Curso cero Matemáticas en informática :

Transcripción

1 y Curso cero Matemáticas en informática : y Septiembre 2007

2 y

3 y Se llama matriz de orden m n a cualquier conjunto de elementos dispuestos en m filas y n columnas: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = (a ij ) = M m n a m1 a m2 a m3 a mn Dos matrices son iguales si lo son todos sus elementos. Una matriz es cuadrada si m = n. En ese caso, a 11,..., a nn forman la diagonal principal. Se llama matriz triangular superior/inferior la que tiene nulos todos los elementos por debajo/encima de la diagonal. Buscar un ejemplo de cada tipo.

4 y Una matriz diagonal tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal. Dada una matriz A M m n, su opuesta A tiene elementos ( a ij ). Para una matriz A, su traspuesta A t = (a j,i ) = M n m se obtiene intercambiando en A las filas por las columnas. Si A = A t, la matriz se dice simétrica. Si A = A t, se llama antisimétrica. Buscar un ejemplo de cada tipo.

5 y La suma de matrices A + B se hace elemento a elemento: = Cumple las siguientes propiedades: Conmutativa; A + B = B + A. Asociativa; A + (B + C) = (A + B) + C. Elemento neutro; 0 = (0) tal que A + 0 = 0 + A = A. Elemento opuesto; A tal que A + ( A) = ( A) + A = 0. La resta de matrices A B es simplemente A + ( B): =

6 y El producto de una matriz por un número k A se hace elemento a elemento: = Cumple las siguientes propiedades: Distributiva respecto de la suma de matrices; k (A + B) = k A + k B. Distributiva respecto de la suma de números; (k + h) A = k A + h A. Asociativa entre números y matrices; (k h) A = k (h A). Elemento unidad; 1 tal que 1 A = A. OJO! No confundir con el producto de dos matrices, que no es elemento a elemento.

7 y Dadas dos matrices A M m n, B M n p, su producto C = A B es C M m p. Cada c ij se obtiene sumando los productos, elemento a elemento, de la fila i de A y la columna j de B: Haciendo ( ) = ( 3) ( 3) ( 3) Número columnas de A = Número filas de B. Cumple las siguientes propiedades: Asociativa; A (B C) = (A B) C. Distributiva; A (B + C) = A B + A C. Asociativa respecto de producto por un número; k (A B) = (k A) B. El producto de matrices no es conmutativo!! (Ver el ejemplo anterior, ni siquiera existe B A).

8 y El método de Gauss consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal mediante operaciones elementales: GAUSS(A) INPUT: Matriz A en M m n. OUTPUT: Matriz A equivalente y triangular superior. for k from 1 to n 1 do // Pivote en fila k // // Para cada fila por debajo de la del pivote // for i from k + 1 to m do Elemento bajo el pivote // Fila i Fila del pivote // Pivote for j from k to n do end do end do return A A(i, j) A(i, j) A(i,k) A(k,k) A(k, j) OBS.: para cada k habría que asegurarse de que pivote 0: if A(k, k) = 0 then intercambiar fila A k con A l tal que l > k y A(l, l) 0 end do

9 y El método de consiste en concatenar el anterior con hacer ceros por encima de la diagonal: JORDAN(A) INPUT: Matriz A en M m n. OUTPUT: Matriz A equivalente y triangular inferior. for k from n to 2 do // Pivote en fila k // // Para cada fila por encima de la del pivote // for i from k 1 to 1 do Elemento sobre el pivote // Fila i Fila del pivote // Pivote for j from k to 1 do end do end do return A A(i, j) A(i, j) A(i,k) A(k,k) A(k, j) GAUSS-JORDAN(A) INPUT: Matriz A en M m n. OUTPUT: Matriz A equivalente y diagonal. return JORDAN(GAUSS(A))

10 y Para matrices cuadradas A M n n, el producto tiene elemento neutro; I n tal que I n A = A I n = A. Sin embargo, el elemento inverso A 1 tal que A A 1 = A 1 A = I n no siempre existe. Cuando existe, es única y se llama inversa. A una matriz que tiene inversa se le llama regular. Cálculo de la inversa por : ( ) 1 = ( Se construye (A I n ) y se hacen operaciones elementales por filas hasta llegar a (I n A 1 ) ( ) ( ) F 2 3F F 1 + 2F ( ) (Tras, quizá multiplicar fila por número) )

11 y El rango de una matriz es el número de filas F i linealmente independientes (e.d., que no se pueden poner como F i = λ 1 F λ m F m ). Coincide con el número de columnas C i lin.ind. Una matriz tiene inversa tiene rango máximo. Cálculo del rango por : rango = 2 Se hacen operaciones elementales por filas hasta hacer ceros debajo de la diagonal. El número de filas no nulas será el rango F 2 F 1 F 3 + F F 3 + 3F 2

12 y : Calcular A B para las matrices ( ) A =, B = Calcular ( A B para las ) matrices ( A =, B = Calcular la inversa de las matrices A = 2 4 3, B = )

13 y 4 : Calcular el rango de las siguientes matrices A = 0 2 4, B = C = , D = Cuáles de ellas tendrán inversa?,

14 y

15 y Se define el determinante de una matriz 2 2 como: det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Para una matriz 3 3: a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Se llama adjunto de a ij a A ij = ( 1) i+j menor complementario Así, para A M 3 3 desarrollando por la primera fila se tiene det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13. Análogamente, se puede desarrollar por cualquier fila o columna; det A = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32.

16 y Para una matriz, el determinante se calcula desarrollando por una fila o columna: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n..... = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n. a m1 a m2 a mn Para hacer menos cálculos, conviene elegir la fila o columna que tenga más ceros. Ejemplo: = 140

17 y det A = det A t. Al intercambiar dos filas (o dos columnas) el determinante cambia de signo. Si se multiplica una fila (o columna) por un número, el determinante también se multiplica por ese número. Si una fila (o columna) es suma de otras, el determinante se descompone en suma de. a 11 + b 11 a 1n a 11 a 1n b 11 a 1n a 21 + b 21 a 2n a 21 a 2n b 21 a 2n..... = a m1 + b m1 a mn a m1 a mn b m1 a mn

18 y Si a una fila (o columna) se le suma otra multiplicada por un número, el determinante no varía. a 11 a 1n a 11 + k a 1j a 1n a 21 a 2n C 1 + kc j a 21 + k a 2j a 2n..... = a m1 a mn a m1 + k a mj a mn Si una matriz tiene una fila (o columna) compuesta por ceros, su determinante es cero. Si una matriz tiene dos filas proporcionales, su determinante es cero. Si en una matriz una fila (o columna) es combinación lineal de otras, su determinante es cero. F i = λ 1 F 1 + λ 2 F λ n F n det A = 0 El determinante de una matriz triangular es el producto de la diagonal EL MÉTODO MÁS EFICIENTE ES TRIANGULAR LA MATRIZ USANDO EL MÉTODO DE GAUSS (ver transparencias de Sistemas ).

19 y Se define la adjunta de A a la matriz formada por los adjuntos (pincha para recordar); adj(a) = (A ij ). La inversa también se puede calcular usando la adjunta: Ejemplos: ( A 1 = [adj(a)]t det A ) = = 1 = t 1 = /2 3/2 1/ /2 1/2 1/2 ( 5 ) t 2 =

20 y Se llama menor de orden k de A al determinante de una submatriz k k. El rango también se puede calcular usando menores: rango(a) = r si r es el mayor orden para el que existe un menor no nulo. Ejemplos: rango porque det A = 0 y rango porque det A = 0 y = 2, = 4 0. = 3, = 2 0.

21 y : Calcular Calcular Si A M k k con k par, qué relación hay entre det A y det( A). Y si k es impar? Calcular, usando, la inversa de las matrices A = 2 4 3, B =

22 y 5 : Calcular, usando, el rango de las siguientes matrices A = 0 2 4, B = , C = , D =

23 y Antes de seguir, intenta resolver los ejercicios propuestos. Una vez que los hayas intentado, podrás comprobar tus resultados con las soluciones que aparecen a continuación.

24 y ( ) Soluciones matrices: Imposible, el número de columnas de A no coincide con el número de filas de B. A 1 = , B 1 = (a la izquierda queda 3 I 3 en lugar de I 3, así que hay que dividir la matriz de la derecha por 3). rango(a) = 1, rango(b) = 3, rango(c) = 2, rango(d) = 4.

25 y Soluciones : Como se multiplican por 1 todas las filas (o columnas), el determinante se multiplica por ( 1) k, así que para k par det A = det( A), y para k impar det A = det( A). A 1 = , B 1 =

26 y Matemáticas Bachillerato 2, Tecnología, Esther Bescós y Zoila Pena, Ed. Oxford, Diccionario de términos matemáticos. Página muy completa sobre matrices y. Más sobre matrices y.