión. --

2 Ejercicio : Estudia y clasifica las discontinuidades de la función: +4-3 f()= -5 º) Dom(f)=[-4,5) (5,+ ): (,6 PUNTOS) 2º) La función es continua en su dominio, ya que, si a Dom(f): f() = a a = a+4-3 a-5 = f(a) 3º) La función tiene una discontinuidad evitable en =5: f() = = = 6 Otra forma de estudiar la continuidad es derivando la función. 2 Como sale la indeterminación 0/0, aplicamos L'Hôpital. También puede hacerse multiplicando numerador y denominador por el conjugado del numerador. O con el cambio +4=t

3 Ejercicio 2: Halla las ecuaciones de las asíntotas de la siguiente función y estudia la posición relativa: ln f()= (,6 PUNTOS) ln(+) º) Dom(f)=(0,+ ): + ln(+) 0 > º) La recta =0 es asíntota vertical de la función: ln ln 0 f() = + ln(+) = ln(+0 + ) = - ln( + ) = = - 3º) La recta y= es asíntota horizontal de la función en + : ln f() = + + ln(+) =2 Posición relativa: + / /(+) = + + = 3 = + ln f()-y= ln(+) - = ln -ln(+) ln(+) Por tanto, como la diferencia es negativa en +, ya que el numerador es negativo 4 y el denominador positivo, la función se encuentra situada por debajo de la asíntota. Para calcular el ite del denominador hemos aplicado la regla del ite de la composición. 2 Como sale la epresión indeterminada /, aplicamos L'Hôpital. Para obtener dicha indeterminación hemos aplicado al denominador la regla del ite de la composición. 3 Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. También puede hacerse sacando factor común en numerador y denominador, simplificando a continuación. O teniendo en cuenta que a 0 +a +a a n n ~ a n n en + y en -. 4 Como <+, entonces ln <ln(+), ya que ln es una función creciente. -3-

4 Ejercicio 3: Encuentra el valor de los parámetros a y b para que la siguiente función sea continua y derivable en =0: 2 sen(/) si f()= (2 PUNTOS) +sen(a)+b si 0 º) Si la función f es continua en =0, entonces b=0: f(0)=b f() = 2 sen = 0; f() = [+sen(a)+b] = 2 b 2º) Si la función f es derivable en =0, entonces a=-: f' - (0)= -0 = 3 2 sen(/) sen = 0 = f' + (0)= -0 = 3 +sen(a) = 4 +a cos(a) = +a Otra forma de hacerlo es estudiar sólo la derivada: 5 f' - (0)= -0 = 2 sen(/)-b = 6 -b 0-7 b=0 f' - (0)= 2 sen(/)-b f' + (0)= -0 = 3 +sen(a) = 3 sen = 0 = 4 +a cos(a) = +a Si la función es derivable, entonces +a=0. Llegamos, pues, al mismo resultado que antes. Ya que se trata del producto de un infinitésimo por una función acotada. 2 Para calcular el ite del segundo sumando hemos aplicado la regla del ite de la composición. Lo mismo sucede en los ites que siguen en los que aparece la epresión sen(a) o la epresión cos(a). 3 Ya que b=0. 4 Como sale la indeterminación 0/0, aplicamos L'Hôpital. También puede efectuarse el cociente, +sen(a)/, aplicar las propiedades de los ites (el ite de una suma es la suma de los ites de los sumandos) y utilizar el hecho de que sen f ~ f si f es un infinitésimo. 5 Ya que la derivabilidad implica la continuidad. 6 Ya que el minuendo del numerador es el producto de un infinitésimo por una función acotada. 7 Si b 0, este ite sería infinito. Pero es finito, ya que la función es derivable en =0. -4-

5 Ejercicio 4: De la siguiente función, se pide: a) su derivada simplificada; b) la ecuación eplícita de la recta tangente en el punto de abscisa : f()= / (,6 PUNTOS) º) Hallamos la derivada de la función: f() = / = e (/) ln f'() = e (/) ln ln ' = = / -ln 2 = -ln 2 / 2º) Hallamos la ordenada del punto de tangencia: f() = = 3º) Calculamos la pendiente en el punto de tangencia: Resumiendo: f'()= -ln = y y' 4º) Por tanto, la ecuación eplícita de la recta tangente es: y-= (-) y-=- y= Aunque se puede derivar la función por el método de derivación logarítmica, también podemos hacerlo escribiéndola primero como función eponencial de base e. -5-

6 Ejercicio 5: Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). El punto (a,b) tiene coordenadas positivas y está situado en la curva de ecuación y=/ De todos esos rectángulos, halla el de área mínima. (,6 PUNTOS) El vértice (a,b) del rectángulo tiene coordenadas positivas y está situado en la curva de ecuación y=/ 2 +4: (0,b) (a,b) y=/ 2 +4 (0,0) (a,0) El área del rectángulo es mínima: A =a b Tenemos que epresar el área en función de una sola variable. Ahora bien, como el punto (a,b) pertenece a la gráfica de la función y=/ 2 +4, satisface su ecuación: b= a2 +4 A=a a 2 +4 = a +4a = +4a 2 a Como la condición necesaria de etremo relativo es que la derivada valga cero, derivamos, igualamos a cero y resolvemos la ecuación: 8a a-(+4a A' = 2 ) 8a a 2 = 2 --4a 2 4a a 2 = 2 - a 2 = 0 4a 2 - = 0 4a 2 = a 2 = /4 a = /2 Como 2 D = a 2 > 0, para aplicar el criterio de la derivada segunda podemos sustituir 3 A" por N', donde N = 4a 2 -: Por último: N'= 8a N'(/2)= 4 >0 A es mínima en a=/2 a=/2 b= /4 +4 =4+4=8 Ya que a>0. 2 Designamos por D al denominador de la derivada y por N al numerador. 3 Ya que los signos de N' y A" coinciden en a=/2. -6-

7 Ejercicio 6: Dada la función y=-2 arc tg, estudia: a) la monotonía y los etremos; b) la concavidad, la conveidad y los puntos de infleión. (,6 PUNTOS) a) Para estudiar la monotonía aplicamos el criterio de la derivada primera: 2 y'= = = = (+)(-) + 2 Intervalos (-,-) (-,) (,+ ) y' es y es creciente decreciente creciente Como la función y es continua en =- y = (por ser derivable en dichos puntos), entonces, por el criterio de la variación del signo de la derivada primera, concluimos que la función tiene un máimo relativo en =- que vale y=π/2- y un mínimo relativo en = que vale y=-π/2. b) Para estudiar la curvatura aplicamos el criterio de la derivada segunda: 2 (+ y"= 2 )-( 2 -) 2 2 (+ (+ 2 ) 2 = 2-2 +) (+ 2 ) 2 = 4 (+ 2 ) 2 Intervalos (-,0) (0,+ ) y" es - + y es cóncava convea Como la función y' es continua en =0 (por ser derivable en dicho punto), entonces, por el criterio de la variación del signo de la derivada segunda, 2 concluimos que la función tiene un punto de infleión en =0, cuya ordenada es y=0-2 arc tg 0=0. El estudio de los etremos puede hacerse también con el criterio de la derivada segunda. 2 El estudio de los puntos de infleión puede hacerse también con el criterio de la derivada tercera. -7-