FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES ESCUELA DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE CURSO MAC 408 GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES ESCUELA DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE CURSO MAC 408 GEOMETRÍA ANALÍTICA BACHILLERATO Y LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Profesor: Leonel Chaves Salas Correo electrónico: leonel.chaves.salas@una.cr Teléfono: I) ASPECTOS GENERALES CURSO: Geometría Analítica CÓDIGO: MAC 408 NATURALEZA: Teórico-práctico TIPO DEL CURSO: Regular REQUISITOS: MAC 402 Geometría Euclídea I MODALIDAD: Ciclo MAC 403 Principios de Matemática II TOTAL HORAS SEMANALES:11 CICLO LECTIVO: I-2019 HORAS PRESENCIALES: 05 NIVEL: III HORAS EST./INDEP.: 06 ÁREA: Geometría CRÉDITOS: 04 AT/EST: Lunes 9:00-10:00 II) DESCRIPCIÓN DEL ESPACIO PEDAGÓGICO Este es un curso ubicado en el tercer nivel, en quinto ciclo del plan de estudios de la carrera Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática. En este se introduce al estudiante en las nociones fundamentales de la Geometría Analítica en el plano y en el espacio, los cuales son temas necesarios para el estudio posterior de los cursos de Análisis y Álgebra Lineal, así como en la educación secundaria. Se estudian los sistemas de coordenadas rectangulares y de coordenadas polares, las diferentes ecuaciones de la recta y sus características, así como las secciones cónicas y sus elementos, además de vectores en el plano y el espacio con el fin de comprender las diferentes ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Con este curso se pretende que el estudiante desarrolle habilidades en la representación gráfica de diversas ecuaciones, el análisis de gráficas y la aplicación de estos conceptos en la resolución de ejercicios. Lo anterior es fundamental dentro del perfil del graduado de la carrera, pues son temáticas que forman parte del objeto de estudio de la matemática dentro de la educación secundaria. El curso potencia las competencias para el razonamiento y la argumentación, involucradas en los quehaceres matemáticos; esto en concordancia con el Eje Curricular denominado Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático. El curso, por lo tanto, 1

2 hará énfasis tanto en las demostraciones de las fórmulas y conceptos estudiados, así como a las aplicaciones prácticas de los conceptos desarrollados, en concordancia con el eje curricular de aplicaciones matemáticas. Lo anterior, le permitirá tener al estudiante una visión más amplia sobre los temas básicos de la geometría analítica, lo que aporta significativamente en su formación como educador y le permitirá posteriormente contribuir en la enseñanza de estos temas en secundaria, en concordancia con el perfil de la carrera. Se desarrollarán en el curso experiencias de mediación de los aprendizajes individuales,. colaborativas y cooperativas, que combinan las explicaciones de carácter teóricas a cargo del docente, con oportunidades de aplicación prácticas por parte de los estudiantes, orientadas a emplear los conocimientos construidos o afinar determinadas competencias en situaciones concretas, simuladas o reales. Entre las experiencias de mediación de aprendizajes contempladas, resaltan las estrategias centradas en la aplicación de la argumentación y razonamiento matemático en la resolución de problemas, tales como: comprensión, simulación y aplicación de modelos, incorporación y utilización de herramientas tecnológicas como recursos didácticos, construcciones y manipulaciones, proyecciones y abstracciones matemáticas en estudios de casos y desarrollo del pensamiento heurístico. III) CONOCIMIENTOS PREVIOS Lenguaje matemático y métodos de demostración, teoría de conjuntos, sistema de los números reales, funciones reales de variable real. Conceptos de Geometría Euclídea: ángulos, triángulos, cuadriláteros (clasificación y propiedades), paralelismo y perpendicularidad, distancia. IV) COMPETENCIAS GENÉRICAS Se espera que la metodología y contenidos planteados para este curso contribuyan en el desarrollo de las siguientes competencias genéricas del plan de estudios de la carrera BLEM-2017: G1. Desarrollar habilidades sociales y culturales para participar en los contextos educativos. G2. Desarrollar habilidades en el uso de tecnologías de la información y comunicación (TIC) para el fortalecimiento de los procesos cognitivos en diversos contextos educativos. G5. Fortalecer los hábitos de responsabilidad y compromiso en el ejercicio de su profesión G7. Desarrollar la competencia lingüística en su propio idioma para el óptimo ejercicio profesional. G9. Desarrollar habilidades de trabajo en equipo, colaborativa y cooperativo para la construcción conocimiento disciplinar, transdisciplinar e interdisciplinar. G10. Desarrollar habilidades interpersonales en el profesional para el enriquecimiento de su práctica pedagógica. 2

3 V) COMPETENCIAS ESPECÍFICAS Se espera que la metodología y contenidos planteados para este curso contribuyan en el desarrollo de las siguientes competencias matemáticas del plan de estudios de la carrera BLEM-2017: M1. Comprender los conceptos básicos de la matemática superior desde una perspectiva universitaria para su formación como docente de matemática. M2. Ser capaz de formular problemas en lenguaje matemático durante su actividad como estudiante para fortalecer sus estructuras de pensamiento. M3. Entender los conceptos fundamentales de la matemática a través de su evolución sociohistórica para la comprensión de la disciplina y su enseñanza en diferentes contextos. M4. Construir e interpretar modelos matemáticos a partir de situaciones reales para reconocer la importancia de la matemática en la vida cotidiana. M5. Aplicar los conocimientos sobre Resolución de Problemas en contextos multidisciplinares para mayor comprensión de su importancia en otras áreas científicas y sociales. VI) ÁREAS TEMÁTICAS, SUBCOMPETENCIAS E INDICADORES DE LOGRO Este apartado se subdivide en dos áreas temáticas, las cuales no se desarrollarán de manera secuencial, solamente corresponde a una organización de saberes que son la base conceptual del curso. Para una organización secuencial de los saberes se debe referir al cronograma. La primera de las áreas temáticas corresponde a sistemas de coordenadas, pues al estudiar la geometría analítica ineludiblemente se debe hacer referencia a esta área. Aquí se incluyen los fundamentos de los sistemas de coordenadas (unidimensionales, rectangulares en el plano, polares y rectangulares en el espacio), así como ciertas ideas fundamentales de conceptos geométricos desde el punto de vista analítico. La segunda área temática se vincula a la relación entre ecuaciones y gráficas o lugares geométricos. Aquí se incluye el estudio de la recta (ecuación lineal Ax + By + C = 0), las secciones cónicas (ecuación cuadrática Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0), las rectas y los planos en el espacio. Área temática I. Sistemas de coordenadas. Subcompetencias Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: Valorar la importancia del sistema de los números reales y la Geometría Euclídea en el abordaje de la Geometría Analítica. Comprender los conceptos fundamentales de la Geometría Analítica para su formación profesional en educación matemática. Aplicar los conceptos fundamentales de la Geometría Analítica en la resolución de ejercicios 3

4 geométricos y problemas de la vida cotidiana. Valorar la importancia de la Geometría Analítica en el desarrollo profesional. Identificar conceptos de la Geometría Analítica y estrategias para su enseñanza en la educación secundaria Área temática I Saberes Segmento rectilíneo dirigido. Sistema de coordenadas Unidimensional. Bidimensional (rectangulares). Indicadores Contrasta el significado otorgado al concepto de segmento rectilíneo en la Geometría Euclídea y el otorgado en la Geometría Analítica. Demuestra la relación fundamental AB+BC=AC para cualesquiera tres puntos colineales A, B, C. Calcula la longitud de un segmento de recta dirigido, a partir de las coordenadas de sus extremos. Establece la relación entre puntos del plano cartesiano y sus coordenadas. Aplica sistemas de coordenadas rectangulares en situaciones de la vida cotidiana. Distancia entre dos puntos. División de un segmento en una razón dada. Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Distancia de un punto a una recta. Transformación de coordenadas: Traslación de ejes. Rotación de ejes. Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas. Transformación de la ecuación general Extrae conceptos de la Geometría Analítica en los programas de matemática de educación secundaria. Conjetura la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y entre un punto y una recta del plano cartesiano. Demuestra la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y entre un punto y una recta del plano cartesiano. Determina las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. Aplica la fórmula para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Aplica los conceptos de distancia entre dos puntos, división de un segmento en una razón dada, distancia de un punto a una recta en la demostración de teoremas de la Geometría Euclídea y resolución de ejercicios. Conjetura la fórmula para traslación de ejes a partir de ejemplos concretos. Aplica los procesos de transformación de coordenadas para la simplificación de ecuaciones, incluyendo la ecuación general de segundo grado. 4

5 de segundo grado por rotación y traslación de los ejes coordenados. Coordenadas polares Sistema de coordenadas polares. Transformación de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Distancia entre dos puntos en coordenadas polares. El espacio tridimensional, puntos en el espacio, distancia entre puntos. Vectores en el plano y el espacio. Operaciones básicas y su representación geométrica. Ley del paralelogramo. Producto escalar de vectores. Norma de un vector. Identifica el indicador I = B 2 4AC como un invariante bajo rotación de los ejes coordenados. Relaciona puntos en el plano polar con sus coordenadas polares. Determina las coordenadas polares de un punto dadas sus coordenadas cartesianas y viceversa. Determina la ecuación polar de una curva dada en coordenadas rectangulares y viceversa. Demuestra la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas polares y la aplica en la resolución de ejercicios. Grafica figuras en el sistema de coordenadas rectangulares en tres dimensiones. (puntos, segmentos, triángulos, cuadriláteros) Conjetura y demuestra la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos dados en coordenadas rectangulares de tres dimensiones y la aplica en la solución de ejercicios. Explica con sus propias palabras el concepto de vector en el plano y en el espacio. Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y producto escalar de vectores. Calcula la norma de un vector dado. Explica con sus propias palabras la interpretación gráfica de las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y norma de un vector. Ángulo entre vectores. Vectores paralelos, perpendiculares, unitarios. Ortogonalidad, proyección ortogonal. Producto vectorial, producto mixto y sus interpretaciones geométricas. Demuestra las propiedades de las operaciones con vectores. Demuestra la fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores y la aplica en la solución de ejercicios. Conjetura y demuestra las condiciones que deben tener dos vectores para ser paralelos o perpendiculares. Determina un vector unitario paralelo a un vector dado. Enuncia la definición de ortogonalidad. Enuncia y aplica la fórmula para obtener la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Explica diferencia entre perpendicularidad y 5

6 ortogonalidad Calcula el producto vectorial y producto mixto de dos o más vectores. Área temática II: Relación entre ecuaciones y lugares geométricos. Subcompetencias Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: Explica con sus propias palabras la interpretación gráfica del producto vectorial de vectores y algunas de sus propiedades. Enuncia y aplica las propiedades analíticas y geométricas del producto vectorial y producto mixto. Valorar el uso del álgebra básica en la Geometría Analítica para fortalecer sus conocimientos matemáticos. Identificar el lugar geométrico de una ecuación dada en distintos sistemas de coordenadas. Expresar algebraicamente un lugar geométrico. Identificar elementos de un lugar geométrico a partir de su representación algebraica. Identificar conceptos de la Geometría Analítica y estrategias para su enseñanza en la educación secundaria Área temática II La recta. Saberes Indicadores Enuncia la definición de pendiente de una recta y la definición analítica de recta. Explica con sus propias palabras la diferencia entre el concepto de recta en Geometría Euclídea y Geometría Analítica. Formas de representación de la ecuación de una recta: forma punto-pendiente, forma pendiente-ordenada en el origen, forma general, forma normal, forma simétrica. Ángulos entre dos rectas. Rectas paralelas y perpendiculares. Determina la ecuación de una recta, en cualquiera de las formas, a partir de información dada. Justifica con sus propias palabras por qué cualquier recta se puede expresar en la forma general, pero no necesariamente en las otras formas. Enuncia y aplica la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas. Conjetura y demuestra las condiciones que deben tener dos rectas para ser paralelas o perpendiculares. Aplica los conceptos de paralelismo y perpendicularidad de rectas en la solución de ejercicios. 6

7 Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Intersecciones con los ejes. Simetría. Extensión de la curva. Asíntotas. Construcción de curvas. Explica con sus propias palabras el proceso de representación de gráfica de una ecuación. Determina los puntos en donde una gráfica interseca a los ejes coordenados. Determina si la gráfica de una ecuación dada presenta simetrías con respecto a los ejes coordenados o con respecto al origen. Determina el conjunto de valores que puede tomar las variables involucradas en una ecuación (de dos variables) y relaciona esto gráficamente como el intervalo en el cual se extiende la curva en cada uno de los ejes coordenados. Determina si la gráfica de una ecuación presenta asíntotas horizontales o verticales y determina las ecuaciones de dichas asíntotas en caso de existir. Traza la gráfica de una ecuación dada, utilizando la información proporcionada por las intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, asíntotas y extensión de la curva. Traza la gráfica de una ecuación factorizable. Ecuaciones factorizables. Intersecciones de curvas. Ecuación de un lugar geométrico. Las secciones cónicas. La parábola. La elipse (la circunferencia). La hipérbola. Características y trazo de sus gráficas. Determina los puntos de intersección entre dos curvas dadas sus ecuaciones. Determina la ecuación que corresponde a una curva dadas las condiciones geométricas que la determinan. Enuncia la definición de cada una de las secciones cónicas como lugar geométrico. Determina la ecuación canónica de la parábola, la elipse y la hipérbola (horizontal y vertical) a partir de su definición como lugar geométrico. Deduce propiedades gráficas (simetrías y extensión de la curva) de las secciones cónicas a partir de sus ecuaciones. Enuncia las definiciones de los principales elementos de las secciones cónicas. (vértices, focos, directriz, lado recto, eje mayor, eje menor, eje focal, excentricidad, asíntotas) Determina la ecuación canónica de una sección cónica a partir de información dada, incluyendo la forma general. Traza la gráfica de una sección cónica a partir de su ecuación. Determina los principales elementos de una sección 7

8 cónica a partir de su ecuación. Propiedades analíticas de las secciones cónicas. Demuestra propiedades de las secciones cónicas y sus elementos. Extrae conceptos de la Geometría Analítica en los programas de matemática de educación secundaria. Utiliza el indicador I = B 2 4AC para clasificar el tipo de lugar geométrico que determina la ecuación de segundo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 La ecuación de segundo grado y Transformación de coordenadas El indicador I = B 2 4AC Trazado de curvas en coordenadas polares. Traza la curva de una ecuación dada en coordenadas polares. Identifica tipos particulares de curvas a partir de su ecuación en coordenadas polares (circunferencias, cardioides, caracoles, rosas, lemniscatas, espirales) Determina los puntos de intersección de curvas en coordenadas polares. Determina la ecuación de la recta y la circunferencia en el sistema de coordenadas polares. Intersección de curvas en coordenadas polares. Ecuación de la recta en coordenadas polares. Ecuación de la circunferencia en coordenadas polares. Ecuación general de las cónicas en coordenadas polares. Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones. Ecuación vectorial del plano. Ecuación normal del plano. Relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, planos, rectas y planos. Enuncia la ecuación general de las secciones cónicas en el sistema de coordenadas polares. Clasifica el tipo de sección cónica a partir de la ecuación general en coordenadas polares. Determina la ecuación de una recta en el sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones, en forma vectorial, paramétrica o simétrica, a partir de información dada. Determina la ecuación de un plano en el sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones, en forma vectorial o normal, a partir de información dada. Determina las condiciones que deben tener las rectas y planos, en el sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones, para que sean paralelos o perpendiculares. Aplica los conceptos de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, planos, rectas y planos en la solución de ejercicios. Determina las intersecciones entre rectas, planos, rectas y planos. 8

9 VII) ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS DE APRENDIZAJE Entre las estrategias principales de instrucción están la clase magistral, el trabajo individual y grupal y las discusiones de temas y de ejercicios. Para las discusiones de temas se utilizará la conversación heurística, entendida como el método mediante el cual el conocimiento se genera a partir del diálogo entre docente y estudiante. Se utilizarán programas graficadores como Winplot y Geogebra así como el video proyector como apoyo a la explicación de los temas, buscando una mejor comprensión por parte de los estudiantes. Con la ayuda de estos recursos se busca una mejor integración de la teoría y la práctica, pues se podrá visualizar de una forma dinámica los conceptos teóricos que se desarrollan. Se asignan trabajos, tareas o investigaciones para realizar dentro y fuera de la clase. Esto para promover en los estudiantes el aprendizaje autónomo, la autorregulación, la reflexión, el análisis, el sentido de responsabilidad, la toma de decisiones, la independencia y la capacidad de resolver problemas de manera individual. Asimismo, se propone la conformación de grupos de trabajo para procurar la interdependencia de los individuos de cada grupo durante la realización de una tarea. Debido a esto, se espera un papel activo del estudiante, tanto en la resolución de ejercicios asignados por el docente como expresando en el momento adecuado las dudas que surjan durante la clase. Por su parte el profesor procurará siempre mantener un ambiente adecuado en el aula, donde se respeten las diferentes opiniones y aportes de todos los estudiantes, en concordancia con los ejes transversales de la Universidad. VIII) ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN El curso considera dos tipos de evaluación: la formativa y la sumativa. Evaluación Formativa a) Autoevaluación: a lo largo del curso el estudiante podrá utilizar programas o aplicaciones tecnológicas que le ayudarán a corroborar resultados, por ejemplo: Geogebra, Wimplot, entre otros. Asimismo se aplicarán instrumentos para que cada estudiante se evalúe a sí mismo en los trabajos asignados. b) Coevaluación: se realiza a partir del criterio de evaluación que indiquen los integrantes de un grupo de trabajo sobre el desempeño individual de cada miembro. c) Uso de aplicaciones tecnológicas (Kahoot, Socrative, Aula virtual) para la evaluación de competencias y conceptos en clase. 9

10 Evaluación Sumativa a) Presentaciones orales: En grupos de tres personas presentarán la solución y explicación en la pizarra de un ejercicio asignado por el docente. 5% En grupos de cinco personas realizarán la exposición sobre un tema del curso asignado por el docente. 15% b) En grupos de dos o tres personas realizarán dos guías en el Laboratorio de Cómputo, cada una con un valor de 5%, para un total de 10% c) Tres exámenes escritos: durante el ciclo se aplicarán tres exámenes escritos, para un total de 70%. A manera de resumen se presenta la siguiente tabla, con los rubros que se van a evaluar de manera sumativa. Actividad Porcentaje Tres exámenes parciales 70% Laboratorios 10% Exposición grupal 15% Exposición de ejercicios 5% En la tabla adjunta se presenta la relación existente entre cada rubro de evaluación sumativa y las competencias generales y específicas del curso. Instrumento de evaluación Pruebas escritas Laboratorios Exposición grupal Exposición de ejercicios C Generales C Matemáticas X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Los exámenes se realizarán en las siguientes fechas: Examen Día Saberes a evaluar Valor porcentual I Parcial Miércoles 3 de abril Semana 1 a 6 25% II Parcial Miércoles 22 de mayo Semana 7 a 13 25% III Parcial Jueves 13 de junio Semana 14 a 16 20% Examen extraordinario Todos 10

11 Es importante mencionar que la asistencia a los laboratorios es fundamental, quien no asista a uno de ellos pierde el puntaje respectivo. IX) AUSENCIA A EXÁMENES El estudiante que por enfermedad o por fuerza mayor no puede efectuar una prueba, debe presentar al profesor, por escrito, la justificación en un tiempo límite de cinco días hábiles a partir de la fecha en que se realizó. Si es aceptada, de común acuerdo con el alumno, se fijará la fecha de realización, dentro de los ocho días hábiles siguientes a la presentación de la justificación. En caso de no aceptarse la justificación, el estudiante puede apelar ante el Consejo de Unidad Académica de la Escuela de Matemática Si una prueba no se realiza en la fecha prevista, por ausencia del profesor, los estudiantes deben levantar un acta consignando la ausencia de este a la Dirección de la Escuela. El coordinador de área o el director, según corresponda, tomará las medidas del caso para que la prueba se realice en una nueva fecha fijada en común acuerdo con los estudiantes. X) APLAZADOS La nota mínima para aprobar el curso es de 7 (escala de 0 a 10). No obstante, si se obtiene una nota de curso inferior a 7, superior o igual a 6, el estudiante, tiene derecho a presentar un examen extraordinario que se realizará en la fecha establecida por el Calendario Universitario. XI) BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA González, J. (2009). Geometría Analítica. San José, Costa Rica: Editorial EUNED. Granero, F. (1985). Álgebra y geometría analítica. España: Editorial Mc Graw Hill. Lehmann, C. (1993). Geometría analítica. México: Editorial Limusa S. A. Ramírez, A. (1998). Una introducción a la geometría analítica. México: Las prensas de ciencias. Simmons, G. (2002). Geometría analítica con trigonometría. México, D.F.: McGraw- Hill Swokowski, E. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Cengage Learning. 11

12 XII) CRONOGRAMA TENTATIVO DE ACTIVIDADES Semana Fecha Saberes a desarrollar febrero Sistema de coordenada unidimensional y rectangular. Distancia entre puntos. División de un segmento en una razón dada. Definición analítica de recta febrero Formas de la ecuación de una recta. Ángulo entre dos recta. Rectas paralelas y perpendiculares. Distancia de un punto a una recta. Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices 3 Gráfica de una ecuación. Intersecciones con los ejes. Simetría. 25 febrero Extensión de la curva. Ecuaciones factorizables. Intersección de 1 marzo curvas marzo Ecuación de un lugar geométrico marzo Las secciones cónicas. La parábola. La elipse (la circunferencia). Características y trazo de sus gráficas marzo Las secciones cónicas. La hipérbola. Características y trazo de sus gráficas marzo Propiedades analíticas de las secciones cónicas abril La ecuación de segundo grado. El indicador I = B 2 4AC I Examen Parcial abril Transformación de coordenadas: Traslación de ejes. Rotación de ejes abril Semana Santa abril abril 3 mayo mayo mayo mayo mayo junio Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas. Transformación de la ecuación general de segundo grado por rotación y traslación de los ejes coordenados. Sistema de coordenadas polares. Transformación de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Distancia entre dos puntos en coordenadas polares. Trazado de curvas en coordenadas polares. Intersección de curvas en coordenadas polares. Ecuación de la recta en coordenadas polares. Ecuación de la circunferencia en coordenadas polares. Ecuación general de las cónicas en coordenadas polares. El espacio tridimensional, puntos en el espacio, distancia entre puntos. Vectores en plano y el espacio. Operaciones básicas y su representación geométrica. Producto escalar de vectores. Norma de un vector. Ángulo entre vectores. Vectores paralelos, perpendiculares, unitarios. Ortogonalidad, proyección ortogonal. Producto vectorial, producto mixto y sus interpretaciones geométricas. II Examen Parcial Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones. Ecuación vectorial del plano. Ecuación normal del plano. Relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, planos, rectas y planos. 17 III Examen Parcial 12

13 Cualquier otro aspecto no tomado en cuenta en este documento debe ser expuesto y analizado en clase en primera instancia, apegándose a los reglamentos universitarios vigentes. Original firmado en la Escuela de Matemática Profesores del curso Original firmado en la Escuela de Matemática Coordinador de carrera 13

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