Unidad 4. Trigonometría I 1

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1 Unidad Trigonometría I ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS Completa en tu cuaderno la siguiente tabla referida a la equivalencia de ángulos en los distintos sistemas de medida Vamos a acer las equivalencias y después las vamos introduciendo en la tabla, teniendo en cuenta que: 80º rad ) Como 80º son rad, 90º que son la mitad serán / rad ) Aunque en este es muy fácil razonar como en el anterior (¼ es la mitad de ½) para este tipo de ejercicios en que se nos da el ángulo en radianes en función de, lo más rápido es sustituir rad por 80º: 80º rad º 80º 0º 0 ) Aora resolvemos una sencilla proporción: rad rad rad 80 80º ) rad 70º 80º º ) rad rad rad 80 80º 6) rad 0º 80º 9º' 9º' 7) rad 0,69 rad rad 80 80º 80º 8) 7,978º 7º7' " rad rad 80º º'" º'" 9) rad,6 rad rad 80 80º, 80º 0),9º º' rad, rad ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) 0) 90º º 0º 70º º 0º 9º 7º7 º º / rad / rad / rad / rad /rad / rad 0,69 rad rad,6 rad, rad Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: Resolver un triángulo es conocer la amplitud de sus tres ángulos y la longitud de sus tres lados Como son triángulos rectángulos, la suma de los ángulos agudos a de ser 90º

2 Unidad Trigonometría I aa) ) Como B 0º, C 90º - B 90º - 0º 0º bb) ) Como B º, C 90º - B 90º - º º Para allar las longitudes de los lados debemos usar, siempre que sea posible, datos del problema y no valores calculados para evitar acumular errores por aproimaciones sucesivas Del ángulo conocido B, sabemos la ipotenusa (a) y emos de allar el cateto opuesto, b, (usamos el seno) y el cateto contiguo, c, (usamos el coseno): b senbˆ b a senbˆ 0m sen0º 8,6 m a c cosbˆ c a cosbˆ 0m cos 0º 99,9 m a Como conocemos el cateto opuesto a B, para allar la ipotenusa (a) usamos el seno y para calcular el cateto contiguo (c) usamos la tangente: b b 9 m senbˆ a,97 m a senbˆ senº b b 9 m tgbˆ c 66,9 m c tgbˆ tgº cc) ) En este triángulo conocemos la ipotenusa, a, y uno de los catetos, b, pero ningún ángulo, el cateto que nos falta es fácil de allar, usamos el teorema de Pitágoras: a b c c a b 6 0 6, m Cómo allamos los dos ángulos que nos faltan? Si somos capaces de calcular uno de los dos sabremos el otro ya que son complementarios (suman 90º) Hallemos B, qué razón trigonométrica de B relaciona la ipotenusa, a, con el cateto opuesto, b?, pues el seno, luego nos basta con calcular el ángulo cuyo seno es un valor conocido (b/a): b b 0 se Bˆ Bˆ arc sen arc sen arc sen 0,686 a a 6 Conocido B, sabemos que C 90º - B 90º - 7º 8 6 º dd) ) Es similar al anterior pues conocemos dos lados pero ningún ángulo ( ) 7º 8' 6" a b c a b c 0 87,68 m b b tg Bˆ Bˆ arc tg arc tg º ' 7" c c 0 Luego C 90º - B 90º - º 7 8º

3 Unidad Trigonometría I Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de Bajo qué ángulo se verá colocándose a distancia doble? y colocándose a distancia triple? El ángulo bajo el que se ve el árbol a una distancia d es α º, luego escribiendo las tangentes de los desconocidos en función de la tangente del ángulo α podemos allarlos: tgα tgº d tgβ tgα tgº 0,00 β arc tg0,00 d d tgγ tgα tgº 0,006 γ arc tg0,006 6º d d º ' " ' " Calcula la altura de un poste, sabiendo que desde un cierto punto del suelo se ve este con un ángulo de 0 y, si nos acercamos 0 m, lo vemos con un ángulo de Se trata de un ejercicio clásico de los denominados de doble observación, para resolverlos planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a partir de la tangente de los dos ángulos conocidos: tgα tgα si resolvemos este sistema tendremos tgβ ( d)tgβ d y, igualando tenemos una ecuación en, que resolvemos: d tgβ tgα ( d)tgβ tgα tgβ d tgβ tgα tgβ d tgβ (tgα tgβ) d tgβ y sustituyendo tgα tgβ este valor de en la primera igualdad para, tenemos: d tgβ d tgα tgβ 0m tgº tg0º tgα tgα 0,98 m mide el poste tgα tgβ tgα tgβ tgº tg0º Si tienes dificultades para operar con variables, sustituye valores al igualar : tgα ( d)tgβ tgº(0) tg0º ( 0) 0,77 0,77 7,; etc

4 Unidad Trigonometría I Calcula los ángulos de un trapecio isósceles de altura 60 m cuyas bases miden 8 y m Se trata de allar el ángulo α A B, ya que conocido α, sabemos β 90º - α, y por tanto los ángulos F G 90º β 90º 90º - α 80º - α Para allar el ángulo α, usamos el triángulo rectángulo AHF, en donde conocemos los dos catetos, la altura b AB FG 8 60 m y AH c 6 m: b b 60m tg α α arc tg arc tg c c 6m 7º 6,9, luego F G 80º - α 80º - (7º 6,9 ) 0º, 6 Calcula el perímetro de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 0 cm de diámetro Para conocer el perímetro, p L, emos de allar la longitud del lado, L Partimos del triángulo rectángulo OGB, como los 60º grados de una circunferencia están divididos en partes iguales, el ángulo α 60º/ 7º, su mitad es la amplitud del ángulo con vértice en O del triángulo OGB, que llamamos β 6º De ese ángulo, en el triángulo rectángulo OGB, conocemos la ipotenusa r 0 cm y queremos calcular el cateto opuesto, utilizamos, pues, el seno de β: senβ rsenβ 0cm sen6º 7,6 cm, luego el lado del pentágono es L 7,6, r cm y su perímetro p L, cm 76, cm 7 Si las puntas de un compás distan 8 cm y cada rama mide cm, qué ángulo forman? Las ramas del compás forman un triángulo isósceles, si tomamos si trazamos la altura AD y tomamos el triángulo rectángulo ADC: d d cm senβ β arc sen arc sen º 7 7 b b cm Luego el ángulo pedido será el doble γ β º 7 7 0º

5 Unidad Trigonometría I 8 Sabiendo que cos α - / y que el ángulo está en el segundo cuadrante, alla las demás razones trigonométricas Despejamos el seno de la ecuación fundamental de la trigonometría sen α cos α : 9 9 sen α cos α en al estar en el º cuadrante emos tomado el valor positivo de la raíz ya que en ese cuadrante el seno es positivo El resto de las razones son: senα 9 / 9 tgα cos α / sec α cos α / 9 cos ecα senα 9 / 9 9 cos α 9 cot gα tgα senα 9 9 Sabiendo que tg y que 80 < < 70, calcula las demás ángulos razones trigonométricas Podemos resolverlo de dos formas: ) Usando una de las ecuaciones de la trigonometría tg α sec α: 0 sec α tg α 0 cos α tomamos el valor negativo de la raíz sec α 0 0 ya que en el tercer cuadrante ambas razones trigonométricas son negativas Aora allamos las demás: senα 0 tgα senα cos α tgα cos α 0 0 cosecα senα 0 0 cot gα tgα ) Formando un sistema con la definición de la tangente y la ecuación fundamental: senα tgα senα cos α tgα cos α cos α sustituyendo 9cos α cos α 0cos α cos α (cos α) cos α sen α cos α 0 que es el valor obtenido por el primer método 0 0 Calcula las restantes razones trigonométricas de un ángulo A cuya tangente es positiva y sen A - / 0

6 Unidad Trigonometría I 6 Si la tangente es positiva y el seno negativo es porque estamos en el tercer cuadrante, es decir 80º < A < 70º Despejamos el coseno de la ecuación fundamental de la trigonometría sen α cos α : 9 6 cos α sen α en al estar en el er cuadrante emos tomado el valor negativo de la raíz ya que en ese cuadrante el coseno es negativo El resto de las razones son: senα / tgα cosα / sec α cosα / cosecα senα / cosα cot gα tgα senα Simplifica las siguientes epresiones trigonométricas: sen α cos α sen α tg α () () () α aa) ) cos α cos α cos α sen tg α cot g α cos α sen α cos α cos α sen α sen α sen α () Sustituyendo tgα senα/ cosα y cotgα cosα/senα () Al sumar las fracciones del numerador y denominador () Según la ecuación fundamental de la trigonometría sen α cos α cos α () sen α () ( senα) ( senα) () bb) ) senα senα senα senα () Sustituyendo cos α sen α despejado de la ecuación sen α cos α () Aplicamos el producto notable a b (ab) (a b), una diferencia de cuadrados es suma por diferencia () Simplificamos el factor común al numerador y denominador ( senα) sen α cos α sen α cos α cos α cos α cos α( tg α) α ) cos α cos α cos α sen tgα cot gα cos α cos α cos α cos α cos α senα senα senα senα cc) dd) ) senα cosα sen cos senα cos α (tgα cotgα) sen cos sen cos α α α α α α cosα senα sen cos α α ee) ) sen α senα cos α senα(sen α cos α) senα () () ) cos α sen α cos senα cos α sen α cos α(cos α sen α) senα(sen α cos α) senα cos α f) f () Etrayendo factor común al cosα en el primero y cueto términos y al senα en el º y º

7 Unidad Trigonometría I 7 () Ya que las epresiones entre paréntesis son la ecuación fundamental de la trigonometría, sen α cos α sen α () cos α () ( cos α) ( cos α) () ) cos α cos α cos α cos α gg) () Sustituyendo sen α cos α despejado de la ecuación sen α cos α () Aplicamos el producto notable a b (ab) (a b), una diferencia de cuadrados es suma por diferencia () Simplificamos el factor común al numerador y denominador ( cosα) sec α α ) ) cosα cosα cosα cos cosα tg α sen α cos α sen α cosα cos α cos α cos α i) tg α -tg α sen α tg α( sen sen α α) cos α sen α cos α ) sen α - cos α (sen α cos α) ( sen α - cos α) sen α - cos α - cosα cos α j) j Determina, sin acer uso de la calculadora, las siguiente razones trigonométricas: aa) ) sen 0 sen(80º - 60º) sen60º bb) ) sen sen( 60º) sen(º) sen(80º - º) senº cc) ) cos 0 cos(80º 0º) -cos0º - sen60º / dd) ) tg (-60 ) tg(60º - 60º) - tg60º cos 60º / ee) ) tg 00 tg (60º - 60º) -tg60º f) f) sec 6 80º sec 6 sec 690º sec(60º 0º ) sec 0º sec(60º 0º ) sec 0º cos º / gg) ) cotg cotg (80º º) cotg º senº / cos 0º º ) ) cosec cosec cos ec0º cos ec( 60º º ) cos ecº cos ec(80º º ) sen - Sabiendo que sen α 0,6 y que a es un ángulo del primer cuadrante, calcula: aa) ) sen (80 - α) cc) ) cos (80 α) ee) ) cos (90 - α) bb) ) tg (90 α) dd) ) sen (70 α) f) cotg (60 - α) Hallamos primero el coseno y la tangente de α:

8 Unidad Trigonometría I 8 Despejamos el coseno de la ecuación fundamental de la trigonometría sen α cos α y luego allamos la tangente: cosα sen α ( 0,6 ) 0,6 senα 0,6 0,8 tgα cosα 0,6 0,8 aa) ) sen(80º - α) Como vemos en el dibujo adjunto senα y, sen(80º - α) y, además como los triángulos azul y verde son iguales y y luego: sen(80º - α) y y senα 0,6 bb) ) tg(90º α) tg(90º α) sen(90º α) cos(90º α) y' ' y cosα cot gα senα ya que aora y ( acia la dereca e y acia arriba) pero - y pues es negativo cc) ) cos(80º α) cos(80º α) - -cos α - 0,8, como puede verse en el dibujo de la izquierda, el cos(80º α) es la longitud de que es opuesto a ya que los triángulos azul y verde son iguales (son rectángulos y los ángulos opuestos por el vértice son iguales α, y la ipotenusa el el radio de la circunferencia goniométrica (R ) y es el valor del cosα dd) ) sen(70º α) sen(70º α) y - - cosα, ya que el seno siempre se representa en vertical (y ) y, como puede verse en el dibujo de la dereca el cateto grande en triángulo azul es y en el verde es y, de la misma longitud pero de signo opuesto ee) ) cos(90º - α)

9 Unidad Trigonometría I 9 cos(90º - α) y senα f) cotg(60º - α) cotg(60º - α) cos(60º α) sen(60º α) ' y' y cos α cot gα senα Demuestra, de forma razonada, si son o no ciertas las siguientes igualdades: Para demostrar la veracidad o falsedad de estas igualdades podemos partir de uno de los miembros y realizar transformaciones matemáticas asta obtener el otro miembro de la igualdad o operar con los dos miembros asta obtener epresiones que sean inequívocamente iguales o distintas tga tgb () tga tgb () tga tgb () aa) ) tga tgb, luego es cierta cot ga cot gb tgb tga tga tgb tga tgb tga tgb () Sustituimos las cotangentes como inversas de las tangentes respectivas () Sumamos las fracciones del denominador () Simplificamos el factor (tga tgb) en el cociente bb) ) sen cos () (sen cos ) (sen cos ) () sen cos, luego es verdadera () Ya que una diferencia de cuadrados es suma por diferencia (a b ) (a b ) (a - b ) () La ecuación fundamental sen cos () senα cosα cc) ) ( senα) ( senα) co α sen α cos α, igualdad evidente cos α senα () Multiplicando en cruz, quitando denominadores () De nuevo el producto notable suma por diferencia que es diferencia de cuadrados dd) ) tg tg sen () tg ( - sen () () sen () ) tg cos cos sen, es cierta cos () Etraemos factor común a tg () Sustituimos sen cos, de acuerdo con la ecuación fundamental () Sustituimos la tangente por su cociente entre el seno y el coseno () Simplificamos cos del numerador y denominador ()

10 Unidad Trigonometría I 0 En la figura aparece dibujado un faro de 0 m de altura situado sobre un promontorio Las respectivas distancias desde los etremos superior e inferior del faro a un barco son de 8 y 6 m Halla la altura del promontorio Aplicamos el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos BAD y CAD: BAD BD AB AD 6 CAD CD AC AD 8 (0 ) Si, aora resolvemos el sistema anterior, por cualquier método obtenemos las incógnitas y Vamos a resolverlo por reducción cambiando de signo la primera y sumando: 7 (0 ) con lo que tenemos una ecuación en que resolvemos: (0 ) /00 m, mide el promontorio 6 Resuelve cada uno de los siguientes triángulos: No son triángulos rectángulos luego aora emos de utilizar los teoremas del seno y del coseno aa) ) Primero utilizamos el teorema del seno para allar el ángulo B: a senâ a b b 60m senbˆ senâ senº 0,80, luego B arc sen senâ senbˆ a 0m 0,80 º 8 Aora podemos allar el ángulo que queda por diferencia asta los 80º que suman los tres ángulos de cualquier triángulo, C (80º - A B) 80º - (º º 8 ) 8º Para allar el lado c utilizamos de nuevo el teorema del seno: c senĉ sen(8º'" ) c a 0m 7, m senĉ senâ senº bb) ) Aplicamos el teorema del seno para allar el ángulo B: c b b 0m senbˆ senĉ senº,78, como el seno del ángulo senĉ senbˆ c 6m obtenido es mayor que la unidad (lo que no es posible) deducimos que no puede eistir un triángulo con los datos que se proponen, es un triángulo de imposible construcción

11 Unidad Trigonometría I cc) ) Usamos el teorema del coseno para allar el lado c: c a b ab cosc c a b ab cos Ĉ cos 70º 9, 0, 9 m Y, aora, el del seno para allar el ángulo B: c b b 9m senbˆ senĉ sen70º 0,778, luego B arc sen senĉ senbˆ c 0,9m 0,778 0º Por último allamos el ángulo A por diferencia asta 80º: A 80º - (C B) 80º - (70º 0º ) 9º 8 dd) ) No ace falta acer ninguna operación para darse cuenta que es otro triángulo imposible ya que el lado mayor (c 0 m) no mide más que la suma de los otros dos sino igual ( 8 0), el dibujo sería un segmento, de 0 m, encima de otro de igual longitud y no como se dibuja ee) ) b senbˆ Teorema del seno: b a a m senâ senbˆ sen0º 0,, senbˆ senâ b 8m luego el ángulo A arc sen0, 8º 0 y C 80º -(A B) 80º - (8º 0 0º) º 0 Para allar la longitud del lado utilizamos de nuevo el teorema del seno: c senĉ sen(º'0" ) c b 8m 0,6 m senĉ senbˆ sen0º f) f) B 80º - ( A C) 80º - (º 7º) 60º Aora usando el teorema del seno allamos la longitud los dos lados a y c que nos quedan: c b senĉ sen7º c b 0m 0, m senĉ senbˆ senbˆ sen60º a b senâ senº a b 0m 8,6 m senâ senbˆ senbˆ sen60º 7 Desde dos puntos A y B situados en la misma orilla de un río y distantes entre sí 80 m, se observa un punto C, situado en la orilla opuesta, bajo ángulos de 60 y, respectivamente Calcula las distancias desde los puntos A y B asta el punto C Hallamos primero el ángulo C por diferencia asta 80º: C 80º - (A B) 80º - (60º º) 80º - 0º 7º

12 Unidad Trigonometría I Y aora usamos el teorema del seno para allar la longitud de los lados a y b que nos quedan: c b senbˆ senº b c 80m 8,6 m senĉ senbˆ senĉ sen7º a c senâ sen60º a c 80m 7,7 m senâ senĉ senĉ sen7º 8 La figura muestra la forma de construir un túnel que atraviesa una montaña perforando simultáneamente por ambas caras de la montaña Fijamos la dirección de perforación ofrecida por r, por lo que el problema consiste en encontrar la dirección de perforación dada por r' En la práctica, se procede de la forma siguiente: fijamos un punto A en la recta r Elegimos un ángulo A, por ejemplo 6, y medimos una distancia AB de 00 m, por ejemplo En B tomamos un ángulo, por ejemplo, de 0 Con estos datos podemos determinar el ángulo C y la distancia BC A partir de ambos datos queda determinada la dirección r' de perforación Calcula estos datos Hallamos primero el ángulo C por diferencia asta 80º: C 80º - (A B) 80º - (6º 0º) º Y aora usamos el teorema del seno para allar la longitud de los lados a y b que nos quedan: c b senbˆ sen0º b c 00m 6, m senĉ senbˆ senĉ senº a c senâ sen6º a c 00m 6,9 m senâ senĉ senĉ senº 9 La figura muestra el corte transversal de una montaña en la que se quiere construir un túnel La cima o punto C, visible desde A y B, se encuentra a 00 m de A y 0 m de 8, y el ángulo C mide 0 Calcula la longitud del túnel AB Aora emos de utilizar el teorema del coseno pues conocemos dos lados y el ángulo comprendido: c a b a b cos Ĉ c a b a b cos Ĉ cos 0º, m es la altura de la montaña

13 Unidad Trigonometría I 0 Halla el área de un decágono regular circunscrito a una circunferencia de 0 cm de radio Llamamos a la apotema OC y y a litad del lado CB Como es un decágono regular cada uno de los diez triángulo tendrá un ángulo central α 60º/0 6º y por tanto β α/ 8º En el triángulo OCB allamos e y: senβ r senβ 0cm sen8º,09 cm r y cosβ y r cosβ 0cm cos8º 9, cm r El perímetro p 0L 0 AB 0 CB 0 0,09cm 6,8 cm Luego el área del polígono es: p ap p y 6,8cm 9,cm A 9,86 cm En un trapecio isósceles conocemos la diagonal, que mide cm; el lado oblicuo, que mide cm; y el ángulo que este forma con la base mayor, que es de 60 Halla el área del trapecio Como el área de un trapecio es la semisuma de las bases por la altura necesitamos allar las longitudes de las bases, la mayor B AB y la menor b EF, y la altura y EH En el triángulo rectángulo AHE allamos e y: y senα y AE senα cm sen60º, cm AE cosα AE cos α cm cos 60º, cm AE Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo EHB, tenemos: EB EH HB HB EB EH,,6 cm Base mayor B AB AH HB HB,,6 6,86 cm Base menor b EF AB AH HB,6,,86 cm B b B b 6,86cm,86cm Luego el área pedida: A y,cm 6,8 cm

14 Unidad Trigonometría I Las diagonales de un paralelogramo miden 0 y 6 cm, respectivamente, y uno de los ángulos que forman al cortarse mide 0 Halla el área y el perímetro del mismo AO OC AC/ 0 cm/ 0 cm DO OB BD/ 6 cm/ 8 cm Si α 0º β 80º - α 80º - 0º 60º Hallemos primero las longitudes de los lados, para después calcular su perímetro En el triángulo AOD podemos allar la longitud del lado AD d aplicando el teorema del coseno: AD AO DO AO DO cos α d cos0º,6 cm De manera análoga podemos allar la longitud del lado DC c en el triángulo DOC: CD CO DO CO DO cosβ c cos 60º 9,7 cm Luego el perímetro p d c,6 cm 9,7 cm 9,8 cm Para allar el área necesitamos allar primero la longitud de la altura CF, para lo cual en el triángulo rectángulo ACF, como conocemos la ipotenusa AC 0 cm, para allar la longitud sólo emos de saber el seno del ángulo γ, que calculamos mediante el teorema del seno aplicado al triángulo AOD: AD OD OD 8cm senγ senα sen0º 0,69 senα senγ AD,6cm Aora en el triángulo ACF: senγ AC senγ 0cm 0,69 8, 87 cm AC Por último, área A d,6 cm 8,87 cm 8, cm Dos barcos salen de un puerto, y desde un mismo punto, según dos rectas que forman entre sí un ángulo de 60 Calcula la distancia que los separará al cabo de dos oras de navegación suponiendo que mantienen velocidades constantes de 0 y 6 m/, respectivamente Sabemos que α 60º, que al cabo de r el barco A estará a b 0 m/r r 00 m del puerto y el barco B estará a una distancia a 6 m/r r 0 m del puerto El problema se reduce, pues a allar la distancia c a que se encuentran separados los barcos A y B al cabo de dos oras, lo que acemos aplicando el teorema del coseno al triángulo ABC:

15 Unidad Trigonometría I c a b a b cos α c a b a b cos α cos 60º 7,9 m separan a los dos barcos al cabo de oras Calcula los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un dodecágono de 6 dm de lado El ángulo en el vértice de un cono de revolución mide 60 y la generatriz m Halla el volumen del cono Los segmentos OA OB R son el radio de la circunferencia circunscrita (dibujada en color rojo) y OC r el radio de la circunferencia inscrita (en color azul) El segmento AB (lado del dodecágono) mide 6 dm y, por tanto, AC CB dm 60 º El ángulo AOB α 0º, luego el ángulo α β º Para calcular las longitudes de los radios pedidos nos fijamos en el triángulo rectángulo OCB: CB dm dm senβ senº R,9 dm OB R senº CB dm dm tgβ tgº r, dm OC r tgº BC r senβ sen0º r m se0º 6 m AC m AB cosβ cos 0º m cos 0º 0,9 m AC m V r (6 m) 0,9 m 9,69 m

16 Unidad Trigonometría I 6 6 En la vida real se presentan mucas situaciones en las que se necesita conocer la distancia entre dos puntos inaccesibles Este problema fue resuelto ya en el año 6 por el sabio olandés Snelius En la figura tenemos dos árboles a los que no podemos acceder, porque nos lo impide el río Desde dos puntos A y 8 medimos los ángulos α, β, γ y δ, y la distancia d entre ambos puntos Calcula la distancia sabiendo que α 0, β 7, γ 0, δ 0 y d 0 m Para calcular CD vamos a usar el triángulo ACD, en donde necesitamos conocer las longitudes de los lados AC y AD y el ángulo θ γ - α 0º - 0º 60º Para calcularla longitud del lado AC partimos del triángulo ACB, primero calculamos el ángulo C 80º - (γ δ) 80º - (0º 0º) 0º aplicamos el teorema del seno: AC AB senδ senĉ m AC sen0º d sen0º AC sen0º d sen0º sen0º 0 m sen0º,7 Aora en el triángulo ADB calculamos la longitud del lado AD, sabiendo que D 80º - (αβ) 80º - ( 0º 70º) 60º y aplicando el teorema del seno: AB sendˆ m AD d AD sen70º sen70º AD d 0 senβ sen60º sen70º sen60º sen60º m 0, Por último aplicando el teorema del coseno al triángulo ACD, calculamos CD: CD AC AD AC AD cos θ,7 0,,7 0, cos 60º 6,9 m

17 Unidad - Trigonometría II ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS Sabiendo que sen a - / y tg b /7, y que 70 < a < 60 y 80 < b < 70, calcula: aa) ) sen (a b) bb) ) cos (a b) cc) ) tg (a b) Hallamos el resto de razones trigonométricas de los ángulos que se nos dan: Partiendo de sen a -/, a en el cuarto cuadrante: cos a sen a sena / tga cos a / tg bsec b Partiendo de la tg b /7 y b en el tercer cuadrante: sec b tg b cosb 7 sec b 7 Como tg b senb/cosb senb cosb tgb 7 Aora podemos allar los valores de las razones de ángulos de adicción que se nos piden aa) ) sen(a b) sena cosb senb cosa bb) ) cos(a b) cosa cosb sena senb cc) ) tg(a b) sen(a b) 6 / 6 cos(a b) / tga tgb 7 tga tgb ( ) ( ) / / 6 usando las dos posibilidades Partiendo de las razones trigonométricas de 0, y 60, calcula: aa) ) sen 90 bb) ) cos 90 cc) ) sen 0 dd) ) cos 0 ee) ) tg 0 f) f) sen 0 gg) ) cos 0 ) ) tg 0 / 7 7

18 Unidad - Trigonometría II aa) ) sen90º sen(0º 60º ) sen0º cos 60º cos 0º sen60º sen( º ) senº cos º bb) ) cos90º cos(0º 60º ) cos 0º cos 60º sen0º sen60º cos( º ) cos º sen º 0 0 cc) ) sen0º sen( 60º) sen60º cos69º dd) ) cos0º cos( 60º) cos 60º - sen 60º sen0º / ee) ) tg0º cos0º / f) sen0º sen(60º º) sen60º cosºcos60º senº 6 6 gg) ) cos0º cos(60º º) cos60º cosº - sen60º cosº ) 6 6 ) ( ) ( ) tg0º ) / sen0º ( 6 6 ( 6 ) 6 6 cos0º ( 6) / 6 ( 6) ( 6) ( ) ( 6 ) 8 8 Sabiendo que el seno de un ángulo es sen a / y / < a <, alla las razones trigonométricas de a - 0 Calculamos primero la razones trigonométricas del ángulo a que faltan: 9 6 cosa sen a sena / tga cosa / sen(a 0º) sena cos0º - cosa sen0º cos(a 0º) cosa cos0º sena sen0º

19 Unidad - Trigonometría II tg(a -0º) sen(a 0º ) ( cos(a 0) ( tga tg0º tga tg0º ) / 0 ) / 0 (9 ( ( ( ) / ) / ) ( ) ( (9 ) ) 6 9 ) 9 8 (9 ( ) ( ) ( ) 7 ) Justifica las siguientes igualdades: aa) ) sen (80 a) -sen a cc) ) sen (70 a) -cos a ee) ) cos (90 a) -sen a bb) ) tg (/ a) -cotg a dd) ) tg ( a) tg a f) tg (70 a) -cotg a aa) ) sen(80º a) sen80º cosa cos80º sena 0 cosa (-) sena -sena tg tga tga tga tg tga tg tg bb) ) tg a cot ga tga tg tga tg tga tga tga tg tg cc) ) sen(70º a) sen70º cosa cos70º sena (-) cosa 0 sena -cosa ) tg ( a) tga dd) tg tga 0 tga tga tg tga 0 tga ee) ) cos(90º a) cos90º cosa sen90º sena 0 cosa sena - sena f) f tg70º tga tg70º tga tg70º tga tg70º tg70º tga tg70º tga tg70º tga tg70º tga tga tga K, ya que 0 ) tg( 70º a) cot ga Calcula el valor de la siguiente epresión: sena sen (b - c) - sen b sen (a - c) sen c sen (a-b) sena sen (b - c) - sen b - sen (a - c) sen c sen (a-b) sena (senb cosc cosb senc) senb(sena cosc cosa senc) senc(sena cosb cosa senb) sena senb cosc () sena cosb senc () sena senb cosc () senb cosa senc () senc sena cosb () senc cosa senb () 0 ya que las epresiones con subíndices iguales son opuestas

20 Unidad - Trigonometría II 6 Demuestra que cos (a b) cos (a - b) cos a - sen b cos b sen a cos (a b) cos (a - b) (cosa cosb sena senb)( cosa cosb sena senb) (cosa cosb) (sena senb) cos a cos b sen a sen b ( ) cos a( sen b) ( cos a) sen b cos a cos a sen b sen b cos a sen b cos a - sen b () en donde emos sustituido cos b sen b y sen a cos a para llegar a la primera igualdad Si la sustitución la acemos cos a sen a y sen b cos b, tenemos: cos (a b) cos (a - b) (cosa cosb sena senb)( cosa cosb sena senb) (cosa cosb) (sena senb) cos a cos b sen a sen b ( sen a)cos b - sen a( cos b) cos b sen a cos b sen a sen a cos b cos b sen a 7 Demuestra que sen (a b) sen (a - b) sen a - sen b cos b cos a sen (a b) sen (a - b) (sena cosb cosa senb) ( sena cosb cosa senb) (sena cosb) (cosa senb) sen a cos b cos a sen b, a partir de aquí, como en el ejercicio anterior, tenemos dos caminos: () sen a cos b cos a sen b sen a ( - sen b) (- sen a) sen b sen a - sen a sen b sen b sen a sen b sen a sen b, que demuestra la primera igualdad () sen a cos b cos a sen b ( - cos a) cos b cos a ( - cos b) cos b - cos a cos b - cos a cos a cos b cos b - cos a que demuestra la segunda igualdad 8 Halla las epresiones que se piden usando los teoremas de adición: aa) ) cos a en función de cos a bb) ) sen a en función de sen a aa) ) cosa cos(a a) cosa cosa sena sena (cos a sen a) cosa (sena cosa) sena cos a sen a cosa sen a cosa cos a sen a cosa cos a (- co a) cosa cos a cosa bb) ) sen(a) sen( a) sena cosa (sena cosa)(cos a sen a) sena cos a sen a cosa sena cosa(cos a sen a) sena cosa ( - sen a sen a) sena cosa( sen a) sena sen a( sen a)

21 Unidad - Trigonometría II 9 Sabiendo que tg a, y que a es un ángulo cuyo seno y coseno son negativos, calcula las razones trigonométricas del ángulo a Hallamos primero las razones trigonométricas de las razones que faltan: tg asec a sec a tg a Como tg a sena/cosa sena cosa tga Aora las razones trigonométricas del ángulo doble: 0 Sabiendo que tg a, alla tg a cosa sena sena cos a cosa cos a sen a sena / cosa / tga tga tg a ( ) sec a tga tga ( tg a) tga tg a tga 0 ecuación de segundo grado en tga que tg a resolvemos: 6 ± ( ) ± tga Simplifica las epresiones: sena sena cos a sena cos a sena cos a sena aa) ) tga cos a cos a sen a cos a cos a cos a cosa

22 Unidad - Trigonometría II 6 sena cosa cos a sena cos a sena cos a cos a cos a bb) ) : sena cosa sena( cos a) sena( cos a sen a) cos a sen a cos a Demuestra que tg cotg - cotg Partimos del segundo miembro con intención de obtener el primero: cotg cotg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg, QED tg tg tga Comprueba que: cosa tga tga tga tga tga tga tga tga tga tga tga tga tga tg a tga tg a tg a tg a tg tg sen a a cos a a sec a cos a sen a cos a cos a cos a sen a cosa, QED Calcula las razones trigonométricas de 0' y las de 7 En ambos casos, utiliza las epresiones del ángulo mitad º cos º senº0' sen º cos º cos º0' cos º cos º tgº0' tg cos º ( ( ) )( ) 6

23 Unidad - Trigonometría II 7 sen7º cos 7º tg7º 0º sen cos 0º tg 0º cos0º cos0º cos0º cos0º cos 0º cos 0º cos 0º cos 0º ( ( ) )( ) 7 7 Sabiendo que cotg a - y a es el mayor ángulo negativo que verifica esta igualdad, calcula las razones trigonométricas del ángulo mitad Estamos en el segundo cuadrante ya que dice que es ángulo negativo mayor que verifica que la cotangente es negativa Necesitamos el cosa: cotg a cosec a cot ga cos eca cot g a cosa cosa sena cos tga sena ( ) ( ) sena Calculamos las razones, directas, del ángulo mitad a cosa sen a cosa cos a cosa tg 0 cosa ( ( ) )( ) 6 Epresa, en función de una razón trigonométrica del ángulo mitad: aa) ) cosa sena cosa cos a a sen ( cosa)( cosa) a sen a sen cos a a sen a sen cos a a sen a cos a tg bb) )

24 Unidad - Trigonometría II 8 sena cosa sena cos a cosa sena cosa cosa cos a cosa cosa cos a cosa ( cosa)( cosa) cosa ( cosa)( cosa) cosa a tg cosa ( cosa) 7 Sabiendo que cos / - / y que es un ángulo del tercer cuadrante, alla sen, cos cos cos cos 9 cos cos 9 sen cos Simplifica las epresiones siguientes: aa) ) 0º 0º 0º 0º sen cos sen0º sen0º cos 0º cos 0º 0º 0º 0º 0º cos cos sen0º cos0º cos 0º cos0º sen0º cos 0º tg0º 9º 7º 9º 7º cos sen sen9º sen7º cosº sen60º tg60º bb) ) sen9º sen7º 9º 7º 9º 7º senº cos 60º tgº sen cos 60º 0º 60º 0º sen sen cos 60º cos 0º sen0º sen0º sen0º cc) ) tg0º sen60º sen0º 60º 0º 60º 0º cos 0º sen0º cos 0º cos sen cos( y) cos( y) sen( y) sen( y) 9 Demuestra que tgy ( y) ( y) ( y) ( y) sen sen cos( y) cos( y) sen sen( y) seny sen( y) sen( y) ( y) ( y) ( y) ( y) sen cos( y) cos y sen cos D seny cos y tgy QE

25 Unidad - Trigonometría II 9 0 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: aa) ) sen ya que el ángulo cuyo seno es mide 60º / rad en el primer cuadrante y 0º / rad en el segundo bb) ) 9 9 cos ya que el ángulo cuyo coseno es -/ mide 0º / rad en el º cuadrante y 0º / rad en el tercero cc) ) 6 tg ya que el ángulo cuya tangente es mide 0º / rad en el º cuadrante y 00º / rad en el º dd) ) ) ( ) ( cos ya que el ángulo cuyo coseno es mide 0º /6 rad en el primer cuadrante y 0º /6 rad en el º ee) ) sen sen0º 0 sen sen0º sen ½ 0º 0º 60º 0º 0º 0º 60º 0º f f) ) 60º 7º 60º 0º º 80º 0º 60º º 60º 60º º 80º 0º º º g cot ya que el ángulo cuya cotangente es mide 0º en el primer cuadrante y 0º en el º Como la primera solución incluye la segunda, tomamos la primera Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: aa) ) sen cos dd) ) cos - cos 6 sen sen bb) ) sen sen cos ee) ) sen - cos 6 sena cc) ) sen sen f f) ) sen tg

26 Unidad - Trigonometría II 0 aa) ) sen cos sen cos cos 0 cos(sen ) 0 solución de la segunda 90º 60º ya está incluida en la primera cos 0 90º 80º, la sen 0 sen bb) ) sen sen cos sen cos cos sen cos( ) cos sen cos cos 0 ; cos 0 90º 80º cos(sen ) 0 0º 60º º 80º sen 0 sen 0º 60º 7º 80º cc) ) sen sen sen cos sen sen cos - sen 0 sen(cos -) 0, e igualando cada factor a cero: dd) ) cos cos6 sen sen sen 0 0º 80º 0º 90º 60º 60º 0º 80º cos 0 cos 0º 60º 60º 80º ( ) 6 6 sen sen sen cos - sen sen(- ) sen cos ( ) sen sen sen cos 0 sen(sen cos) 0, aora igualamos cada factor a cero: sen 0 0º 80º 0º 90º cos 0 90º 80º sen cos 0 sen cos cos 0 cos (sen ) 0 0º 60º sen 0 sen 0º 60º () Aplicamos las fórmulas de adición para convertir sumas (o diferencias) en productos () sen(-) -sen y pasamos al primer miembro todo ee) ) sen cos 6sen sen cos 6sen 0 sen(cos sen ) 0, aora ya podemos igualar cada factor a cero: sen 0 0º 80º ± 6 0,877 cos sen 0 cos ( cos ) 0 cos cos 0 cos, la 6,806 segunda solución no es válida ya que el coseno no puede ser menor que - y para que cos 0,877; º 8 60º ó 7º 60º sen f) sen 0 0º 80º sen tg sen tg 0 sen 0 sen 0 cos cos 0 cos cos la segunda ecuación tiene por soluciones 60º 60º ó 00º 60º Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: aa) ) sen cos dd) ) 6 cos 6 sen sen bb) ) sec tg 0 ee) ) tg tg cc) ) 6 cos (/) cos f) cos sen

27 Unidad - Trigonometría II aa) ) sen cos sen ( sen ) sen sen sen sen 0, ecuación de segundo grado en sen que resolvemos: ± ± sen, la segunda no es válida ya que el seno no puede ser menor que - y de la primera obtenemos 90º 60º bb) ) sec tg 0 cos sen cos 0 ( cos 0 No válida sen) 0 cos sen 0 sen - 70º 60º cc) ) cos 6cos cos 6 cos cos cos cos cos cuyas soluciones son 0º 60º ó 0º 60º dd) ) 6cos 6sen sen 6( sen ) 6sen sen 6 6sen 6sen sen sen 90º 60º ee) ) tg tg signos tenemos: tg tg tg tg tg tg ± tg tg tg 0º 80º 0º 80º, de tener en cuenta los dos f) cos sen ejercicio anterior: sen tg cos tg 0º 80º tg 0º 80º tg ± cuyas soluciones ya emos allado en el Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: aa) ) sen cos bb) ) sen cos cc) ) sen cos / En estas ecuaciones ay que aplicar los teoremas de adición aa) ) sen cos sen cos sen cos 60º cos sen60º sen( 60º ) 60º 90º 60º 0º 60º bb) ) sen cos sen cos sen cos sen( º ) º 90º 60º º 60º

28 Unidad - Trigonometría II cc) ) sen cos sen sen sen ( sen) sen ( sen) ( sen ) 0sen sen 8sen 0sen 0, ecuación de º grado en sen que resolvemos: 0 ± sen que no tiene soluciones reales 6 Resuelve los siguientes sistemas: sen y aa) ) sen y reducción cos y cos y sen y cosy y 80º 60º cos y cos y sen y y 90º 60º, sustituyendo en la primera sen (90º 60º) sen cos y sen cos y cos seny sen( y) y 90º bb) ) sumando 0º y luego tenemos sen cos y cos seny sen( y) cos seny res tando 0º dos sistemas posibles (considerando sólo una vuelta a la circunferencia): y 90º sumando 0º 60º y 0º y 0º y 90º sumando 0º 0º y 0º y 0º cos cos y cc) ) de la segunda se deduce que y 0º, luego y - que sustituida en la primera nos cos( y) da: cos cos(-) cos cos cos cos ½ 60º 60º ó 0º 60º, la y, por tanto, es y - -60º 00º 60º ó y -0º 0º 60º dd) ) y sen seny de la primera se deduce y / que sustituido en la segunda arroja sen 6 6 sen(/ ) que convertimos en producto mediante la fórmula de adición: A B A B 6 sena senb sen cos sen sen sen cos sen cos( ) cos de y son: 6 cos 0º 6 6 luego los valores 0º 6 6 y, da valores cambiados: para /, y / y viceversa 9 y 6

29 Unidad - Trigonometría II En una de las orillas de un río ay un pedestal de 60 m de altura sobre el que se apoya una estatua de 9 m de alzada Halla la ancura del río, sabiendo que desde un punto A, situado en la orilla opuesta al pedestal, se ve la estatua bajo el mismo ángulo que se vería a un ombre de,80 m situado delante del pedestal,8 tgα 60 tg( α β) resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tenemos,7 m 69 tg(α β) 6 Sabiendo que tg (A/) alla cos A - cos A y que A es un ángulo cuyo seno es menor que su coseno, En el ejercicio 8 allamos cosa cos A cosa, en función del cos A A partir de la tangente del ángulo mitad allamos el valor de cosa: A cos A cos A cos A tg ± ± cos A cos A cosa - cos A cos A cos A cos A, aora podemos allar el valor de la epresión pedida: cosa cosa cos A cosa cosa cos 96 A cosa

30 Unidad - Trigonometría II 7 Una calle mide m de anca Desde el punto medio de la misma se observan los aleros de sendos edificios de alturas H y bajo ángulos β y β, respectivamente En el caso de que los ángulos sean de 60 y 0, calcula H y Encuentra la relación general que liga a las alturas H y, y comprueba que las alturas calculadas anteriormente verifican la relación general AE ED 6 m tgβ tg0º 6m tg0º,6m 6m H tgβ tg60º H 6m tg60º 0,9m 6m En general: tgβ 6 H 7 H tgβ 6 H 6 tgβ tg β Comprobemos la relación anterior: tg0º H 0,9 6 6 (6tg0º ) 8 Siendo A, B, C los ángulos de un triángulo, demuestra que: tg A tg B tg C tg A tg B tg C Nota: ayúdate del desarrollo de tg (A B C), y recuerda que A B C 80 tga tgb A B C 80º A B 80º - C tg(ab) tg(80º-c) tgc tga tgb -tgc( tga tgb tga tgb) tga tgb -tgc tga tgb tgc tga tgb tgc tga tgb tgc QED

31 Unidad - Trigonometría II 9 En los manuales de agrimensura aparece la siguiente fórmula para calcular el área de un triángulo, siempre que se conozcan los elementos que en ella aparecen: tga tgb S c tga tgb Ayudándote de la altura correspondiente al vertice C, demuestra la fórmula anterior En el triángulo rectángulo ADC tenemos: tga En el triángulo rectángulo CDB tenemos: tgb c Si despejemos del sistema formado por las dos epresiones anteriores: tga tga tgb c c tgb c tgb Igualando : tga c tgb tga tgb c tga c tgb tga c tgb c tgb tga tga tgb tga tgb c tgb tga El área del triángulo es S tga tgb tga tgb c c c c QED tgb tga tgb tga En donde emos sustituido por la epresión obtenida más arriba