POSIBLE SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA DE SISTEMAS DE JUNIO DE 2004.

Transcripción

1 POSBLE SOLUCÓN DEL EXAMEN DE NVESTGACÓN OPERATVA DE SSTEMAS DE JUNO DE 4. Problema (,5 utos): Ua máuia es iseccioada cada semaa ara comrobar si fucioa correctamete. El resultado de la isecció uede ser erfecta, buea, acetable o averiada. Si la máuia está erfecta, a la semaa siguiete seguirá erfecta co robabilidad,7; co robabilidad estará bie; y co robabilidad, estará acetable. Si la máuia está bie, a la semaa siguiete seguirá bie co robabilidad,6; fucioará acetablemete co robabilidad ; y se habrá averiado co robabilidad. Si la máuia fucioa acetablemete, a la semaa siguiete seguirá así co robabilidad,5; y estará averiada co robabilidad,5. Si la máuia está averiada, hay ue reararla, de tal maera ue a la semaa siguiete estará erfecta. alle: a) El diagrama de trasició de estados y la matriz de trasició de ua cadea de Markov ue modele esta situació. b) El orcetaje de tiemo ue la máuia fucioa, es decir, la roorció de tiemo ue o está averiada. Aartado a): Podemos modelar esta situació mediate ua cadea de Markov e la ue el cojuto de estados sea S{PERFECTA, BUENA,, AVERADA}. La matriz de trasició será:,7 Q,6,,5,5 El diagrama de trasició de estados (DTE) corresodiete es el ue sigue:,7,6 Perfecta Buea, Averiada,5 Acetable,5 Aartado b): Como esta cadea de Markov es fiita y ergódica, odemos afirmar ue existe la distribució estacioaria. Debemos hallar dicha distribució estacioaria, ya ue os

2 dirá ué robabilidad hay de ecotrarse e cada estado (a la larga). Para ello, lateamos el siguiete sistema de ecuacioes: PERFECTA PERFECTA BUENA T BUENA Q AVERADA AVERADA + + PERFECTA + BUENA AVERADA El sistema uede resolverse, or ejemlo, fijado AVERADA y ormalizado luego. La solució fial del sistema es: 5 5 PERFECTA ; BUENA ; ; AVERADA Lo ue os ide es la robabilidad de ue la máuia o esté averiada: 9 P No averiada PERFECTA + BUENA + AVERADA, ( ) 8666 Problema (,5 utos): U sistema de comercio electróico disoe de u úico servidor. Las solicitudes de comra de artículos llega co ua tasa media de 4 solicitudes or miuto, siguiedo u roceso de Poisso. Por térmio medio, el servidor tarda segudos e rocesar cada solicitud. El tiemo de servicio sigue ua distribució exoecial. El romedio del valor de cada comra es de 5. Calcular: a) Porcetaje del tiemo ue el servidor está libre. b) Logitud media de la cola. c) Vetas medias or semaa, suoiedo ue el servidor fucioa las 4 horas del día. El sistema se uede modelar como ua cola M/M/. La tasa de llegadas es λ4 clietes/miuto. El tiemo medio de servicio es / segudos. Trabajado co el miuto como uidad de tiemo, obteemos λ4 clietes/miuto, 6 clietes/miuto, co lo cual λ/4/6/. Aartado a): Nos ide la robabilidad de ue haya clietes e el sistema: Es decir, el servidor está libre durate el,% del tiemo.

3 Aartado b): Nos ide L : L Aartado c): 4 trabajos, trabajos El ritmo al ue sale trabajos servidos del sistema será la roorció de tiemo ue el servidor está ocuado, multilicada or el ritmo al ue da servicio el servidor cuado está trabajado, es decir, ( ) λ. Como vemos, el ritmo al ue sale trabajos del sistema coicide co el ritmo al ue llega. Esto o es extraño, ya ue de lo cotrario se estaría acumulado los trabajos e el sistema y or lo tato la logitud de la cola crecería idefiidamete, es decir, el sistema estaría saturado. Para hallar las vetas semaales, multilicamos el úmero de trabajos ue sale or uidad de tiemo or el úmero de uidades de tiemo ue el servidor está fucioado e ua semaa y or el imorte medio de cada veta (cada veta es u trabajo): λ 6 mi 4 hora horas día Problema (,75 utos): 7 días / semaa semaa Sea el siguiete roblema de rogramació lieal: Maximizar x x Sujeto a: x x 8 x x x x x, x Resuelva dicho roblema mediate el método del Simlex, siguiedo estos asos: a) Costruya ua solució factible iicial (tabla iicial del método). b) Obtega la(s) solució(es) ótima(s), si las hay. c) De ué tio es la(s) solució(es) ótima(s) obteida(s), si las hay? Aartado a): Pasado a forma estádar ueda: Maximizar x x Sujeto a: x x +x 8 x x +x 4 x x +x 5 x, x, x, x 4, x 5

4 La tabla iicial será: Base c B P P P P P 4 P 5 P 8 P 4 P 5 Aartado b): Alicamos el resto del método, artiedo de la tabla iicial ue costruimos e el aartado aterior: Criterio de etrada: mí{ }, luego etra x. Criterio de salida: mí{8/, /, /}/, luego sale x 5. Base c B P P P P P 4 P 5 P 4 4 P P 6 6 Criterio de etrada: mí{ 6} 6, luego etra x. Criterio de salida: mí{4/4, 6/5}4/4, luego sale x. Base c B P P P P P 4 P 5 P /4 / P 4 5/4 / P 5 /4 / / Al evaluar la codició de arada, observamos ue se cumle. Por lo tato, la tabla aterior se corresode co ua solució ótima, ue será x (5,,,,) T. Ahora bie, como hay u cero e la última fila de la tabla ue está e la columa de ua variable ue o está e la base (e cocreto la variable x 5 ), deducimos ue esta o es la úica tabla ótima, sio ue hay otra más. Para obteer dicha tabla, itroducimos la mecioada variable x 5 e la base. Para saber la ue debemos sacar de la base, alicamos el criterio de salida: Criterio de salida: mí { /(/) } /(/), luego sale x 4.

5 Base c B P P P P P 4 P 5 P P 5 5/ P 6 / / Esta ueva tabla ótima se corresode co la solució ótima x (6,,,) T. El roblema tiee ifiitas solucioes ótimas, ue vedrá dadas or esta exresió: λ x + λ x, dode λ, λ [,], λ + λ Aartado c): Como dijimos e el aartado aterior, se ha ecotrado ifiitas solucioes ótimas, dado ue hay más de ua tabla ótima. Auue o se ide, a cotiuació icluimos la solució or el método gráfico de este roblema (utos de corte y reresetació gráfica). Nótese ue cada tabla del método se corresode co u uto extremo e la gráfica, es decir, u vértice de la regió factible. Siguiedo el orde de las tablas geeradas, el recorrido ue ha seguido el método del simlex ha asado or los vértices A, F,, (estos dos últimos corresodietes a solucioes ótimas).

6 Problema 4 (,5 utos): Ua emresa aduiere rollos de cable de metros ue ecesita ara sumiistrar trozos de cable a sus clietes. La emresa ecesita sumiistrar: 9 trozos (iezas) de 45 metros, 6 trozos de de metros y trozos de metros. Se desea coocer la maera de distribuir los cortes de cable e los rollos de metros de maera ue se cosuma la meor catidad osible de rollos ara ateder la demada. Formula dicho roblema como u roblema de rogramació lieal. (Ayuda: De u rollo se uede sacar dos trozos de cable de 45 metros, o bie uo de 45 y otro de, etc.) Nota: No itete obteer la solució, sólo debe dar el lateamieto. Existe diferetes esuemas ara cortar u rollo de metros ara obteer trozos de alguas de las medidas deseadas: ) Dos trozos de 45 metros. ) Tres trozos de metros. ) Tres trozos de metros. 4) U trozo de metros y dos trozos de metros. 5) Dos trozos de metros y u trozo de metros. 6) U trozo de 45 metros y otro de metros. 7) U trozo de 45 metros y otro de metros.

7 Llamaremos x i al úmero de rollos ue cortaremos siguiedo el esuema i, dode i {,,...,7}. Co esta elecció de las variables de decisió, el roblema uede latearse como sigue: Miimizar x + x + x + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Sujeto a: x + x 6 + x 7 9 (trozos de 45 metros) x + x 4 + x 5 + x 6 6 (trozos de metros) x + x 4 + x 5 + x 7 (trozos de metros) x, x, x, x 4, x 5, x 6, x 7 Deberíamos exigir además ue i {,,...,7}, x i N. Por lo tato este roblema o odría resolverse utilizado el método del simlex, dado ue dicho método o trabaja co variables ue sólo uede tomar valores eteros. FÓRMULAS DE TEORÍA DE COLAS: λ M/M/: ; ( ) ; W t / W () t e λ M/M/c: ; c ( c )! c c c!, si,,..., c, e otro caso c c c +!( ) c c W e t / W L ; () ( c )! ; L t c c+ c c! ( ) M/M/ y M/M/c: W W + ; L λw ; L λw M/M//k: λ ; ( ) k, si k + +, si λ λ( ) W W + ; L λefw ; L λefw ; ef k ( k + ) k k + L k, si +, si