Estructura de la Materia I

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1 Estructur e l Mteri I Práctic 4 ~ Fluios Ieles Incompresibles 4.1 ) Flujos e singulries elementles Los siguientes fluios incompresibles e ieles, fluyen e tl mner que su movimiento puee ser consiero biimensionl (2D), es ecir que existe simetrí e trslción según, igmos, el eje ẑ. Determine: ) el cmpo e velocies u ( x, y ). b) el rotor w( x, y ) u. c) l función e corriente ( x, y ) y el gráfico e ls línes e corriente, cuno el flujo está genero por: i) un corriente uniforme l infinito, e veloci constnte en móulo U que form un ángulo con el eje xˆ. ii) un istribución linel e fuentes o sumieros e cul Q iii) un filete vorticoso o vórtice e circulción. iv), respectivmente. un ipolo formo por un fuente y un sumiero e iéntico cul (en móulo). v) un ipolo formo por os vórti ces e circulción igules (en móulo) y opuests. b) Flujos no singulres l finito Pr ls siguientes funciones e corriente ( x, y ), clcule: ) el cmpo e velocies u ( x, y ) b) los puntos e estncmiento (quellos puntos ( x, y ) el plno en one u ( x, y ) 0 ) c) el rotor w ( x, y ) ) grficr ls línes e corriente i) ( x, y ) y, b, c, constntes. ii) ( x, y ) b y 2 20

2 iii) ( x, y ) c x y 2 3 iv) ( x, y ) ( 3x y y ) 4.2 Flujo lreeor e un semicuerpo biimensionl Consiere el flujo que se obtiene como superposición el flujo pro ucio por un corriente uniforme l infinito y un fuente puntul e cul Q. Hllr l función e corriente y los puntos e estncmiento. Grficr. Teng en cuent que culquier pquete e softwre que permite grficr en 3D, posee lgun rutin o comno que clcul línes e contorno o ContourLines. És es justmente un representción e curvs e nivel, que pr el cso consiero, un visulizción e ls línes e corriente (l. c.), conoci ( x, y ). Sin embrgo, el soft lo único que hce es hcer más rápio lo que se puee hcer mno (pl). Pr ello, prlelmente l lo myor e un hoj, trzr línes prllels con un espcio e 0.5 cm, que representn ls l.c. e l corriente uniforme. Numerno ls línes, eligieno e mner rbitrri el slto entre ells, se está fijno el vlor el móulo e l veloci el flujo uniforme. Cerc el m eio e l hoj se elige un origen, trvés el cul se trzn ls l. c. r iles que corresponen l fuente puntul, con incrementos e (por ej.) 15 o. Se n umern ests línes eligieno rbitrrimente el slto entre ells, lo cul fij el cul Q e l fuente. Finlmente, si se unen tos ls intersecciones entre línes e corriente cuy sum se constnte, se obtienen ls l. c. el flujo totl. (porqué vle est sum, sí?). De ess cunts l. c., l que etermin el semicuerpo es l que contiene l punto e estncmiento (one convergen cutro). Y listo. 4.3 Potencil Complejo El movimiento e un fluio incompresible e irrotcionl con simetrí e trslción según el eje ẑ (problems 2D), puee ser estuio bjo el formlismo el potencil complejo. L hipótesis e incompresibili conuce l existenci e un potencil vector que en el cso 2D tiene sólo componente ẑ, esto es cmpo e velocies u ( x, y ) y l función e corriente ( x, y ) : ) verifique que se cumple: u ( ) ( kˆ ) 0, y que por lo tnto: A ( x, y ) z ˆ. Éste l relción entre el 21

3 u ( x, y ) k ˆ, con kˆ el versor en l irección ẑ. L conición e irrotcionli l existenci e un función esclr, el potencil e velocies ( x, y ), tl que u. b) verifique que ls funciones ( x, y ) y ( x, y ) son rmónics y stisfcen ls coniciones e Cuchy-Riemnn. Result inmeito utilizr un formlismo en el plno complejo, introucieno el Potencil Complejo W ( z ) ( x, y ) i ( x, y ), con z x i y. Explícitmente verifique que: c) W z W x W i y y si se efine un veloci complej ~ u u i u, entonces: x y ) W ~ u *, z one el sterisco inic complejo conjugo. 4.4 Clculr el potencil complejo e ls configurciones el problem Flujos proucios por singulries en presenci e contornos sólios. Pr ls siguientes configurciones e fluios incompresibles e ir rotcionles, clculr el potencil complejo W ( z ) ( x, y ) i ( x, y ), el pote ncil e velocies ( x, y ), l función e corriente ( x, y ), el cmpo e velocies y los puntos e estncmiento. ) un fuente (sumiero) e cul Q (-Q) ubic un istnci e un plno infinito. b) Iem ) pero un is tnci 2 e l intersección e os plnos semiinfinitos que formn un ángulo 2 entre ellos. 22

4 c) Iem ), entre os plnos infinitos prlelos l mism istnci e c uno e ellos. ) un vórtice e circulción (positiv) istnci, e un plno infinito. e) un ipolo e intensi Q 0 y ángulo respecto l eje rel ( xˆ ) istnci e un plno infinito. En prticulr háglo pr plno). (el ipolo punt hci el f) un ipolo e intensi y ángulo, istnci e un plno infinito. 0 Grfique culittivmente ls línes e corriente. 4.6 Flujo lreeor e un cilinro L superposición el flujo proucio por u n ipolo e intensi Q 0 ( ) enfrento un flu jo uniforme l infinito, e veloci U x ˆ, gener un flujo qu e moel exctmente el flujo externo e un corriente uniforme l infinito en presenci e un cilinro sólio. ) Clcule el potencil complejo W ( z ) e l configurción. b) Aplicno el teorem el círculo l problem el flujo uniforme frente l cilinro e rio, encuentre cuál ebe ser el móulo e l intensi el ipolo imgen y su irección pr que el contorno z el cilinro, se un líne e corriente. c) Dóne se encuentrn los puntos e estncmiento? ) Encuentre un expresión pr l presión sobre el cili nro, como función el ángulo. e) Cuál es l fuerz que el fluio le ejerce l cilinro? U U Q 0 23

5 4.7 Pr ls configurciones e sólios y singulries con simetrí e trslción en fluios ieles, incompresibles e irrotcionles, que se muestrn en ls figurs: ) Hg un igrm culittivo e l línes e corriente. b) Escrib el potencil complejo. c) Hlle los puntos e estncmiento. ) Grfique l presión como función e l posición, pr puntos el contorno sólio. Q Q Q 4.8 Problem e Mgnus (Aquí es un circulción trp. El efecto e est circulción en el flujo, es el e simulr un cmpo e velocies zimutl (en ˆ ) que l nturlez no viscos el fluio iel no puee ser genero e otr form. Es un vórtice centro en el origen, con l prticulri e que nte l plicción el teorem el círculo no gener un imgen. Por lo t nto su e fecto se consier simplemente gregno l potencil complejo e ls singulries y sus imágenes (s por el teo. el círculo) el potencil complejo corresponiente l e un vórtice centro en el origen sin l plicción el cito teorem) U 24

6 4.9 Se tiene un cilinro infinito e rio con circulción trp, inmerso en un fluio incompresible e irrotci onl e ensi. A un istnci 2 se encuentr un ipolo e intensi 0, oriento según se muestr en el siguiente gráfico. Hllr el vlor e 0 pr que l fuerz sobre el cilinro se nul Clculr l fuerz que el fluio le hce l sólio pr el problem Clculr l fuerz que sufre el cilinro pr l siguiente configurción mostr en l figur. Pr ello elij l proximción oren más bjo en el potencil complejo que un fuerz istint e cero. D óne están los puntos e estncmiento? U 25

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