Universidad de Zaragoza

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1 Nº L.E. Nº L.A.D.E. PUBLICACIONES DE 2º CURSO SECCIÓN: L.A.D.E y L.E. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA II TEMA: GRUPO: Problemas de muestreo TODOS DEPARTAMENTO DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS Curso Académico 2004/2005 Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Zaragoza

2 PROBLEMAS DE INTRODUCCIÓN AL MUESTREO 1.- El puente aéreo Madrid-Barcelona sólo lo realizan dos compañías: Iberia y Aviaco. El director de Iberia afirma que el 80% de los usuarios viajan en su compañía, mientras que el director de Aviaco dice que sólo lo hacen el 75%. Para confirmar su teoría, el C.I.S. realiza una encuesta a 1000 usuarios. Si al menos 775 de los entrevistados vuela con Iberia le dará la razón a su director y en caso contrario al director de Aviaco. Calcula la probabilidad de que: a) Teniendo razón el director de Aviaco, se la dé al de Iberia b) Teniendo razón el director de Iberia, se la dé al de Aviaco 2.- En cierto juego de las Vegas la jugada cuesta un dólar. La máquina paga 2$ con probabilidad p=0.45. Sea X i la cantidad de dinero que gana la casa en la jugada i-ésima. Suponiendo que las jugadas son independientes, calcular: a) Valor esperado y varianza de la ganancia de la casa después de n jugadas. b) Probabilidad de que la casa gane entre 800$ y 1000$ después de jugadas. 3.- La venta diaria de un grupo de concesionarios de automóviles se encuentra entre 20 y 40 coches, y se puede suponer que la distribución de las ventas es una variable aleatoria uniforme. Después de 282 días de ventas cuál es la probabilidad que tiene dicho grupo de concesionarios de haber vendido más de 8670 automóviles? (Suponer las ventas diarias independientes.) 4.- En un proceso de fabricación se sabe que el número de unidades defectuosas producidas diariamente viene dado por una v.a. cuya distribución es Poisson de media 10. Determinar la probabilidad de que en 150 días el nº de unidades defectuosas producidas supere las 1480, suponiendo que las producciones diarias son independientes. 5.- Se diseña un ascensor cuyo límite de carga es de 3150 kilogramos. Se indica que su capacidad máxima es de 40 personas. Si los pesos de todas las personas que utilizan el ascensor se suponen que están distribuidos alrededor de 75 kilogramos con una desviación típica de 22 kilogramos. Cuál es la probabilidad de que un grupo de 38 personas exceda el límite de carga del ascensor? Muestreo 2

3 6.- Suponga que los eslabones de una cadena de bicicleta tienen longitudes distribuidas alrededor de una media de 0.50 cm. con desviación típica 0.04 cm. Los modelos del fabricante requieren cadenas que posean una longitud entre 49 y 50 cm. a) Si se hacen cadenas de 100 eslabones, qué proporción cubre los requisitos del fabricante? b) Y si se hacen sólo con 99 eslabones, qué proporción cumple tales condiciones? c) Utilizando 99 eslabones a qué valor debería reducirse la desviación típica (en qué medida debería mejorarse el control de calidad de los eslabones) a fin de que un 90% de cadenas fuesen aceptadas? 7.- Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, con 5 alternativas cada una de n ellas. La puntuación de un alumno es X = 2 n 1 4, donde n 1 es el número de preguntas contestadas correctamente y n 2 es el número de preguntas mal contestadas. Las preguntas no contestadas (en blanco) no repercuten en la puntuación. El alumno A escoge el siguiente método para realizar el test: en cada pregunta lanza una moneda; si sale cara no la contesta, si sale cruz escoge al azar cualquiera de las 5 alternativas. El alumno B decide contestar a todas las preguntas, eligiendo al azar una de las alternativas. Cuál es el mejor método de los dos si el examen se aprueba con más de 25 puntos? 8.- La cantidad de dinero que las personas de cierta ciudad llevan en sus bolsillos tiene una distribución con media 9 euros y una desviación típica de 2.5 euros. Suponiendo que el dinero que lleva cada persona es independiente del que lleven los demás, cuál es la probabilidad de que un grupo de 225 individuos lleve una cantidad superior a 2100 euros? 9.- Se ha estimado que el número medio de personas que acuden a una determinada sala de cine en cada sesión es de 100, con una desviación típica de 50. El propietario del cine quiere hacer unas reformas cuyos gastos ascienden a euros y le obligarán a tener el cine cerrado durante un mes. El precio de las entradas es de 4 euros y sólo hay una sesión diaria, pero el propietario quiere que en la reapertura del cine se cubran los gastos ocasionados por la reforma, en un plazo máximo de dos meses. a) Puede mantener el mismo precio de las entradas para lograr su propósito con unas garantías del 95%, si los gastos diarios son de 200 euros? Si no es así, a qué precio deberá vender las entradas? Muestreo 3

4 b) Si mantiene el precio de 4 euros cuántos días necesitará para cubrir los gastos con las mismas garantías anteriores? 10.- Un alumno en la clase de Estadística que no tiene nada mejor que hacer se dedica a contar el número de palabras en las 100 primeras páginas de su libro de texto. Concluye afirmando que el número de palabras por página es una variable aleatoria con distribución normal de media 236 y desviación típica 55. Supongamos que selecciona 10 páginas al azar del resto del libro. Cuál es la probabilidad de que el número medio de palabras en esas 10 páginas sea mayor que 250? 11.- Dos grandes compañías del mismo ramo de industrias difieren en la proporción de mujeres que trabajan en su proceso de fabricación. La primera tiene un 30% de mujeres mientras que la segunda tan sólo el 18%. Se selecciona aleatoriamente un grupo de cada empresa de tamaño 80 y 70, respectivamente, que van a ser enviados a un curso de reciclaje para mejorar su cualificación. Cuál es la probabilidad de que la diferencia de proporciones de mujeres asistentes al curso de cada una de las empresas sea mayor del 20%? 12.- Una compañía de Alimentación envasa un producto que es inspeccionado periódicamente por el Ministerio de Sanidad, el cual rige que dicho producto no puede contener más de 2 gr. de cierto tipo de conservante. Según un estudio anterior la compañía afirma que sus envases tienen una cantidad aleatoria de dicho conservante, cuya distribución es normal de media 1.25 y desviación estándar 0.5. a) Cuál es la probabilidad de que un envase supere el límite impuesto? b) Y de que un envase contenga entre 1.75 y 2 gr. de dicho conservante? c) Un equipo de inspectores piensan que la empresa les engaña y deciden tomar una muestra de 25 envases ya comercializados y si la cantidad media de dicho conservante es superior a 1.8 gr., ellos cerrarán la empresa y realizarán una inspección a fondo. Cuál es la probabilidad de que suceda esto? 13.- La longitud de unas determinadas piezas, que produce la Morton Metalworks, está distribuida según una normal de media 30 cms. con desviación estándar 0.1. Un inspector acaba de tomar una m.a.s. de 4 piezas y ha obtenido una media muestral de cms. Cuál es la probabilidad de obtener una media muestral igual o menor que dicho valor? Qué conclusiones se pueden sacar? Muestreo 4

5 14.- La DP. Minerals, Ltd., trabaja en dos minas de titanio. La producción diaria de mineral de la primera mina se distribuye según una normal de media 150 toneladas y desviación típica 20 toneladas. La segunda mina tiene una producción diaria distribuida normalmente con media 125 toneladas y desviación típica 25 toneladas. Se toman al azar las producciones de 5 días de ambas minas. Cuál es la probabilidad de que la producción media de la primera mina sea menor que la producción media de la segunda? 15.- La Commercial Printers, Ltd. recibe piezas de dos distribuidores. Las piezas del primer distribuidor son rechazadas un 8% de las veces, mientras que las del segundo distribuidor lo son un 5%. Si la producción de la empresa necesita de 150 piezas del primer distribuidor y 300 del segundo cada día, cuál es la proporción de días en que la diferencia entre las proporciones de rechazo de ambos distribuidores es igual o menor que el 1%? 16.- Una máquina empaqueta un cierto producto en dosis de peso (X 1 ), v.a. normalmente distribuida con media 25 gr. y desviación típica 0.4 gr.; el peso del paquete vacío ( X 2 ) tiene también distribución normal con media 5 gr. y desviación típica 0.2 gr. Si se toma al azar una muestra de 100 paquetes, cuál es la probabilidad de que el peso medio de los 100 paquetes esté comprendido entre 29 y 31 gramos? 17.- Un fabricante produce lámparas eléctricas cuya vida media tiene una duración de 2000 horas, con desviación típica de 200 horas. Mediante otro método de fabricación piensa elevar la vida media a 2200 horas, conservando la misma desviación típica. Si se toma una muestra de 10 lámparas de las primeras y otra de 30 lámparas de las segundas y se halla la diferencia de medias de ambas muestra, cuál es la probabilidad de que esa diferencia tome valores comprendidos entre 195 y 205?, y de que tome valores inferiores a 200? (Suponer normalidad e independencia en las variables) Utilizando un tipo de abono, se obtiene un rendimiento medio de 100 con desviación típica de 5. Con otro abono se obtiene un rendimiento medio de 110 con desviación típica 4. Si se siembran 20 parcelas con el primer tipo de abono y 30 con el segundo, cuál es la probabilidad de que la diferencia de los rendimientos medios correspondientes a cada muestra sea superior a 10? e inferior a 11? (Suponer normalidad en las variables). Muestreo 5

6 19.- Seleccionamos una muestra aleatoria de tamaño 20, a partir de un lote de 100 tubos de imagen de televisión, 80 de los cuales son no defectuosos. Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de tubos no defectuosos sea menor de 0.70?. Y mayor de 0.85? 20.- Para la campaña de Navidad una empresa presenta una oferta a sus clientes de un determinado producto. Para beneficiarse de esta oferta el cliente debe comprar una cantidad mínima, lo que implica hacer un gran desembolso. El departamento comercial de la empresa estima que por las condiciones de la oferta y las características de sus clientes, dicha oferta la aceptará en el 80%. En cualquier caso, para estudiar la posible acogida, se efectúa un primer lanzamiento ofreciendo la oferta a 20 clientes escogidos al azar. a) Si se admite la estimación del departamento comercial, cúal es la probabilidad de que el 70% de los 20 clientes seleccionados acepten la oferta? b) Considerando satisfactorios los resultados obtenidos con estos 20 clientes, se efectuó un segundo lanzamiento ampliando el número de clientes hasta 200. Cúal es el porcentaje mínimo de clientes que aceptará la oferta con unas garantías del 90%? c) La empresa distingue a los clientes que efectúan el pago al contado o aplazado, y se plantea la posible acogida de la oferta en los dos grupos de clientes. El departamento comercial estima que el 65% de los clientes que pagan al contado aceptan la oferta, y del los de pago aplazado la aceptará el 90%. Considerando que de los 200 clientes anteriores, 85 son del primer grupo y 115 son del segundo, calcular la probabilidad de que la proporción de clientes con pago aplazado que acepta la oferta sea superior al menos en un 20% a la del otro tipo de clientes Suponga que se desea precisar el tamaño que ha de tener una muestra tomada sin reemplazamiento para determinar el porcentaje de piezas defectuosas de una población (en total unidades), supuesta esta proporción no superior al 5% y operando con una confianza del 95%. Calcular el tamaño muestral necesario si queremos que la proporción no difiera en más del 2% del porcentaje real Las compañías de auditoría generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los clientes de una banco y verifican los balances contables reportados por el banco. Si una compañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporción de cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco, cuántas cuentas deberán seleccionarse de manera tal que con una confianza del 99% la proporción muestral se encuentre a no más de 0.02 unidades de la proporción real?. Muestreo 6

7 23.- Unos grandes almacenes tienen 1000 empleados en uno de sus centros. Calcular el tamaño muestral necesario para estimar su salario anual medio con un error máximo de 100 euros para un nivel de confianza del 95%. (Por estudios anteriores se sabe que el salario anual sigue una distribución normal con desviación típica de 1000 euros) Un médico investigador desea estimar la proporción de hombres, en edad madura, que fuman en exceso y que desarrollarán cáncer pulmonar en los siguientes cinco años. El investigador desea seleccionar una cierta cantidad de hombres que hayan fumado por lo menos dos cajetillas diarias durante 20 años y observarlos durante los próximos cinco años. Cuál debe ser el tamaño de la muestra de manera tal que con una confianza del 95% la proporción muestral se encuentre a no más de 0.02 unidades de la proporción real? 25.- Una tienda se interesa en estimar su volumen de ventas diarias. Supóngase que el valor de la desviación típica es de 50 euros. a) Si el volumen de ventas se puede modelizar por una distribución normal, cuál debe ser el tamaño de la muestra para que con una confianza del 95% la media muestral se encuentre a no más de 20 euros del verdadero volumen medio de ventas? b) Si no es posible suponer que la distribución es normal, obtener el tamaño necesario de la muestra para el apartado anterior La International Rectifier Corporation está estudiando el proceso de producción de microprocesadores. Cuántos microprocesadores tendrán que considerar para asegurar con un 95% de confianza que la proporción muestral de defectuosos no difiere de la proporción poblacional en más del 4%? (Se espera obtener una proporción poblacional del 20%) Una empresa produce pilas alcalinas cuyo tiempo de vida es aleatorio y se distribuye según una exponencial de media 100 horas. Una linterna funciona con una sola pila y cuando se agota su carga ponemos otra en funcionamiento. Cuántas pilas debemos tener disponibles para asegurar con una confianza del 95% que la linterna funciona más de horas? 28.- Aunque enfrentada a restricciones y prohibiciones legales, es frecuente en hoteles, compañías aéreas y similares el recurso al "overbooking" o "sobre-reserva"; consiste en ofrecer (y vender) más plazas de las realmente disponibles, para que, incluso después de las bajas o cancelaciones a última hora, el servicio se emplee al máximo de su capacidad. Existe el riesgo, sin embargo, de que se presenten más clientes de los que se pueden atender, aunque si el "overbooking" está bien calculado, la probabilidad de que ello suceda es mínima. Muestreo 7

8 Sea una compañía que opera con vuelos transoceánicos en aparatos con capacidad para 340 plazas. La experiencia nos muestra que un 8% de los clientes que han adquirido billete no se presentan en el momento del embarque. Cuántas plazas pueden venderse de cada aparato si se quiere que la probabilidad de no poder acomodar a todos los pasajeros sea menor que 0.01? 29.- La empresa NOESTÉ se dedica a la alimentación infantil. Fabrica leche en polvo que envasa en botes. La cantidad envasada en cada bote tiene una media de 900 gramos y una desviación típica de 30 gramos. Por otra parte el bote vacío tiene un peso de 100 gramos y una desviación típica de 10 gramos. Además, ambos pesos se pueden suponer independientes. a) Si se embalan en bloques de 40 botes, cuál es la probabilidad de que un bloque pese más de 40,5 kilogramos? b) El precio de venta depende del tipo de cliente, pero se puede suponer que sigue una distribución normal y que su desviación típica no sobrepasa los dos euros. Un cliente quiere conocer el precio medio de venta para saber si a él se lo venden muy caro o no; para ello va preguntando el precio de venta a diferentes clientes que él conoce. A cuántos clientes debe preguntar para estar seguro en un 95 % de que la diferencia entre lo que él calcule y el verdadero valor no supere el euro de diferencia? 30.- El tiempo de duración de un anuncio se puede suponer una v. a. exponencial de media 1/4 de minuto. Suponiendo independencia en la duración de los anuncios, calcular: a) La probabilidad de que dos anuncios duren menos de medio minuto. b) La probabilidad de que 50 anuncios duren menos de 12 minutos. c) El número de anuncios emitidos diariamente por la empresa J.A. S. en la cadena Alfa se distribuye como una normal con desviación típica igual a 8. Si se quiere calcular el número medio de anuncios emitidos en la cadena A con un error máximo de 6 anuncios y un nivel de confianza del 99%, cuántos días se tendrá que muestrear el nº de anuncios emitidos? (Suponer independencia entre los anuncios emitidos cada día) Las ventas diarias del periódico "A" en un determinado kiosco se pueden modelizar mediante una v. a. de varianza σ 2 = 25. a) Si se quiere estimar el número medio de periódicos "A", que se venden diariamente con un error de ± 2 periódicos, y una confianza del 92%, cálcula el número mínimo de días que se debe analizar dicha variable. b) Suponiendo que el número medio de periódicos "A" vendidos al día en ese kiosco es de 100 y que el precio del periódico es de 1.2 euros. Cuál es la probabilidad de que en dos meses las ventas por el diario"a" superen los 7100 euros? (1mes = 30 días). Muestreo 8