Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 8: Derivadas y Aplicaciones. Representación de Funciones

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Julia Moreno
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1 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 8: Derivadas y Aplicaciones. Representación de Funciones Ejercicio 1: El coste de fabricación de una serie de hornos microondas viene dado por la función C ( ) donde representa el número de hornos fabricados. Supongamos que cada horno se vende por 490 euros. a) Determínese la función de beneficios. b) Cuántos microondas deben fabricarse y venderse para que los beneficios sean máimos? Cuál es el importe de esos beneficios máimos? Ejercicio : Continuación del Ejercicio de la Hoja 7 Dada la función de variable real: Hállense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Ejercicio : a + b si si > 1 a) Calcúlense los valores de a y b para los cuales f es continua y derivable. b) Para a 0 y b 1, hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en los puntos en los que dicha tangente es paralela a la recta y 8 1. Ejercicio 4: Continuación del Ejercicio de la Hoja 7 ( 1) 1 a) Calcúlense los etremos relativos de f. b) Represéntese gráficamente f. Ejercicio 5: b a a) Hállense los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f en 1 tenga por ecuación y. b) Hállense los valores de a y b para que la función f tenga en ( 1,0) un punto de infleión. 1

2 Ejercicio 6: Continuación del Ejercicio 4 de la Hoja 7 4 a) Determínense los máimos y mínimos locales y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f. b) Hállense los puntos de infleión y los intervalos de concavidad y conveidad de f. c) Esbócese la gráfica de f. Ejercicio 7: 4 + si si > 1 a) Estúdiese la continuidad y derivabilidad de la función f. b) Represéntese gráficamente la función f. Ejercicio 8: Una empresa vinícola tiene plantadas 100 cepas de vid en una finca, produciendo cada cepa una media de 16 kg de uva. Eiste un estudio previo que garantiza que por cada cepa que se añade a la finca, las cepas producen de media 0,01 kg menos de uva cada una. Determínese el número de cepas que se deben añadir a las eistentes para que la producción de uvas de la finca sea máima. Ejercicio 9: + si < 0 a + b + c si 0 si > Calcúlense a, b y c para que f sea continua en todos los puntos y derivable en 0. Ejercicio 10: Una empresa de productos de limpieza fabrica cajas de cartón con tapa, para comercializar un determinado tipo de detergente. Las cajas son prismas rectos de 9000 cm de volumen y base rectangular de largo igual al doble de su anchura. Calcúlense las dimensiones en centímetros (largo, anchura, altura) que ha de tener cada caja para que la superficie de cartón empleada en su fabricación sea mínima. Ejercicio 11: ( 1) ( + ) a) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcúlense sus etremos relativos. b) Calcúlense los puntos de corte de la gráfica de f con el eje OX. c) Esbócese la gráfica de f.

3 Ejercicio 1: Se considera un rectángulo R de lados, y. a) Si el perímetro de R es igual a 1 m, calcúlense, y para que el área de R sea máima y calcúlese el valor de dicha área máima. b) Si el área de R es igual a 6 m, calcúlense, y para que el perímetro de R sea mínimo y calcúlese el valor de dicho perímetro mínimo. Ejercicio 1: Continuación del Ejercicio 5 de la Hoja 7 ( 1) a) Calcúlense los etremos relativos de f. b) Represéntese gráficamente la función f. Ejercicio 14: a si 1 b si > 1 4 a) Calcúlense los valores de a y b para los cuales f es continua y derivable en 1. b) Para a 1 y b represéntese gráficamente la función f. Ejercicio 15: Continuación del Ejercicio 6 de la Hoja 7 Determínese la ecuación de la recta tangente en el punto de abcisa 1. Ejercicio 16: Una empresa produce cable de fibra óptica, que vende a un precio de euros por metro. Se estima que la venta diaria de cable (en miles de metros) se epresa en términos del precio mediante la función: 6 D ( ) + 1 a) Obténgase la función I () que determina los ingresos diarios de la empresa en función del precio. b) Calcúlese el precio que ha de fijarse para que el ingreso diario sea máimo y calcúlese dicho ingreso máimo. c) Determínense las asíntotas de I () y esbócese la gráfica de la función I ().

4 Ejercicio 17: + a + b 6 Calcúlense a y b para que f tenga un máimo en 1 y un mínimo en. Ejercicio 18: El coste de un marco para una ventana rectangular es de 50 euros por cada metro de lado vertical y de 5 euros por cada metro de lado horizontal. Se desea construir una ventana de superficie igual a m. Calcúlense las dimensiones (largo y alto) para que el marco sea lo más barato posible. Calcúlese el precio mínimo del marco de dicha ventana. Ejercicio 19: + a si 1 si > 1 b a) Calcúlense los valores de a y b para los cuales f es continua y derivable en todos los puntos. b) Para a 6 y b determínese los puntos de corte de la gráfica de f con los 4 ejes coordenados. Ejercicio 0: Continuación del Ejercicio 8 de la Hoja 7 1 a) Calcúlense sus máimos y mínimos locales. b) Esbócese la gráfica de f. Ejercicio 1: a + b + c a, b, c R a) Qué valores deben tomar a, b y c para que la gráfica de f pase por el punto ( 0,0) y además tenga un máimo relativo en el punto ( 1,)? b) Para a 1, b y c 0, determínense los puntos de corte de f con los ejes coordenados. Ejercicio : Continuación del Ejercicio 9 de la Hoja si + 9 si < + 15 si > Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa 1. 4

5 Ejercicio : El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producción de leche desnatada está determinado por la función: B ( ) en la que representa los hectolitros de leche desnatada producidos en una semana. a) Represéntese gráficamente la función B () con 0 b) Calcúlense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana la central lechera para maimizar su beneficio. Calcúlese dicho beneficio máimo. c) Calcúlense las cantidades mínima y máima de hectolitros de leche desnatada que debe producir la central lechera cada semana para no incurrir en pérdidas (es decir, beneficio negativo). Ejercicio 4: ( 1) a) Determínese los etremos relativos de f. b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa. Ejercicio 5: Continuación del Ejercicio 11 de la Hoja 7 si < + a si b si > 5 / / Para a 1 y b 6 calcular f (1) y f (7). Ejercicio 6: Continuación del Ejercicio 1 de la Hoja Calcúlense sus máimos y sus mínimos y determínense sus intervalos de crecimiento. Ejercicio 7: Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 dm. La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total del cristal empleado? Ejercicio 8: Continuación del Ejercicio 1 de la Hoja Calcúlense sus máimos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento. 5

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