Matemática I (BUC) - Cálculo I

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1 Matemática I (BUC) - Cálculo I Práctica 5: DERIVADAS Matemática I (BUC) / Cálculo I.. Calcular la derivada en el punto indicado, aplicando la definición: + 5 en ln( + ) en en en. Calcular la recta tangente al gráfico de cada una de las siguientes funciones en el punto indicado: + 5 en (,) + 7 en (,) ln( + ) en (-,0) en (,). Calcular f (a) para las siguientes funciones, aplicando la definición: ln( ) e. Calcular la derivada de las siguientes funciones. + 5 e. f. f ( ) g. sen( ) j. ln( ) k. ( ) cos( ) l. + m. n. cos( ) + sen( ) + o. cot( ) h. + cos( ) + i. ln( ) p. sen( ) cos( ). Analizar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: si si 0 < < + si 0 si - si < Página de 6

2 Matemática I (BUC) / Cálculo I..(Derivadas) si + si > + < + 5 si < < 5 0 si 5 5 si. Elegir, si es posible, los valores de a y b convenientes, de modo que las funciones resulten derivables en todo punto + b a si si > si 0 a + b si > 0 sen( ) si 0 + a + b si > 0 b 5. Calcular la derivada de las siguientes funciones: ( a) si + si > arcsen( ) e. ( + + ) arccos( ) + f. (sen( )) arctan( ) g. ( + ) 6. Calcular la derivada de las siguientes funciones, donde sea posible: 6 8 si h ( ) 6ln( ) si < cos() sen( ) si 0 g( ) 0 si 0 7. Calcular la derivada de las siguientes funciones: + sen( + ) cos( ) e. + cos( ) f. sen(cos( ) + ) g. cos( ) sen( ) h. + i. + j. ln( + + ) k. l. 5 sen( + 6) ln( + ) m. sen( + cos() n. ln( + ( + sen()) ) Página de 6

3 Matemática I (BUC) / Cálculo I.. (Derivadas) o. p. q. f + sen( e ) + sen( ) + ( ) ln( + 5) r. cot( ) sec(6 ) s Dada la función h ( ) ln( a + ) + b determinar las constantes a y b, sabiendo que la recta de ecuación y + es tangente al gráfico de h() en el punto de. 9. Hallar el punto del gráfico de f () donde la ecuación de la recta tangente es y+, sabiendo que Dada la función de. h( ) 5 8 ( ) hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico, en el punto a. Dada la función, hallar a y c (números reales), sabiendo que la recta tangente al + c gráfico de f en (,f()) es y.. Dadas las siguientes funciones, verificar si eisten f (), f () y f (). 0 < 0. Dadas las siguientes funciones encuentre la forma de f (n) () ln( + ) +. Aplicando el teorema del valor medio, hallar c para los siguientes casos: i. + en el intervalo [0,] ii. > en el intervalo [0,] iii en el intervalo [,] La función verifica f ( ) f ( ), pero f ( ) 0 en [-,] Por qué no se verifica el teorema de Rolle en este caso? La función tg( ) verifica f ( 0) f ( π ), pero f ( ) 0 en [0,π] Por qué tampoco se verifica el teorema de Rolle en este caso? Página de 6

4 Matemática I (BUC) / Cálculo I..(Derivadas) Demostrar que todo polinomio del tipo P ( ) + m nunca tiene dos raíces en [0,] e. Probar que la ecuación sen( ) + cos( ) tiene eactamente dos soluciones. f. Probar que sen( a) sen( b) a b g. Probar que e + con 0 5. Aplicar la regla de L Hôpital, cuando sea conveniente, para calcular los siguientes ites: e. f. 0 tan( ) sen()sen() 0 sen() + 0 ( + ) 0 tan( ) 0 sen( ) sen( ) 0 sen ( ) g. + cos(5) 0 sen() h. ln( ) + 0 e e i. 0 j. ( + + ) + k. 0 cos( ) l. m. + ln( ) tan( ) + 0 n. cos( ) o. 0 p. ( + ) q. 0 π π cos() r. ( + e ) s. 0 sen()sen() π sen() 6. Sean f, g y h funciones definidas como sigue, calcular h ( ). ' cos( ) si +, si ( ) y h( ) ( g f )( ) g. 7. Sea ln( + ) + < 7 si 0 b si 0, hallar a y b para que f() sea derivable en 0. sen ( a ) - si > 0 Página de 6

5 Matemática I (BUC) / Cálculo I.(Derivadas) 8. Hallar los valores reales de a y b para que la función f() sea derivable en 0. + sen( + b) si 0 a. si > Sea f '(). k k + k sen( ) si g( ). Hallar todos los valores de k y c R tales que c si 0. Sea cos( ) a b - si 0 si < 0, hallar a y b para que f() sea derivable en 0.. Hallar k > 0 para que la recta y + sea tangente al gráfico de la función g( ) k + k en 0.. Sabiendo que la recta tangente al gráfico de la función f() en el punto de es y, hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de h( ) ln( f ( ) + ) en. 5. Dadas g y f funciones continuas y derivables en IR.. Sabiendo que g ( ) 5e + y la recta y -5 + es tangente al gráfico de la función g() en el punto de. Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de.. Dada la función f: IR IR, sen ( + ) cos ( + ) determinar si f es derivable en -. Si es posible, calcular f (-). si < si, continua en IR, 5. Dada la siguiente función h( ), hallar los intervalos del dominio donde la función 7 derivada sea menor o igual que. Página 5 de 6

6 Matemática I (BUC) / Cálculo I.(Derivadas) 6. Dada la función h: IR IR, h ( ) 8 +, hallar todas las rectas que pasen por el origen y sean tangentes al gráfico de h() en algún punto. 7. Sea la función g: IR IR, tales que g() sea derivable en 0. sen ( k) + si < 0 g ( ) si 0. Hallar todos los valores de k IR - si > 0 8. Sabiendo que la recta tangente al gráfico de f () en es y e, hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de ( ). g en e 9. Sean g() una función lineal y f () una función tal que f ( ) y f '(). Sabiendo que la ecuación de la recta tangente a ( g of )( ) en el punto de s y + 5, hallar g (). 0. Dadas las funciones y g( ) a, hallar a IR sabiendo que la recta tangente a + a h( ) ( f g)( ) en s y +.. Dada la función + + Hallar el punto del gráfico de f () donde la ecuación de la recta tangente es y -9 Hallar las ecuaciones de todas las rectas tangentes al gráfico de f () que sean paralelas a y -9. Página 6 de 6