GEOMETRÍA: VECTORES 1 TEMA 7: VECTORES

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1 GEOMETRÍA: VECTORES 1 Definición de ector: TEMA 7: VECTORES Un ector es n segmento orientado qe qeda determinado por dos pntos, A y B, el primero de los pntos se denomina origen y el segndo es el extremo, y se designa por AB. El conjnto de ectores fijos de n plano recibe el nombre de plano ectorial y se designa por V 2 Elementos de n ector Un ector AB qeda determinado por s módlo, dirección y sentido: 2. Módlo del ector, como la longitd del ector AB, o bien, la distancia entre los pntos A y B. Se designa por AB. 3. Dirección del ector, como la dirección de la recta qe contiene a los pntos A y B. 4. Sentido del ector, como el recorrido de la recta cando nos desplazamos de A a B. Dos ectores AB y CD tienen la misma dirección si están sitados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Dos ectores AB y CD de la misma dirección, diremos qe tienen el mismo sentido si están en el mismo semiplano de la recta AC. Tendrán sentido contrario si están en distinto semiplano. Vectores eqialentes Dos ectores se dicen qe son eqialentes si tienen la misma dirección, sentido y módlo. La eqialencia se designa con el símbolo. OPERACIONES CON VECTORES Sma de ectores + + Resta de ectores Para restar dos ectores se le sma a el opesto de : + ( ) - +

2 GEOMETRÍA: VECTORES 2 Prodcto de n ector por n número El prodcto de n número k por n ector es otro ector k qe tiene la misma dirección de, el mismo sentido, si k > 0, o sentido contrario si k < 0 y s módlo es igal a k VECTORES INDEPENDIENTES. BASE Combinación lineal de ectores Un ector w es combinación lineal de otros dos ectores y, si existen dos números reales, a y b, tales qe w a + b Vectores linealmente independientes y dependientes Dados dos ectores del plano, y, se dice qe son linealmente dependientes cando si existe k R tal qe se erifica qe k Se dice qe dos ectores son linealmente independientes cando no son dependientes. Dos ectores y con distinta dirección son linealmente independientes. Dos ectores son paralelos cando tienen la misma dirección, es decir, cando ss componentes son proporcionales. a (a 1, a 2 ) y b a1 a2 (b 1,b 2 ) tienen la misma dirección si b b Base Se dice qe dos ectores, y, forman na base en el plano cando son linealmente independientes y calqier ector se pede expresar como combinación lineal de estos dos. Base ortogonal y ortonormal Dada na base B {, }, decimos qe es na base ortogonal cando y son perpendiclares. Dada na base B {, }, decimos qe es na base ortonormal cando y son perpendiclares y además ambos tienen módlo 1, 1 y 1 Coordenadas de n ector respecto de na base Calqier ector w se pede expresar como combinación lineal de los ectores de la base B {, } de forma única: w a + b, donde a, b R Diremos qe el par ordenado (a,b) son las coordenadas de w respecto de la base B {, }

3 GEOMETRÍA: VECTORES 3 SISTEMA DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN VECTOR Sistema de referencia Un sistema de referencia en el plano es na terna R { O, {, }}, está formado por n pnto fijo O y na base B {, }. Al pnto O se le llama origen del sistema de referencia. A las rectas OX y OY qe contienen a los ectores {, } con origen en O, se les llama ejes del sistema. Vector de posición de n pnto A cada pnto P del plano le asociamos el ector de origen O y extremo P, OP, llamado ector de posición del pnto P. Las coordenadas del pnto P son las del ector OP. Coordenadas de n ector determinado por dos pntos Si A (a 1, a 2 ) y B (b 1,b 2 ) AB (b1,b 2 ) (a 1,a 2 ) (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Módlo de n ector a partir de las coordenadas de los pntos Si A(a 1,a 2 ) y B(b 1, b 2 ) AB ( b a ) + ( b a ) Operaciones con coordenadas Sean ( 1, 2 ) y ( 1, 2 ) dos ectores del plano y k R:: ± ( 1, 2 ) ± ( 1, 2 ) ( 1 ± 1, 2 ± 2 ) k k( 1, 2 ) k (k 1, k 1 )

4 GEOMETRÍA: VECTORES 4 PRODUCTO ESCALAR Prodcto escalar: Se llama prodcto escalar de dos ectores ( 1, 2 ) y ( 1, 2 ), y se escribe, al número qe reslta al mltiplicar ss módlos por el coseno del ánglo qe forman: Signo del prodcto escalar Si el ánglo (, ) Si el ánglo (, ) Propiedad fndamental: es agdo cos (, ) es obtso cos (, ) cos α > 0 > 0 < 0 < 0 a) Si 0 ó 0, entonces 0. El recíproco no es cierto. b) Si 0 y 0, 0 si y sólo si Operatia con el prodcto escalar. Propiedades 1) Propiedad conmtatia: 2) Propiedad asociatia: k( ) (k ) (k ) 3) Propiedad distribtia: ( + w ) + w Expresión analítica del prodcto escalar Si ( 1, 2 ) y ( 1, 2 ) Expresión analítica del módlo de n ector Si ( 1, 2 ) Interpretación geométrica El prodcto escalar de dos ectores es igal al prodcto de no de ellos por el ector obtenido al proyectar el otro sobre él proy (, ) Si el ánglo es obtso, cos α cos ( 180º α ) OA OA Expresión analítica del ánglo formado por dos ectores Dados dos ectores ( 1, 2 ) y ( 1, 2 ) cos (, )

5 GEOMETRÍA: VECTORES 5 APLICACIONES Coordenadas del pnto medio de n segmento Las coordenadas del pnto medio de n segmento son la semisma de las coordenadas de los extremos. x x + x 2 M ym y + y 2 Condición para qé tres pntos estén alineados Los pntos A (x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) y C(x 3, y 3 ) están alineados siempre qe los ectores AB y AC tengan la misma dirección. Esto ocrre cando ss coordenadas son proporcionales. x x y y x x y y Simétrico de n pnto respecto de otro Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el pnto medio del segmento AA'. Por lo qe se erificará igaldad: AM MA Coordenadas del baricentro El baricentro o centro de graedad de n triánglo es el pnto de intersección de ss medianas. Las coordenadas del baricentro son: x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 G, 3 3 Diisión de n segmento en na relación dada Diidir n segmento AB en na relación dada r es determinar n pnto P de la recta qe contiene al segmento AB, de modo qe las dos partes, PA y PB, están en la relación r: PA r PB

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