Cálculo diferencial integral en una variable Facultad de Ingeniería - IMERL Primer semestre Práctico Semana 05. (esto se puede deducir).

Transcripción

1 Universidd de l Repúblic Cálculo diferencil integrl en un vrible Fcultd de Ingenierí - IMERL Primer semestre 8 Práctico Semn 5. Integrles (Áres lgebráics) En est sección se trbjr con l ide intuitiv de integrl, donde l integrl de un función f en el intervlo [,b] es el áre signd entre el gráfico y el eje x Algunos ejemplos de integrles 3 f (t)dt = + = 5 g(t)dt = =, 4 g(t)dt = 4 h(t)dt = = Todos los resultdos de este práctico se podrán probr formlmente luego, quí estn pr dr ides intuitivs del problem y trbjr con cotciones. Se recuerdn ls propieddes de áre. Propieddes bsics de áres Si A B entonces Áre(A) Áre(B) El áre de un rectángulo R de ldos y b es Áre(R) = b. El áre de un triángulo rectángulo T de bse b y ltur h es Áre(T ) = hb (esto se puede deducir). Si A B = entonces Áre(A B) = Áre(A) + Áre(B). Además si dos rectngulos R y R se intersecn sólo en ldos entonces Áre(R R ) = Áre(R ) + Áre(R ) (esto último en relidd se puede deducir). Se puede sumir que tods ls funciones de est sección son integrbles.. Clculr l integrl de ls siguientes funciones en el intervlo [, ]. Aclrción: El vlor [x] es l distnci de x l entero ms próximo. ) f (x) = b) f (x) = x c) f (x) = x si x x si < x d) f (x) = x e) f (x) = 3[x] f ) f (x) = [3x] g) f (x) = x + [x] h) f (x) = x [x] i) f (x) = 3x j) f (x) = x k) f (x) = sin(x) l) f (x) = cos(x)

2 . Sen f,g dos funciones fines y,b R con < b. Verificr que b f (x)dx = (b )(f (b) + f ()) Probr que si f () g() = (f (b) g(b)) entonces b f (x)dx = b g(x)dx. Relize en un ejemplo los gráficos de f y g bjo ests condiciones e interprete geometricmente. 3. ) Que vlores de y b, < b, mximizn el vlor de l integrl b x x dx? b) Que vlores de y b, < b, minimizn el vlor de l integrl b x + x 4 dx? 4. Bosquejr ls funciones F i (x) = x f i(t)dt, pr ls siguientes funciones. 5. Clcule explicitmente y grfique l función F(x) = x f i(t)dt pr ) f = t+ b) f (t) = máxt, t} c) f 3 (t) = [t] d) f 4 (t) = t [t] e) f 5 = máx[t],} 6. Ordenr de form creciente en áre los siguientes conjuntos: ) un cudrdo de ldo b) un rectángulo de ldo menor c) un rombo de digonles d) un circunferenci de rdio e) un elipse de eje myor 7. Clcule el áre de l región S comprendid entre ls grfics de f y g, en el intervlo indicdo pr cd cso. Bosquejr en cd cso ls dos grfics y sombrer S. ) f (x) = x, g(x) = x en [,] b) f (x) = x, g(x) = x en [,] c) f (x) = x, g(x) = x en [,] d) f (x) = x, g(x) = x en [,] e) f (x) = x, g(x) = x en [,3] f ) f (x) = x, g(x) = x en [,] 8. Pr ls siguientes gráfics estimr el vlor c tl que b f (x)dx = c(b ), bosquejr el rectngulo de lto c y bse [,b]

3 En cd cso discutir l existenci de x tl que f (x ) = c. Dr un ejemplo de función integrble f tl que c [,b] se cumple que b f (x) dx (b )f (c). 9. Estimr prtir de ls gráfics ls integrles de ) f (x) = 4 + x b) f (x) = x c) f 3 (x) = x Figur : gráfics de ls funciones f i. Funciones convexs Se f : I R un función, donde I es un intervlo o R, decimos que f es convex si x,y I, t [,] se cumple que f (tx + ( t)y) tf (x) + ( t)f (y). En otrs plbrs, ddos dos puntos del gráfico de f si se trz el segmento de rect por ellos, el gráfico de f nunc est por rrib del este. 3

4 ) Probr que l función f (x) = x es convex b) Probr que f es convex entonces b c) Probr que si f es convex y creciente entonces b ( ) f (b) f () f (t)dt (t ) + f ()dt b +b b f (t) f ()dt f (t) f +b. Se f : R R un función monoton creciente e integrble. Probr que: d) n n f (k) f (t)dt k= n f (k) e) k= mn k= f ( k m ) m n f (t)dt. Definición de integrl y propieddes básics. Clcule S (f,p ) y S (f,p ) en los siguientes csos. ( ) + b dt mn f ( ) k m, pr todo m N+ m ) f (x) = 3x, P =,,,3} b) f (x) = x, P =,,,,} c) f (x) = x+3, P =,,,} d) f (x) = x, P =,,,3} e) f (x) = x, P =,,4,9} f ) f (x) = x, P =,,, 3 } 4, g) f (x) = x, P =,,3,4} h) f (x) = sin(x), P =, π 3, π },π j) f (x) = tn(x), P =, π 6, π 4, π } 3 k= i) f (x) = cos(x), P =, π 6, π 4, π 3, π } k) f (x) = rctn(x), P =,,, } 3, 3 ) Se h : R R tl que h(t)dt = y 3 h(t)dt = 6. Clculr 3 h(t)dt. b) Se f : R R tl que 8 f (t)dt = y 8 4 f (t)dt =. Clculr 4 f (t)dt. 3. Se f : [,4] R integrble tl que f (x), pr todo x [,] [,4] y f (x) 4, pr todo x [,]. 4

5 ) Probr que 4 f (x)dx 4 b) Si demás se sbe que f (x) 3 pr todo x [,3], hllr m R tl que 4 < m < 4 f (x)dx. x si x Z 4. Bosquejr l función f (x) definid por f (x) = en otro cso Clculr b f (x)dx 5. Integrles polinomics ) Clculr 3 x dx hllndo sus sums superiores e inferiores pr prticiones equispcids. Recordr que n i = n(n+). i= b) Clculr 3 x dx hllndo sus sums superiores e inferiores pr prticiones equiespcids. Recordr que n i = n(n+) y n i = n(n+)(n+) 6. i= i= c) Clculr x3 dx hllndo sus sums superiores e inferiores pr prticiones equispcids. Puede ser util recordr ls fórmuls del práctico semn 3. d) Se f n : R R definid por f n (x) = x n. Dd l equiprtición de [,] por k intervlos, digmos P k, probr que S (f,p K ) S (f,p k ) k Utilizr l desiguldd nterior pr dr un fórmul que proxime f n(x)dx con un precisión del 99,9%. 6. Se P un equiprtición de [,], hlle l sum superior e inferior de ls siguientes funciones ) f (x) = si x Q si x Q si x Q b) f (x) = x si x Q c) f (x) = si x = n,n N en otro cso Determine cules de ests funciones son integrbles y cules no. 7. De ls siguientes vriciones de l definición de integrbilidd, determine ls implicncis entre ells y si vriciones equivlentes. L funcion f : R R es integrble en el intervlo [,b] si ) (Definición de integrble) Pr todo ɛ >, existe un prtición P de [,b] tl que S(f,P ) s(f,p ) ɛ b) Pr todo ɛ >, se cumple que tod prtición P de [,b] verific que S(f,P ) s(f,p ) ɛ c) Existe ɛ >, tl que existe un prtición P de [,b] se verific que S(f,P ) s(f,p ) ɛ d) Existe ɛ >, tl que pr tod prtición P de [,b] se verific que S(f,P ) s(f,p ) ɛ. Pr ls siguientes funciones determinr cul de ls vriciones de integrbilid se verific: 8. Funciones de Lipschitz f (x) = x, f (x) =, f 3 (x) = si x Q si x Q Un función f : R R se dice de Lipschitz o lipschitzin si existe K > tl que pr todo pr de puntos x,y R se verific que f (x) f (y) K x y 5

6 ) Probr que si f : [,b] R es integrble entonces l función F : [,b] R definid por F(x) = f (t)dt, es lipschitzin. x b) Probr que si f es K lipschitzin entonces pr todo intervlo [ i, i+ ] se cumple que ínf(f,[ i, i+ ]) f ( i ) K( i+ i ) y sup(f,[ i, i+ ]) f ( i ) + K( i+ i ) Utilize esto pr probr que un función lipschitzin es integrble. Ls primers desigulddes son un sugerenci. puede probr que un función lipschitzin es integrble de otr form. c) Sen f : R R lipchitzin, no negtiv, y,b R con < b. Probr que si b f (t)dt = entonces f (x) = pr todo x [,b]. Dr un ejemplo de función g : R R no negtiv, no nul, tl que g(t)dt =. 9. Probr que un función monoton creciente y cotd es integrble. Sugerenci: Pr probr que es integrble en el intervlo [,b], tomr un prtición equispcids de tmño b n. Se f un estrictmente creciente en [,b]. ) Probr que x f (t)dt + f (x) f () Interprete geométricmente el resultdo. b) Clculr t dt. Clculr F : R R pr los siguientes csos f (t)dt xf (x) + f () = x [,b] sin(x) cos(x) rctn(x) ) F(x) = dt b) F(x) = dt c) F(x) = dt x x + x d) F(x) = t dt e) F(x) = t dt f ) F(x) = t dt x x. Sen f,g : [,b] R dos funciones integrbles, no negtivs. Sen P un prticion de [,b], M i,m i los supremos e infimos en el intervlo [x i,x i+ ] pr f. De form nálog notmos M i,m i pr g y M i.m i pr f g. ) Demuestre que M i M i M i y m i m i m. b) Deduzc que n S (f g,p ) S (f g,p ) i= [M i M i m i m ](t i+ t i ) c) Aplicndo el hecho de que f,g estn cotds, notemos M un cot superior pr mbs, demuestre que n n S (f g,p ) S (f g,p ) M [M i m i ](t i+ t i ) + [M i m i ](t i+ t i ) d) Demuestre que f g es integrble. e) Estudie pr el cso de f,g funciones integrbles culesquier. i= i= 6

7 3. Aplicciones. ) Supong que un uto se desplz un velocidd constnte, digmos 5km/h, en un crreter rect. Digmos demás que l posición inicil er el kilometro, y l medi hor estb en el kilometro 5. ) Clculr l posición del vehículo en un momento t genérico. ) Deducir que se verific l fórmul t x(t) = 5 dt 3) Verificr que l iguldd de l prte nterior sigue siendo vlid si l velocidd es constnte trozos. b) Supong que 3 utos inicin en el mismo lugr x () = x () = x 3 () y tienen velociddes v (t) v (t) v 3 (t) donde v y v 3 son constntes trozos. ) Deducir que t ) Discutir sobre si es vlid l firmción t v (t) dt x (t) v 3 (t)dt t x (t ) x() = v (t)dt c) Repetir ls prtes de este ejercicio pr relcionr l velocidd v(t) con l celerción (t). Verificr que x(t ) x() = t ( t ) (s) ds dt d) Dd un prticul que solo se mueve en un dirección. Probr que l definición de velocidd medi coincide con l de vlor medio pr l integrl. e) Cid libre Si se suelt un pelot desde un edificio, digmos de m de ltur, un primer proximción dice que podemos suponer que l únic fuerz que ctu sobre ell es l grvedd (ignorndo l resistenci del ire). Bjo ests hipotesis se obtiene que l celerción hci l Tierr es de 9,8m/s. Cuánto tiempo trd l pelot en llegr l suelo? A qué velocidd lleg? f ) Cid libre con resistenci l ire Un objeto se dej cer desde un helicoptero. El objeto ce cd vez más rápido pero su celerción decrece con el tiempo debido l resistenci del ire. L celerción se mide en pies/seg y se registr cd segundo despues de soltr el objeto durnte 5 segundos, como se muestr en l siguiente tbl t ) Encuentre un estimción superior pr l velocidd cundo t = 5. Repit pr un estimción inferior. ) Encuentre un estimción pr l distnci recorrid cundo t = 3. 7

8 4. Complementrios. ) De ejemplo de funciones f, g que sen integrbles pero que f g no lo se. b) Determinr si es verddero o flso l siguiente firmcion. Si f es integrble entonces f lo es. Se f : R R defnid por Probr que f es integrble. 3. Se f : R R definid por Determinr si f es integrble si x Q f (x) = q si x = p q, con p q frcción irreducible f (x) = si x = + b,,b Z en otro cso Dí Dí Dí 3 Ejercicio. dos por fil Ejercicio.3 Ejercicio.7 uno por fil Ejercicio.8 y.9 Ejercicio.4 Ejercicio. uno por fil Ejercicio. y.3 Ejercicio.5. y.5.b Ejercicio. Ejercicio.7 Ejercicio.8 Ejercicios mínimos obligtorios Ejercicio 3. L ide es entender l situción de ls prtes ), b), c), y d) y relizr ls prtes e) y f) 8