SOLUCIONES AL EXAMEN DE SEPTIEMBRE DE ESTADÍSTICA EXAMEN DE MATEMÁTICAS II

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Aurora Henríquez Venegas
hace 5 años
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1 SOLUCIONES AL EXAMEN DE SEPTIEMBRE DE 4. ESTADÍSTICA EXAMEN DE MATEMÁTICAS II Estadística (primer parcial). Septiembre de 4.- El coeficiente de determinación R nos determina a) el % de la varianza de Y explicada por la variable X b) la relación lineal entre X e Y X c) el % de la varianza de Y explicada por el modelo del ajuste..- Cómo se denomina, al conjunto total de todos los resultados que pueden ocurrir al realizar un experimento. a) Espacio estadístico b) Espacio aleatorio X c) Espacio muestral. 3.- Una función de distribución es: X a) no decreciente b) discontinua c) creciente. 4.- El método de los mínimos cuadrados para obtener los coeficientes de regresión de un determinado modelo de ajuste a) es aplicable únicamente si el modelo es de tipo lineal. X b) siempre es aplicable sea cual sea el modelo c) es aplicable siempre que exista linealidad en los coeficientes. 5.- En una distribución N( 7, ), la P(X=5) vale a) menos de.5 X b) exactamente c) más de,5. Unidad docente de Matemáticas

2 .- Una variable aleatoria x tiene una función de densidad igual a: si a < x < b f ( x) = b a. en el resto a) Calcular su función de distribución. b) Representar gráficamente las funciones de densidad y distribución. b) Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria x tome valores entre y sabiendo que a= y b=4. si a x b f ( x) = b a corresponde a la función de densidad de una distribución en el resto uniforme Su función de distribución es x F (x) = dt y por tanto, b a F ( x) a x - a = b - a P( x ) = si x < a si a x b si dx 4 x > b =.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = 5. Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos. Una variable aleatoria ξ tiene distribución de Poisson de parámetro λ, si toma los valores naturales (k=,,,...n) con probabilidad: P k λ k! λ ( ξ = k) = e 5 λ. En nuestro caso es ( ) con > 5 P ξ = k = e. k! k 5 a) P(x = ) = e b) P(x < ) = P(x = ) + P(x = ) = 6e. 443 Unidad docente de Matemáticas

3 c) P(x 3) = P(x ) = ( P(x = ) + P(x = ) + P(x = ) ) =.465 = Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(,) y la capacidad según una distribución N(4, ), calcular la probabilidad de avería. Sea ξ la variable aleatoria ξ = C T, La variable ξ sigue el modelo de una distribución Normal. E [] ξ = E[ C T] = E[ C] E[ T] = 4. V [ ξ ] = V[ C] + V[ T] = 5. ξ N( 4, 5) Existe una avería si ξ = C T <, por lo tanto, 4 P( ξ ) = P z De una variable estadística bidimensional se conocen las rectas de regresión x y = 5 ; x y = 4, así como su σ 3 y x = 3. Se pide: a) Calcular los coeficientes de regresión, correlación y de determinación. b) Calcular la matriz de covarianzas. x = Para que sean rectas de regresión tiene que ocurrir que: 5 x y = 5 y = x + sea la recta de regresión de Y/X. x y = 4 x = y 4 sea la recta de regresión de X/Y. a) Los coeficientes de regresión correlación y determinación son b y / x =, b x / y =, r xy = =. 77, R, 5 respectivamente. b) b σ xy 9 = = σ xy, por otra parte, b σ y / x = x σ = = σ xy x / y σ y = y 9 9 así pues, M = 9 / 9 / 9 / Unidad docente de Matemáticas 3

4 5.- Una variable aleatoria x sigue una función de distribución especificada así: F ( x) si x <. si x < =.6 si x <.9 si x < 3 si x 3 a) Representar la función de distribución. b) Hallar la distribución de probabilidad y representarla. c) Hallar la probabilidad de que x tome valores en los siguientes intervalos, (,3], (,], (,), [,3]. d) Calcular su media y mediana X P( ξ =x), ,3 3 P ( < ξ 3) =.9 P ( < ξ ) =. 3 P ( < ξ < ) = P ( ξ 3) =. 4 ξ = =.4 Mediana M=. Unidad docente de Matemáticas 4

5 6.- En una unidad de pediatría, se obtuvieron los siguientes datos respecto a los pesos y edades de los niños atendidos. Pesos Edad en años a) Hallar las distribuciones de frecuencias en kilos marginales, y representar el polígono de frecuencias de las variables marginales. b) Calcular las medias, cuasivarianzas, y las desviaciones típicas. c) Si un niño tiene un 6 - año cuál será su peso estimado? Si un niño pesa 6 kilos cuántos años se estima que tendrá? Distribución marginal edad X X n Sumas X n x nx n(x x) Sumas Media Marginal X = 66 Cuasivarianza S x = = Desviación típica σ x = = y n Sumas Unidad docente de Matemáticas 5

6 y n ny n(y y) 6 33,66, , , , Sumas 6 4,93 Media Marginal Y = Cuasivarianza S y = = Desviación típica σ y = = Covarianza σ xy =.367 = La recta de regresión del peso sobre la edad es: 3.49 x = (y,367) si y= x = 8. 4 kilos.33 La recta de regresión de la edad sobre el peso es: 3.49 y,367 = (x ) si x=6 y =. 8 años 3,37 Unidad docente de Matemáticas 6

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