UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR

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1 UNIVERSIDD NIONL DE FRONTER EPREUNF ILO REGULR 0708 URSO: MTEMÁTI SEMN 0 TEM: TRIÀNGULOS R.T. NGULOS GUDOS R.T. ULQUIER MGNITUD TEM: PRODUTOS NOTLES DIVISIÓN LGERI OIENTES NOTLES TRINGULOS DEFINIIÓN: Tiángulo es l egión del plno limitd po tes segmentos de et que se otn dos dos. LSIFIION: I. Po l medid de sus ldos: II. Po l medid de sus ángulos: ) Equiángulo: Es quel tiángulo que tiene sus ángulos intenos de igul medid. ) Oliuángulo: utángulo: Es quel tiángulo que tiene sus ángulos intenos gudos. Otusángulo: Es quel tiángulo que tiene un ángulo inteno otuso. ) Retángulo: Es quel tiángulo que tiene un ángulo inteno eto. PROPIEDDES ÁSIS:. En todo tiángulo, un ldo es meno que l sum de los otos dos mo que su difeeni.. En todo tiángulo mo ldo se opone mo ángulo vieves.. L medid de l medin eltiv l hipotenus en un tiángulo etángulo es igul l mitd de l medid de l hipotenus.. En todo tiángulo el segmento que une los puntos medios de dos ldos es plelo l tee ldo e igul su mitd. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE ÁNGULOS GUDOS ngulo Inteio Se un ángulo gudo de un tiángulo etángulo, tl omo se muest en l Figu (), entones se definen: Sen s os Se Tg tg PROPIEDD FUNDMENTL Los vloes de ls zones tigonométis de los ángulos gudos no dependen de l longitud de los ldos que lo fomn, sino de l medid del ángulo definido po ellos. Ldo Vétie ngulo Eteio Equilteo Isóseles Esleno ldos ldos ldos Figu RZONES TRIGONOMÉTRIS REÍPROS Si es un ángulo gudo, se umple que: Sen. s os. Se Tg. tg ORZONES TRIGONOMÉTRIS Si son dos ángulos omplementios, entones se umple: Sen os Tg tg Se s RZONES TRIGONOMÉTRIS DE ÁNGULOS NOTLES K º Y 0º 0º º0' 7 7º 7 º0' X º NGULO EN POSIION NORML º Un ángulo tigonométio está en posiión noml si su vétie está en el oigen de oodends su ldo iniil oinide on el ldo positivo del eje su ldo finl se enuent en ulquie pte del plno. I II III IV RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN NGULO EN POSIION NORML º 0 8º0' 8º º 7º0'

2 Se un ángulo en posiión noml P, un punto que petenee l ldo finl del ángulo difeente del oigen el dio veto. Entones se define: Y P, X Osevión P REORDR ls definiiones nteioes, utilie el siguiente mio: teto Opuesto = Odend = teto dente = sis = Hipotenus = Rdio Veto = SIGNOS DE LS RZONES TRIGONOMÉTRIS EN D UDRNTE: Sen = os Tg = tg = Se = s = UNIVERSIDD NIONL DE FRONTER EPREUNF ILO REGULR En l figu, lul, si M = M, D = 0 D =. ) ) 0 ) 0 e). En un tiángulo, eto en, se se que: z z sen os. lul: Tg z z ) ) ) e) / /. 90º II 80º Sen ; s 80º III 70º Tg ; tg. En el gáfio hll ". ) 0º ) º ) º0 º0 e) 8º0 0º I90º Tods ls R. T. son 70º IV 0º os ; Se TIVIDD DE ENTRD L N. lul si N = es meditiz de. ) ) ) 8 e) 0. En un tiángulo,. L meditiz de inteset l ldo en P. lul l medid del ángulo, siendo = P. ) 0º ) 7º ) 80º 90º e) 0º. En l figu, lul. 7. Del gáfio. Detemine: E = (tg + tg )tg ) ) ) 9 0 e) 8. En el tiángulo ; eto en, hll Tg Tg si: ) ) 8 ). e) Sen Sen 9. Si: os( + 0º) = Sen ( + 0º). lul el vlo de M = Sen Tg + Se ( es un ángulo gudo). ) 0 ) ) e) 0. Siendo P(, ) un punto del ldo finl del ángulo, que está en posiión noml. Hll el vlo de: R = 7(os Sen ) + tg ) / ) 9/ ) 7/8 /7 e). Siendo: Sen Sen = 0 ( Q ). lul el vlo de: E = Sen Tg ) / ) / ) /7 8/ e) ) ) 8 ) e) 8

3 . Si son ángulos positivos menoes de un vuelt. Si: tl que IV II, qué udnte petenee: ) I ) II ) III IV e) todos os ; 80 < < 70 Hll el vlo de: N Se Tg ) ) ) 7 e) 9 UNIVERSIDD NIONL DE FRONTER EPREUNF ILO REGULR 0708 Identiddes de Lgnge Identidd de gnd Igulddes ondiionles PRODUTOS NOTLES Reien este nome quells multipliiones indids donde se puede detemin dietmente el poduto sin neesidd de efetu l opeión de multipliión. Siendo los más impotntes. Tinomio uddo Pefeto Identiddes de Legende Difeeni de uddos Sum o Difeeni de uos Tinomio l uddo inomio l uo Tinomio l uo Si : 0 se demuest que: Si : Donde,, se demuest que: oientes Notles Son quellos oientes que se pueden otene en fom diet sin neesidd de efetu l opeión de l división. Se otienen de divisiones indids que epesentn l fom: n n Donde, seán ls ses; n ; n álulo del témino Genel n n Semos que:, entones: n t témino ésimo Poduto de inomio on Un témino en omún

4 Teoem: P que l siguiente división: m p lug un oiente notle dee de umplise que: m n númeo de téminos p q n q de UNIVERSIDD NIONL DE FRONTER EPREUNF ILO REGULR 0708 ) ) ) e) 8. lul el esto en l división: Redui: UESTIONRIO ) 8 ) ) e) 0 J ) ) + 8 ) 8 + e). uánto vle m si se se que l siguiente epesión: m 8 m 9 es un tinomio uddo pefeto. ) ) ) 8 0 e). Si: 8 7. lul: S ) ) ) 8 e) 0. Siendo:... I... II Simplifi: M = ) 0 ) ) e). Si: 9 78 lul : N ) ) ) e). Efetu: D omo + espuest el oefiiente del témino udátio del oiente. 0. Hll " R" R R ; si el déimo témino del desollo: tiene gdo soluto 8. ) 0 ) 0 ) 0 0 e) 0. Si el oiente: téminos. 8 8 ) ) ) 8 e) 0 es notle enuente el nº de. Enuente el.n que dio oigen l siguiente desollo: 8 si: ) + e) ) + +. lul siendo que témino del lug del oiente notle: es ) ) ) ) e) 7. El númeo de téminos de es oho. uál es el to témino? ) 0 9 ) e) 8 8 ) 9 0 ) ) ) 7 e) 9 7. Efetu: 7 oefiientes del oiente. señle l sum de

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